基于组合Morlet小波的数字滤波器设计

2015-02-02樊新海梁瑞刚

兵器装备工程学报 2015年12期

关键词：信号处理

樊新海，梁瑞刚

(装甲兵工程学院机械工程系，北京　100072)

基于组合Morlet小波的数字滤波器设计

樊新海，梁瑞刚

(装甲兵工程学院机械工程系，北京100072)

摘要：针对数字滤波器设计问题，利用Morlet小波在时域、频域都具有良好集中性的特点，以及傅里叶变换的尺度、线性、频移特性，研究了一种通过多个具有不同中心频率的Morlet小波时域叠加，在频域构建出平顶滤波器的方法；结果表明：基于组合Morlet小波的数字滤波器设计方法易于理解和编程实现，通过合理选择设计参数可快速设计出所需的高性能滤波器。

关键词：信号处理；数字滤波；滤波器设计；组合Morlet小波

本文引用格式：樊新海，梁瑞刚.基于组合Morlet小波的数字滤波器设计[J].四川兵工学报，2015(12):122-125.

Citation format:FAN Xin-hai, LIANG Rui-gang.Design of Digital Filter Based on Combined Morlet Wavelet[J].Journal of Sichuan Ordnance,2015(12):122-125.

Design of Digital Filter Based on Combined Morlet Wavelet

FAN Xin-hai, LIANG Rui-gang

(Department of Mechanical Engineering，Academy of Armored Forces Engineering，Beijing 100072，China)

Abstract:Aiming at the problem of digital filter design, this paper studied on a method of constructing flat-roofed filter by multi-Morlet wavelet with different center frequency time-domain superposition, using Morlet wavelet with well centrality in both time domain and frequency domain, along with linearity, scaling, frequency-shifting of Fourier transform property. The result indicates that the design of digital filter based on combined Morlet wavelet is comprehensible and easy to program and the requisite high-powered filter can design rapidly by selecting reasonable design parameter.

Key words:signal processing; digital filter; filter design; combined Morlet wavelet

在工程测试和信号处理中，滤波器是常用的仪器之一，主要用于信号选频，将感兴趣的频率成分提取出来，而将不感兴趣的频率成分衰减掉。信号在复杂系统中传输时，每通过其中的一个环节，都会受到该环节传输特性的影响，使信号有所变化(衰减、放大、延迟等)，这就形成了更为广泛的滤波和滤波器的概念。

按照信号处理的性质，滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器。数字滤波器的实现不但比模拟滤波器容易的多，而且还能获得较理想的滤波器性能，在数字信号处理中应用非常广泛。在经典数字滤波器设计中包括无限冲激响应滤波器(IIR，Infinite Impulse Response)设计和有限冲激响应滤波器(FIR，Finite Impulse Response)设计两大类[1]。FIR滤波器可实现线性相位，为获得较好的性能，常需要较高的阶次，若对信号处理的实时性没有特殊要求，FIR滤波器是较好的选择。

经典滤波器的设计原理和方法都很成熟。笔者利用Morlet小波在时域、频域都具有良好集中性的特点，以及傅里叶变换的尺度、线性、频移特性，研究了一种通过多个具有不同中心频率的Morlet小波时域叠加，在频域构建出平顶滤波器的设计方法。利用Delphi编写了应用程序，并给出了设计实例。

1Morlet小波

Morlet小波是小波分析中非常具有代表性的一种经典小波，其定义为

(1)

它是一具有高斯包络的单频率复正弦函数，实部为

(2)

虚部为

(3)

傅里叶变换为

(4)

理论上，Morlet小波不是紧支撑的，一般取Ω0=5或更大，t∈(-4，4)或更宽，可使ψ(t)和Ψ(Ω)在时域、频域都具有较好的集中[2-4]。Morlet小波的实部、虚部、包络、频谱分别如图1~图4所示。

图1　Morlet小波实部波形

图2　Morlet小波虚部波形

图3　Morlet小波的包络

图4　Morlet小波的频谱(Ω0=5)

