美国中小学数学课堂中交流形式的述评

田果萍，张 骁

（1.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009；2.大同市第一中学,山西 大同 037004）

一、引言

自2000年启动旨在测量15岁在校学生如何为未来生活做准备的国际学生评价项目（Program for International Students Assessment,简称 PISA）以来，数学素养无论是其内涵还是重要性均得到全世界的认可。数学素养是课堂教学的目标之一，探索培养数学素养基本手段或方法无疑成为全球关注的对象。2000年全美数学教师协会重新修订“学校数学教育的原则与标准”（Principles and Standards for School Mathematics）时详细给出了交流的标准：说、听、读、写所理解的数学词语、符号与概念，并在数学概念的文字、符号、图像与数字等多种表征语言之间流畅地使用多种表达形式。[1]而学生每天都沉浸在一个日常普通语言的世界中，数学语言唯一的场所是数学课堂，只有在数学课堂中学生才有机会针对数学进行听说读写，数学课堂是学生有机会进行数学交流的唯一地方，一旦学生不能将读写带入自己的数学课堂中，那么学生发展数学语言的技能与有效交流的机会就受到了限制。于是，交流就成为美国培养学生数学素养的关键性方法或工具之一。[2]本文通过对一些值得借鉴的案例进行述评，以期对我国中小学数学的教与学有所启示。

二、交流的形式及案例分析

为了使学生能流利地使用数学语言，作为交流的不同形式——说、听、读、写在数学课堂教学中应该有规律地进行。

（一）形式之一、二——说数学与听数学

数学交流最普遍的形式可能就是说与听。在教室里学生应该经常参与数学的讨论，包括师生之间、生生之间的讨论。因为一些学生靠听来的学习效率最高，那么对他们来说听数学当然是很重要的。进一步讲，学生大声地与他人讨论数学概念要比仅仅通过自己思考解决一个问题更能说明他们对数学概念的理解程度：这会使他们对数学概念的理解程度要更深刻一些。这一点数学教师有着深刻的体会，即给别人解释数学概念的时候才意识到自己的数学学习得到了进一步的加固。同样这点也明显地体现在学生身上，当给别人解释这个数学概念时，学生往往才相信自己对此真正理解了，也只有此刻，学生才意识到自己对这个数学概念的理解原来并不是自己当初所想的那么牢固。

由于教师与学生都在听数学，那么，学生怎么听与教师怎么听同样重要。虽然听作为一种交流的模式最初好像显得很单调，事实上“听本身就是一种说的方式，是一种探查与检验对数学理解的途径”[3]，学生必须既听所讲的数学文本，还要听表达文本的语调以及上下文（背景与历史等）。如1999年Chappell&Thompson曾组织针对中学生表达自己思维的一系列项目，其中在比较0.3与0.30两个小数时，学生认为小数点后面的0不起作用，这可能是学生从教师的讲解中听到的，而没有理解文本本身所讲的，因此会向其他同伴传达错误的理解。[4]事实上，文本涉及对0.30中0的重要位置的详细描述，这种细微的区分是必要的，因为学生在交流数学思维时必须坚持一致的原则。学生运用小数点后面的0来证明0.3与0.30相等的这一事实值得教师们关注，当快速陈述规则而进行概括时，教师自己可能已经理解了聚焦于促进概念发展的这些说明，可是诸如此类的概括并没有简化数学，反而导致了学生死记硬背规则而不去思考概念的深层含义，这一点非常重要。

[案例1]垒积木

1.用5—10块积木背对着你的同伴垒一个图形。

2.你的同伴按照你对那个图形的描述去垒一个相同的图形。

3.你的同伴只能根据你的指令去垒而不能问问题，实在要问，只能让你重复指令，就像按下录音机的后退键那样。当对方完成后，检查一下两个图形是否一模一样，并找出所有不一致的地方。反思你所说的指令与对方理解了的指令中，是哪些导致了对方所垒出的形状与你的不一样？如何能使这些指令表达得更加清楚？这样做的依据是什么？并把误解公开，或者仅仅设想而不表达出来。

