串珠成线选情境，渐次展开求简约——以“一元二次方程（第1课时）”教学为例

☉江苏省海安县李堡镇初级中学 曹海燕

串珠成线选情境，渐次展开求简约
——以“一元二次方程（第1课时）”教学为例

☉江苏省海安县李堡镇初级中学 曹海燕

最近，南通市李庾南实验总校举行首届赛课活动，笔者有幸参加了初中数学赛课活动，执教了“一元二次方程（第1课时）”，得到评委老师的好评，本文呈现该课的教学设计和课堂生成，并给出教后反思，与同行交流.

一、“一元二次方程（第1课时）”教学设计

1.教学目标

（1）引导学生类比一元一次方程，定义一元二次方程的相关概念，并熟悉一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.

（2）结合开平方运算，引导学生发现特殊形式的一元二次方程的“直接开方法”，并进一步探索出“配方法”.

（3）践行“自学·议论·引导”教学法，使学生通过本课的学习知道一元二次方程全章学习的路径，学会自主学习.

2.重点、难点

教学重点：类比定义出一元二次方程的相关概念；发现特殊形式的一元二次方程的配方解法.

教学难点：特殊形式的一元二次方程的配方解法.

3.教学流程

活动一：问题情境

引例：用一根长为24m的绳子围出一个长方形.

（1）当围成一个正方形时，它的面积是多少？

（2）当长是宽的2倍时，长和宽各是多少？此时面积是多少？

（3）当它的面积是32m2时，长和宽各是多少？

预设意图：第（1）问学生会用小学阶段熟悉的算术方法解答；第（2）问可以引导学生用七年级的一元一次方程来解，目的是唤起学生回顾一元一次方程的相关概念，为后续类比定义一元二次方程奠定基础；第（3）问是为安排学生列一元二次方程“x2-12x＋32＝0”服务，从而引入新知.

活动二：类比归纳

引导学生类比一元一次方程定义一元二次方程，即只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程称一元二次方程.接着引导学生回顾一元一次方程的一般形式，定义一元二次方程的一般形式.

练习：下列方程是一元二次方程吗？请说明理由.

（1）x2＋2x＝0；（2）3x＋2＝5y-3；（3）x（x＋3）＝5；（4）4x2＝9.

活动三：探究解法

回到引例：用一根长为24m的绳子围出一个长方形.

（1）当围成一个正方形时，它的面积是多少？

预设追问：能否用方程求解？设边长为xm，得x2＝36；得出开方法解方程.接着变式如下，解方程：（1）4x2-36＝0；（2）（x-2）2=36；（3）x2-4x＋4＝36.然后回到开课阶段的方程x2-12x＋32＝0.师生共同探究解法，发现一元二次方程的配方解法.

二、课堂生成片断

1.开课阶段

师生研究情境问题第（2）问.

生1：设宽为xm，则长为2xm，2x＋4x＝24，6x＝24，x＝4，2x＝8，所以长是8m，宽是4m.

师：（板书）2x＋4x＝24，6x＝24.

师：这是一个什么方程？

众生：一元一次方程.

师：什么是一元一次方程？

生2：只含有一个未知数并且未知数的次数是1的方程.

师：（板书）一元一次方程的定义.

师生研究情境问题第（3）问.

师：请用方程解.

生3：x（12-x）＝32.

师：x表示什么？

生3：设长为xm，则宽为（12-x）m.

师：我们一起来化简这个方程.

生4：12x-x2＝32.

师：这个方程和一元二次方程相同吗？

众生：不同.

师：哪些地方不同？

生4：x的指数不同，一个是1，一个是2.

师：那它们有相同的地方吗？

生5：都是等式.

师：对，方程就是含有未知数的等式.还有需要补充的吗？

生6：都含有未知数.

师：都有几个未知数？

众生：1个.

师：还有要补充的吗？

生7：都是整式方程.

师：我们能给这样的方程取一个名字吗？

众生：一元二次方程.

2.探究解法

师：（指着-x2＋12x-32＝0）解这道题现在有些困难，我们先回到引例第（1）问.请用方程解“（1）当正方形的面积是36m2时，它的边长是多少？”

生8：设边长为xm，则x2＝36.

师：好，我们就从这个方程开始研究一元二次方程的解法.

师：会解吗？

生8：x＝±6.

师：方程有两个解，我们分别写成x1=6，x2=-6，由x2＝36到x＝±6是根据我们之前学的什么知识？

生8：开平方.

师：我们可以把这种解方程的方法叫做开方法.现在老师改变一下方程.

师：（板书）4x2-36＝0.（生独立思考）

生9：4x2＝36，x2＝9，解得x＝±3，所以x1=3，x2=-3.

师：继续改变，（x-2）2=36.（生独立思考）

生10：x-2＝±6，x-2＝6或x-2＝-6，所以x1=8，x2=-4.

师：这个方程x2-4x＋4＝36，如何解呢？（生独立思考）

生11：（x-2）2＝36，x-2＝±6，x-2＝6或x-2＝-6，所以x1= 8，x2=-4.

师：现在我们一起来看引例第（3）问得到的方程-x2＋12x-32＝0，为了解题方便我们把二次项的系数写成正的，方程化解成x2-12x＋32＝0.（生独立思考）

师：现在进行小组讨论，找出这类方程的解法.（小组讨论）

生12：x2-12x＋36-4＝0，x2-12x＋36＝4，（x-6）2＝4，x-6＝±2，x-6＝2或x-6＝-2，所以x1=8，x2=4.

师：你能讲一下是怎么想的吗？

生12：加36凑成平方的形式，原来是32，所以减4.

师：你能不能为这种方法取一个名字？

生12：就叫完全平方法吧！

师：好！就叫完全平方法，教材上称之为配方法.

三、教后反思

1.研究教材，优选情境问题

应该承认，教材是众多专家学者、名优教师精心打磨出来的课程资源，值得每一位老师认真研习.但是教材编写也有优差之分，研读教材时，对教材实行横挑鼻子竖挑眼的态度不能说不对.即对任何教材，在教学之前应该怀有研究心.章建跃教授对时下流行的“情境引入”曾做出思辨，指出“对‘从现实引入’的更全面认识，应从数学知识的发生发展过程需要来考虑，这个‘现实’既可以是‘生活的现实’，也可以是‘数学的现实’”.正是基于上述观点，我们没有根据九年级教材上情境问题（用长为16cm，宽为12cm的长方形纸做一个无盖的方盒），而上溯到七年级上册教材上一个围长方形问题.事实上，这并不是简单的取舍，而是在试教阶段，学生对九年级教材上两个情境问题感觉较为困难，列出的一元二次方程化简也有一定的难度，综合考虑之后，决定选择较为简单的围长方形问题.

2.经营“转场”，追求简约教学

文学、影视作品常常需要经营所谓的“转场”，比如在两个场景（即两段素材）之间，采用一定的技巧实现场景或情节之间的平滑过渡，追求较好的转场效果.可以发现，由于我们选择了围长方形这个情境问题，使得全课的各个环节都找到一个主线，并围绕这根主线渐次展开，自然生长，各个环节也实现了平滑过渡，一定意义上追求了课堂教学的简约化.当然，“简约”不是简单的压缩和简化，而是一种深广的丰富，是寓丰富于简单之中.

1.课程教材研究所.义务教育教科书·数学（九年级上册）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

2.章建跃.发挥数学的内在力量，为学生谋取长期利益［J］.数学通报，2013（2）.

3.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

4.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

5.许卫兵.简约：数学课堂教学理性回归［J］.课程·教材·教法，2009（5）.

6.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.