从图4可见，Morlet小波的频谱具有带通特性，中心频率的位置由Ω0确定[5]。但总体来看，若使用单个Morlet小波作为滤波器使用时，性能不太理想，主要缺点是过渡带较宽，通带不够平直。为此，可以用多个Morlet小波组合来提升滤波器的性能[6]。

2组合Morlet小波

将式(1)改写为

(5)

假定组合Morlet小波是由M个形如式(5)的单个Morlet小波叠加而成，首个Morlet小波的中心频率为fL，依次按间隔Δf递增，最后一个Morlet小波的中心频率即为fH=fL+MΔf。这样，组合Morlet小波中各单个Morlet小波的中心频率分别为

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由此构造出的组合Morlet小波为

(6)

式(6)中：C为使组合小波滤波器幅频特性通带取值为1的修正系数。

由式(6)可见，组合Morlet小波ψc(t)时域上是由M个高斯信号复调制后叠加而成，频域上是由M个中心频率为fm的ψa(t)频谱叠加而成。

3数字滤波器设计

通过合理选择式(6)中的a、fL、M和Δf等参数，就可以设计出具有不同功能的滤波器。其中，fL为通带起始频率，fH为通带截止频率，a和Δf决定了过渡带的斜率和通带纹波，M和Δf决定了滤波器的带宽B=fH-fL=MΔf。

上述参数中，a和Δf的选取至关重要，应该兼顾以下3方面：滤波器过渡带尽可能窄；通带尽可能平；组合小波的个数尽可能少。为了简化设计过程，经过对比分析，选定一组比较理想的参数取值：a=0.2，Δf=1，t∈(-4a，4a)，C=fs。这样，只要给定起始频率fL，组合小波的个数M，采样频率fs，就可以设计出具有线性相位的高性能滤波器，且滤波器是解析的。下面分别举例说明，例中所使用的采样频率均为fs=256 Hz。

3.1　单通带滤波器设计

经典滤波器中的低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器在此都可按单通带滤波器设计。

对于低通滤波器，设定起始频率fL=0 Hz，再根据截止频率确定出M值即可。例如，当M=21时，滤波器的通带为0~20 Hz，组合小波滤波器的幅频、相频特性曲线分别如图5、图6所示。

图5　低通滤波器幅频特性曲线

图6　低通滤波器相频特性曲线

对于高通滤波器，设定起始频率fL，截止频率直接取fH=fs/2，确定出M值即可。例如，当fL=60 Hz，M=69时，高通滤波器的通带为60~128 Hz，组合小波滤波器的幅频、相频特性曲线分别如图7、图8所示。

图7　高通滤波器幅频特性曲线

图8　低通滤波器相频特性曲线

对于带通滤波器，设定起始频率fL，再根据截止频率确定出M值即可。例如，当fL=20 Hz，M=41时，带通滤波器的通带为20~60 Hz，组合小波滤波器的幅频、相频特性曲线分别如图9、图10所示。

图9　带通滤波器的幅频特性曲线

图10　带通滤波器的相频特性曲线

3.2　多通带滤波器设计

该方法可方便地设计多通带滤波器[7]。例如，一个两通带滤波器的设计参数为fL1=20 Hz，M1=11，fL2=60 Hz，M2=21，则滤波器的通带为20~30 Hz和60~80 Hz，组合小波滤波器的幅频、相频特性曲线分别如图11、图12所示。

图11　两通带滤波器的幅频特性曲线

图12　两通带滤波器的相频特性曲线

带阻滤波器可以看作是一个两通带滤波器，低频段按低通滤波器设计，高频段按高通滤波器设计即可。比如低通滤波器的设计参数为fL1=0 Hz，M1=21，高通滤波器的设计参数为fL2=60 Hz，M2=69时，此时带阻滤波器的阻带为20~60 Hz，组合小波滤波器的幅频、相频特性曲线分别如图13、图14所示。