4.交换角色，重复实践。

实验结果表明：当这种行为被重复一次后，就发现学生们有了很大的进步，因为从第一次的尝试中他们已经学到了如何正确地进行数学描述，如何更好地仔细聆听。

这种行为重在交流，至于缺不缺乏数学能力并不要紧，不会因为缺乏数学能力而导致这种行为失败。如果小学生一入学就采用这种交流方式并使其逐渐成为课堂教学的一个重要组成部分，那么，学生始终能得到教师的期待，对培养学生的交流意识是有益的。这对我国小学数学“综合与实践”活动课程的设计有所启发。它不仅适合一般数学的内容，而且即使对于仅供娱乐与消遣的非数学设计，参与者均需要与他人进行准确的交流。但随着学生数学技能的增长，有必要改变这种行为方式的教学内容。任何包含多步骤的数学过程都可以作为变式训练，如解方程、分数的加减运算、几何推理等，教师只需要把解决问题的各个步骤分别写在一张卡片上，为解决问题，要求学生必须合作起来把卡片按合适的顺序排列。在这一过程中，他们受到了鼓励去彼此交流，正确地说数学、仔细地倾听同伴的数学表达、理解数学语言。同时还懂得了在解决复杂问题的过程中合作的价值。

[案例2]打乱次序的数学变式训练

教师的准备：确定一个多步骤的数学解题过程，准备一套卡片，每一张卡片上只写一个步骤（每一步骤的理由既可以同步骤写在同一张卡片上，也可以分开写在另外一张卡片上）。

提示：

1.把卡片的顺序打乱，并分发给各组的每个成员，不要把自己的卡片让别人看。

2.通过读卡片与描述卡片，尝试着合作解决问题（即需要把解决问题的过程重新排列），如果排好了，请把卡片背面朝上。

3.如果确定已按正确的顺序排好了，那么把卡片翻过来并检查一下。

实验结果表明：仅有39%的学生能圆满完成任务。

这一数据令人深思：要想使学生在数学交流中表现出色，教师必须经常为学生提供与别人交流自己思维的机会，而且越早越好。经常采用这种方式，学生习惯了以小组的方式进行合作研究，可以变换成在一张大白纸上或幻灯片上完成任务，这种对同一概念的不同解构有益于全面理解这个概念。在未实行小组合作学习之前，对于那些不习惯数学写作的学生来说，让他们参与全班范围内的活动是十分有用的。这种代替大量计算问题的写作任务既适用于家庭作业，也适用于学生自我评价对同一个主题的不同概念之间的内在联系。

（二）形式之三——写数学

在数学学习中，写有多种形式如期刊、日志、日记与注解等。1992年Countrman[5]认为起初写数学自传是一种有用的写作策略，根据年级的不同要求学生只写一两页或不规定篇幅的长短。经过这样的训练，学生有了反思自己在数学上成功或失败经验的机会，同时教师通过这些反思了解学生，了解可能会影响数学学习成绩的态度等。如2000年Marderness[6]就通过写数学自传的方式去鉴定女生学习数学自信心的变化，即使这些高中生持续参加高考复习的数学班，但他发现先前产生的消极心理仍然起作用。对教师而言，为营造一个积极向上的班级学习氛围，从学生的自传中获得的信息是很有用的。1989年Rose[7]认为教师写出数学概念、过程与应用，让学生用语言进行解释并记录下来能提高交流的流畅性，并且介绍了写数学的两种类型：记录型与注释型。记录型的写作是写给如老师与同学一类的听众的，包括数学问题和术语问题、解释和定义、报告和专业学术论文以及完整的项目。注释型的写作是为了学生自己用，比如为了探索，学生在纸上记录数学思想方法，写信或写自传的时候均可采用，而有些数学写作如日记，依照自己的目的或听众的目的，两者均可采用。

在实施中，考虑到组织时的便利性，不妨先尝试注释型的写作，待学生有信心、有能力用自己的语言表述对数学概念与问题的理解时，再进行记录型写作的实验。

[案例1]关于小数问题的写作

1999年，Chappell&Thompson[8]认为典型的中等年级的学生，大部分能完成小数运算，但是否对小数概念本身有了概念性的理解仍然值得怀疑，于是给中学生出了以下几道题目，要求他们写下自己的理解。

