“分数与除法”教学解析及建议

杨文娣

学生分数概念的获得从小学低段开始，到中段初步的认识，再到高段的意义理解经历了不断认识、不断深化的过程。学生接触分数意义和性质后，碰到的困惑越来越多，错误也随之增加。本文从关注“分数与除法”的教学出发，详解学生练习中出现的一系列错误，借助典型案例，分析教师应该如何教授“分数与除法”，对有效分数教学做一些探索和实践。

“分数与除法”错例解析

分数是小学生对数的概念一次重要扩展，也是小学生对数的认识的一次重大飞跃。它对学生更好地理解数的连续性与可分割性起着非常重要的作用。分数概念不但抽象，而且复杂，是学生认识和理解时最容易出现问题的概念。特别是学生进入分数学习的第二阶段——五年级《分数的意义和性质》时，各种各样的问题如雨后春笋般陆续暴露出来。学生在学习的过程中出现诸多的不适应性和盲目性，发生的错误也随之增多。在教学“分数与除法关系”一课后，笔者的感触尤为深刻。

“分数与除法”的教学内容，是在理解了分数的意义，分数单位等知识的基础上进行教学的。在巩固的基础上，作业练习中会出现一些应用辨识性的数学问题，学生面对这些类型的题都是屡屡中招。（见典型错题1、典型错题2）

“分数与除法”归因分析

数量分率：分不清 在学习小数除法时，解决每段长多少米时正确率很高。在教学完分数的意义后，学生解决每段是这根绳子的几分之几时正确率也很高，但现在将情境融合，把两个问题整合在一起提问时，学生思绪混乱，错误不断。之所以出现错误，根源在于学生没能很好地认清分数的两种身份：既可表示分率（关系），也可表示具体数量。分数表示关系可以通过运算得到，也可以通过平均分得到。分数表示数量可以通过度量得到，也可以通过计算得到。分数的双重含义都可以通过计算得到，方法的共享让学生的学习产生了负迁移。再则，学生从三年级开始接触的分数都是以分率的身份出现，平均分中只涉及连续量平均分。在教师教学或学生学习时，因缺少沟通，两种身份在头脑中相互干扰，从而导致错误。

分数意义：不深刻 人教版五年级下册教材中，用份数定义的方式描述分数的意义。虽然贴近学生的生活，但也出现一些倾向性的弊端。一份或几份的说法，没有超出自然数的范围，没有显示出这是一种新的数。从教材提供的例题来看，选择的素材和呈现的情境局限在部分和整体单一的纬度上。从生活情景直接跳跃到纯粹的数学概念，没有经验支撑的抽象水平和丰富的内涵表征，学生接受分数概念的内在结构就会不稳定。另外，分数意义的核心——单位“1”，学生对它的认识存在不少问题，主要表现在以下几个方面：倾向于自我假设在同一情境中出现的各个分数具有相同的单位“1”；信息量超过自己的处理能力时，便会配合其处理能力，自行更改单位“1”或分解单位“1”。构建抽象灵活的单位“1”概念是学生构建分数概念过程中的主线。教师在教学时必须予以充分的重视。

除法意义：不领会 如果对以上典型错题的这4个问题的本质追根溯源的话，它们都是小学低段的自然数除法意义的生长延伸。二年级除法的起始课《平均分》，例2和例3就渗透了两类基本的除法。在练习三中出现两类除法的题组（如图A）。第一小题属于等分除问题15÷5=3，利用的数学模型是总数÷份数=每份数。第二小题属于包含除问题15÷3=5，利用的数学模型是总数÷每份数=份数。新课程背景下的课堂教学，教师为了避免被扣上“穿新鞋走老路”之嫌，不再强调总数、每份数、份数等数学术语，而寄望学生借助生活经验和对运算意义的理解，解决此类问题。渐渐地，弱化了数量关系模型的抽象、提炼和建构，淡化了解题方法的训练。有的学生通过观察数据信息成功体验到万能解题方法——大数除以小数得出正确结果，有些学生借助具体情境也能顺利地解决问题。在这种美好的表象下，教学似乎非常成功。殊不知，对数量关系式有效建构的缺失，给学生进入高段学习埋下了可怕的隐患，因为高段数学运算已经突破了较小数不能成为被除数的界限。

