从二维图像获得物体表面的高斯曲率

丁一

摘要：在图像处理中，物体表面的高斯曲率的重要性在于它可以表述三维物体表面信息。高斯曲率是一个重要的几何概念，它应用于模式识别、物体识别、以及物体的形状复原等方面。特别是三维打印机将要普及的时候，三维物体信息扫描技术的精确性就显得十分重要。

关键词：高斯曲率  形状复原  三维

1 立体光学法

在形状复原过程中单张照片提供信息，立体光学法用一个相机取得多张不同光源的照片，这时候照相机是固定的，而光源是从不同的角度摄入的。一般来说立体光学法超过三个光源，从三个以上不同的方向光照目标物体，每次是用一个光源。把三枚照片利用完美漫射模型解出物体表面的方向向量，向量的积分也就是物体的高度，即三维模型。这种方法并不适用于物体表面有镜面反射的目标。

2 利用神经网络复原

立体光学法利用三个以上的光源，而且利用完美漫射模型这一限定条件决定目标物体不能镜面反射的成分。如果对于有镜面反射的物体，利用一个和目标物体相同反射率，相同反射条件和物理性质的球体来作为参照物的话，更有利于获得更精确的数值。

利用球作为参照物体复原的话，可以寻找目标物体的某一点。假设这一点的数字图像灰度值为E，那么对于在参照物体球的相同灰度值E的对应点，可以建立一个参照表。

神经网络（Neural Networks，简写为NN），它是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。

3 高斯曲率

高斯曲率是曲面论中最重要的内蕴几何量。设曲面在P点处的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k=k1·k2称为曲面于该点的总曲率或高斯曲率。

其中，点（x，y）的高斯曲率G可以定义为：

这里fx是z相对于x的偏导数，而fy是z相对于y的偏导数。而且我们根据高数的数学知识我们知道对于平滑的曲面来说fxy=fyx的。点（x，y）的平均曲率M可以被

定义为：

根据曲率k1和k2符号的不同，曲面可以分为六种可能性。分别如图1-6所示。图中，RBF神经网络把数字图像的灰度值E映射到每个参照的球上的点（x，y）上。神经网络实现的结果就是把给定的物体的每个点的灰度值E，分别映射到球上的对应相同灰度值的点（x，y）。因为球的特性决定了它拥有一个空间坐标系所有可能性的向量特征，所以根据从目标物体的灰度值E映射到球上的对应点的相同灰度值E的地方，也就相当于物体该点的向量和球上的该点的向量值相同。而且，物体目标点附近4点分别映射到球上附近4点的时候，我们可以根据映射到的4个点的位置关系得到如图1-6的6种曲面关系对应。

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图1  k1>0， k2>0   凸面

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图2  k1<0， k2<0   凹面

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图3  k1=0， k2=0  平面

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图4  k1>0， k2<0  凸面

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图5  k1>0， k2=0  凸鞍马面

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图6  k1=0， k2<0   凹鞍马面

假定目标物体的曲面函数为z=f（x，y），那么对于任意一个点（x0，y0，z0）来说，根据泰勒公式把z=f（x，y）可以表示为

如果z=f（x，y）由该点（x0，y0，f（x0，y0））的法线向量n表示的话，可以用下面的公式表示n=■-fx-fy 1（4）

这里同样fx是z相对于x的偏导数，而fy是z相对于y的偏导数。

对于半径为r的球面某一点（xc，yc，（r2-xc2-yc2）1/2），然而，这时候改点的法线向量可以表示为

这里，目标物体的点（x0，y0，f（x0，y0））和相对应球上的点（xc，yc，（r2-xc2-yc2）1/2）可以通过神经网络映射出来，前提是他们的法线向量n是一样的话。

也就是说，球上对应点的坐标可以表示为

根据上面目标物体的某点用泰勒公式表示的方程公

式（3），对应目标物体某店周围4点分别是（P，Q，R，S）=（x0，

y0-Δy），（x0+Δx，y0），（x0，y0+Δy）和（x0-Δx，y0），周围4点（P，Q，R，S）的偏导数分别是

这4个点（P，Q，R，S）包围所的得到的曲面的面积S可以由以下向量a和b来表示，向量a和b分别是四边形的两条边。

所以，面积S就可以表示成

在这里，可以看出根据上面的公式，某一点的高斯曲率可以由该点附近4点所包围曲面的面积S来确定。也就是说该点的高斯曲率相对大小就是由附近4点包围面积的值来表示。另外，如图1-6所示的附近4点的六种可能性，可以确定曲面的类型以及曲率的符号。所以我们最终就确定了曲率的相对大小和符号，以及曲面类型等相关信息。

参考文献：

[1]吕东辉，张栋，孙九爱.光度立体技术的物体三维表面重建算法模拟与评价[J].计算机工程与设计，2010（16）.

[2]郑戟明，吕东辉，张栋，孙九爱.利用控制点提高光度立体技术重建精度研究[J].计算机工程与设计，2010（22）.

[3]孙宇阳.基于单幅图像的三维重建技术综述[J].北方工业大学学报，2011（1）.