1.某人用一个神秘的数字去除70而得到2.63。问：

（1）这个神秘数字比70大还是小？（2）你是怎样知道的？

2.请估计下列给出的4个除法算式，哪个所得的商最小？把你的思考过程写下来。

4.9÷0.003，4.9÷0.03，4.9÷0.3，4.9÷3

3.利用5.68×2.34算式自编一道文字应用题。

结果显示，关于第一道题目有相当一部分学生缺乏对除法中被除数、除数和商之间关系的正确理解。关于第二道题目，只有一小部分学生虽然能给出正确的答案，但不能灵活进行迁移。关于第三道题目，有一部分学生编的是加法应用题，一部分编的虽然是使用乘法的应用题，但缺乏实际意义（如写2.34本书等），也有一部分学生写出了合适的应用题，还有一些学生会解决教师给出的应用题目，但自己不会编题。

首先，这说明学生们对概念本身没有很好地理解。事实上，许多计算题修改一下很容易作为写作材料。当学生解释自己的思维过程、写下自己所编的应用题、对照或比较概念时，教师就会对学生学习中存在的困难进行准确定位，从而及时调整教学方法，比较容易地处理那些易引起概念误解的问题，而不是等待通过获取其他的评价去判定学生的不懂之处。

其次，写作给师生之间提供了私下交流的机会，尤其对于那些课堂上不愿意发言的学生，写作给教师提供了一种了解学生如何思考概念的途径，通过阅读学生的写作使学生善于交流了，也使教师对学生所理解的与所混淆的概念了如指掌。

（三）形式之四——读数学

读数学可以认为是翻译或转化课本上的字词并理解其含义。1974年，Kane,Byrne&Hater就指出：“为了交流，既要转化又要理解。但是，学生往往存在阅读困难，原因是学生缺乏对必要数学词汇的根本理解，学生会转化词语但不理解其意义。”[9]于是，在课堂中数学专有词汇自然成为一个直接的话题。可是，学生仍然无法内化这些词汇，除非将其作为课堂基本组成部分进行特别强调。事实上，在整个数学语言和数学学习领域，对词汇问题的认识相当肤浅，1993年Miller[10]曾通过实验描述过学生对词汇知识的根本性缺乏。方法是让澳大利亚八年级学生给出20个普通数学术语的定义，包括和、因数、差、直径、圆、商、周长、余数、米、总计、角、量、数字、分母、除、分数、积、相等、平均数、减等。他们的老师认为学生应该知道这些术语，学生也认为这些是自己已经学会了的词，还学会了图表、符号、例子以及词、图表、符号与范例的综合，但实验结果显示，被试学生平均只能给出4个正确的定义。如果在定义时允许使用图表与符号，平均正确数上升为11个。这一研究结果表明：教师必须专门花时间帮助学生理解词汇和符号，毕竟学生是通过语言构建自己的观点，如果学生缺乏对重要词汇的理解，就不能在理解的基础上讨论数学或读数学。当然，数学语言有其独特的困难之处，如有些词在数学与英语中共用，但在各自文本中的意义不同。有些词在不同的学科中共用，但各自的意义也不一样，即使同样在数学学科中，不同背景下有些词的意义也不一样，如median在几何学中是中位线，而在统计学中是中位数。更有甚者，有些词和符号在科学技术学中具有独特的意义，如在计算中log是指以10为底的对数，ln是指以e为底的对数等。

下面介绍几种在数学阅读中教师如何帮助学生学习数学词汇的策略：

1.策略一：将同一个词在普通英文与数学意义之间建立联系

如两条路的交汇之处即intersection，在教学中可以理解为两条线的交点或两个数集的交集；集合A的补集AC，学生明白C是complement(补充)的首字母之后，理解起来就自然多了。语言学中的前缀、后缀和词根在数学课中有不同的意义，曾有人针对米、进制或坐标做示范，然后让学生尽可能写出数学与普通语言中共用的同类词，这种做法是很有见解的，因为这样做能帮助学生意识到自己在普通语言中的知识有助于理解数学新词汇的意义。

2.策略二：读数学符号

在阅读数学文本时，理解数学词汇与符号是至关重要的，阅读的过程是读者带着自己已有的知识去理解的自我建构的过程。教师要采取一系列有效策略去帮助学生有效地阅读数学课本，而且这些策略还需要成为教学不可分割的部分。首先得明白学生学习数学符号时存在的一些困难，当学生将这些符号用文字语言表达出来时，困难就出现了。如7-2可以理解为7减2，7少2，7与2的差等多种不同的表达方式；有时为了好理解，有必要省略一些符号，如3·x常略写为3x，而却是。当x=-4时，求3x的值，有学生就会得到3x=3-4=-1，而不是理解为3×（-4）=-12；在书写时又会面临挑战，如写出12-4+5的简便运算时，学生常常错误地写为12-4=8+5=13，这样就意味着12-4=13，说明学生并不理解上面两个等式的意义是两个式子具有相同的值。