均分概念：不到位 在二年级下册除法的初步认识中，学生首次学习平均分概念。到了三年级上册分数的初步认识，学生应用平均分概念获得几分之一或几分之几的分数。在这两个阶段的教学时，教师特别注重两个目标问题的研究：什么叫平均分？怎么平均分？为了达成这些目标，教师主要采取动手操作的教学方式帮助学生理解平均分的意义，获得平均分的方法。但对于平均分的要领——“谁被平均分”的关注不够。进入高段学习后，数系的扩张和计算方法的泛化，学生面对具体的情境，可以提问的方式不再唯一（如典型错题案例2的问题）。如果仅明白平均分含义，忽视了解题关键的命脉——“谁把谁平均分”的明确指向，学生的判断只能跟着感觉走。没有清晰的思路，解题错误也就不可避免地产生了。

“分数与除法”解题策略

丰富表征信息，完善学生的认知结构 学生对知识顿悟的前提是对需要的信息有一个完整清晰的表征信息。尤其是对那些学习比较困难的学生来说，更需要一种形象化的程序性知识，能够让学生在头脑中迅速表征出图像来。在这种情况下，一般的对策是紧密联系学生的生活经验和已有知识，引导学生借助生活经验和数学知识相似性的特点，将新知纳入到原有的知识结构中去，使学生的知识得以同化和顺应。为了让学生找到分数具有分率即关系（比）和具体数量的双重意义完整清晰的表征信息，教师必须十分注重相应知识模块的专项训练。运用说、议、画等手段，丰富个性体验，逐步完善学生的认知结构。

加强题组对比，深化所学知识的意义建构 数学中的各部分知识是相互联系、相互依存的。教师从数学知识的整体出发，把有相关性的数学知识设计成具有联系性的题组让学生进行比较练习。就好像为学生搭了一个梯子，使他们沿着台阶一步一步往上走，在掌握基本知识和技能的同时，渗透比较分析归纳的思想。通过有相互联系又有区别的题组进行比较练习，既梳理了数学知识间的联系，又加深了学生对数学知识的理解。在新概念形成、新知识掌握以后，将一些形式上相似，实质不同，容易混淆的知识点加以精心设计并进行对比练习。让学生在比较中鉴别，不仅可以提高正确率，还可以加深对数学知识理解和解题方法的掌握。endprint

解析数量关系，提升问题解决能力 解析数量关系是传统应用题解决的最重要的策略，新课程背景下的教学同样离不开数量关系的分析解构。随着年级的增长和知识的积累，题中呈现的数学信息量会随着思考角度的变化而变得复杂。如果教师在教学时不善于引导学生把握变化的特征和规律本质，面对问题情境，学生很难在自己已有的知识经验基础上建构“原生态”的数量关系。这时，学生往往能理出数据，却理不出头绪。见如下教学片断：

师：解决每段长几米的问题，就需要考虑谁被平均分？以谁为标准去分？分成了几份？

生1：这里是绳子被平均分。

生2：应该是绳子的长度2米被平均分。

生3：按段为标准平均分，分成了3段就是3份。

师：所以，被分的数做被除数，标准的数做除数。

师：看着这幅图，老师想到了一个问题——每米有几段呢？能解决吗？

生：每米是1.5段。

师：你是怎么想的？

生：因为这个绳子是2米长，1米的话就是在中间切开，正好把中间的一段绳子切开得到一半是0.5段，再加上1段，就是1.5段。

师：你分析的很有道理。谁能用算式简洁地表示出来？

生：3÷2=1.5（段）。

师：理由呢？

生：因为这里被分的是3段绳子就做被除数，按2米去平均分，可以分成2份做除数。

师：结果除了用小数外，还能用分数表示吗？（并相机提示分数与除法的关系）

生：能，。

师：这样的分数，同学们感觉是不是很陌生，像刚才一半用表示，再和1合并也能得到一个分数，这些分数就是我们后几节课要学的知识。

新课程理念下解决问题不要求学生规范地表达数量之间的关系，但这并不表明，教学仅停留在解决问题的策略和日常生活经验，而忽视问题的本质。探索时，学生展示的方法是其经验认知的体现。交流时，教师应有意识地引导学生对各种方法进行比较分析，形成思维水平的策略或数学模型。在上述教学片断中，由于数的范围的拓宽，以往不能解决的问题从不可能变成了可能。一组对应的数学信息：2米长和3段，通过不同的提问方式，解析得到两组不同的数量关系：每段长度=总长度÷段数，每米段数=总段数÷米数。面对这类问题，教师要善于追根刨底，点破解决要领，及时概括总结，学生的思维才能从无序走向有序、从混沌走向清晰，数学思维能力才会有质的提高。

（作者单位：浙江省绍兴市马山镇中心小学）endprint