3.策略三：读标题

当前数学文本的主要内容是贯穿于文本中的题目或标题，教师需要将学生的注意力引向这些标题。因为当学生读了一个标题时，就会产生一个与这个标题相关的问题，那么在阅读相关内容时就会寻求这个问题的答案且不断生成新问题。在这个过程中，教师要帮助学生意识到阅读的目的，并且需要鼓励学生监督自己的思维与理解过程。阅读结束时，要让学生总结、评价并讨论所阅读的内容以深化理解、弥补理解中的不足甚至消除对一些概念的误解。学案教学法中的学案事实上就起到了双重作用，既制订了阅读目标，又提供了一种总结方式。

4.策略四：读图表

图表作为数学表征的一种形式，在空间中展示数学信息，尤其对擅长视觉理解与记忆的学生能起到独特的作用。虽然图片也有这一作用，但两者还是有区别的，图片包括了次要的细节，必须重新画一个草图，剔除掉一些干扰因素，才能提取出问题的结构，而图表更加强调问题的结构。

例如关于圆的面积公式的学习，国内人教版小学课本的教学方法是转化为长方形的面积去理解的。具体操作如下：将硬纸上的圆从圆心出发分成若干等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的平行四边形。然后借助想象，如果分的份数越多，每一份就会越细，那么，拼成的图形就越接近长方形。[11]这种方法由于借助极限思想，总使得小学生不十分信服，原因是纠结在平行四边形的边到底是不是线段上。下面介绍一种在“国培计划”项目培训中使用的方法：

第一步，想象一个圆面，这个圆面是由一个个同心圆构成的，而且这些同心圆之间没有缝隙，并与学生一同画出。

第二步，想象用一把剪刀垂直向下沿一条半径剪开的过程：当剪开第一个圆时，得到一个水平的线段，它的长等于这个圆的周长；当剪开第二个圆时，得到一个稍短点的线段，压在第一个线段上，而且中间没有缝隙；然后是第三个、第四个…每一个都比前一个稍短一些，而且彼此之间没有缝隙，这样剪下去，最终会得到一个等腰三角形，它的底等于圆的周长，高等于圆的半径。

第三步，根据面积不变性，就可水到渠成地得出圆的面积公式。

这种办法不再使小学生为最后形成的等腰三角形而纠结，当然，这需要教师自己创作图表了。

三、结论

在数学课堂与数学素养的发展中，作为有效交流整体组成部分的听、说、读、写，还存在着多种变式，教师需要整合这四部分去帮助学生很好地理解数学，利用语言的方方面面去培养学生数学语言的流畅性。学生能用多种形式交流和表征数学的时候就意味着他们对数学的理解产生了，也暗示教师要不失时机地关注这一刻，这种关注也帮助教师调整创新教学方法，从而学习就产生了。数学素养是课堂教学的目标之一，教师和学生应当同心协力通过交流扩展数学知识。▲

[1]National Council of Teachers of Mathematics.Principles and standards for school mathematics（2000）[S].Reston,Va:348,67.

[2][4][5][6][7]Deniss R Thompson,Michaele F Chappell.Com⁃munication and Representation as Elements in Mathematical Lit⁃eracy[J].Reading&Writing Quarterly,2007，23（2）:179-196.

[3]Davis B.Mathematics teaching:Moving from telling to listen⁃ing[J].Journal of Curriculum and Supervision,1999(3):267-283.

[8]Chappell M F，Thompson D R.Modifying Our Questions to Assess Students’ Thinking[J].Mathematics Teaching in the Mid⁃dle School,1999（4）:470-474.

[9]Kane R B,Byrne M A，Hater M A.Helping Children Read Mathematics[M].New York:American Book Company.

[10]Miller L D.Making the Connection with Language[J].Arithe⁃matic Teacher,1993(40):311-316.

[11]人民教育出版社小学数学室.数学（第十一册）[M].北京:人民教育出版社,2002.