同课异构，让数学教学更贴近数学本质——“指数函数（第1课时）”同课异构的教学反思

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 殷伟康

·江苏省常熟市殷伟康名师工作室·

同课异构，让数学教学更贴近数学本质
——“指数函数（第1课时）”同课异构的教学反思

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 殷伟康

张奠宙教授认为数学本质是指：①数学知识的内在联系；②数学规律的形成过程；③数学思想方法的提炼；④数学人文精神的体验.其中数学思维能力是核心.2014年9月某市首届优秀青年骨干教师高级研修班A、B两位学员对同一课题：“指数函数（第1课时）”进行了同课异构，展现了不同的教学风格和处理教材的教学智慧，让数学教学更贴近数学本质.

一、创设情境，引入新课

学员A教学片断1

情境问题1：某细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……如果细胞分裂x次，相应的细胞个数为y，如何描述这两个变量的关系？

情境问题2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%.如果经过x年，该物质剩余的质量为y，如何描述这两个变量的关系？

引导学生分析，找到两个变量之间的函数关系，并得到解析式y=2x和y=0.84x.

学员B教学片断1

情境问题：网上有人说，将一张白纸对折50次以后，其厚度超过地球到月球的距离，你认为是真的吗？设白纸每张厚度为0.01 mm，已知地球到月球的距离约为380 000 km.

请各小组将课前准备好的报纸拿出来，你认为可以将其对折多少次？

问题1：若设对折次数为x，报纸的层数为y，则y与x的关系是什么？

问题2：设报纸的原面积为1，则报纸的面积y与对折次数x的关系又是什么？

评析：学员A通过学生感兴趣的指数函数的具体实例，让学生感受指数函数与实际生活的联系，明确指数函数模型的实际背景.引导学生从具体实例中概括其典型特征，初步形成指数函数的概念，并用数学符号表示.学员B从学生感兴趣的一个生活实例（对折50次后纸厚度的骤变）出发，引发学生争议，由此创设折纸实验活动情境，更好地激发了学生的学习兴趣和探究的热情，强化了学生内在的学习需求，巧妙地导入了新课.

二、抽象特征，建构概念

学员A教学片断2

师：类似的函数，你能再举出一些例子吗？这些函数有什么共同特点？能否写成一般形式？

师：函数式y=ax中的a、x的取值范围有没有限制？你能规范地构建出一种新函数模型吗？这种新的函数怎样命名比较贴切？

学生依据分数指数幂的相关知识，很快发现：若a≤0时，x就不能取任意实数了，因此规定a＞0.当a=1时，函数就是常数函数y=1.对于y=1这个函数，已经比较了解了，所以通常还规定a≠1.由学生尝试归纳出新的概念：一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）称为指数函数，它的定义域是R.

学员B教学片断2

师：这样的函数你见过吗？是一次函数吗？二次函数？这样的函数有什么特点？你能再举几个例子吗？

师：板书学生举例（停顿），好像有不同意见.

生：底数不能取负数.

师：为什么？

生：如果底数取负数或0，x就不能取任意实数了.

师：我们已经将指数的取值范围扩充到了R，我们希望这些函数的定义域就是R.

师：这些函数有什么共同特点？

生：都有指数运算.底数是常数，自变量在指数位置.

师：能否抽象、概括出具备上述特征的函数更一般的模型吗？

生：y=ax（a＞0）.

师：当a=1时，函数就是常数函数y=1.对于这个函数，我们已经比较了解了.通常我们还规定a≠1.能否规范地构建出这种新的函数模型？这种新的函数如何命名比较贴切？

通过探讨、交流，得到体现自变量在指数位置这一本质特征的最基本、最简洁的形式：y=ax（a＞0且a≠1），从而完成对指数函数概念的建构.

评析：概念教学应当让学生感受形成过程，了解知识的来龙去脉，那种直接抛出定义后辅以“三项注意”的做法剥夺了学生参与概念形成过程的机会.两位老师都能注重让学生经历从特殊的指数函数抽象概括指数函数的模型、建构指数函数概念的过程，并探讨底数a的取值范围.指数函数的本质是自变量出现在指数上，应促使学生对概念本质的理解.指数函数概念的形成，经历了一个由特殊到一般，由具体到抽象的渐进过程，这样更加符合学生的认知心理和思维历程.

三、师生互动，探索新知

学员A教学片断3

师：我们定义了一个新的函数，接下来该研究什么呢？

生：研究其性质.

师：（稍等片刻）我们一般要研究哪些性质呢？

生：变量取值范围（定义域、值域）、单调性、奇偶性.

师：如何研究指数函数的性质呢？能否类比以前研究的函数性质的方法展开探究呢？

生：画出函数图像，观察图像，分析函数性质.

生：先研究几个具体的指数函数，再研究一般情况.

师：选取合理数据，画出函数图像，观察图像特征，归纳函数性质.

学生自主选取数据，利用绘图软件作出底数0＜a＜1和a＞1的指数函数在同一直角坐标系中的图像，观察它们之间的异同，总结指数函数的图像特征与性质.

生：当a＞1时，指数函数在（-∞，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，指数函数在（-∞，+∞）上单调递减.而且它们的图像都经过定点（0，1）.

生：因为y=ax总是大于零的，所以图像始终在x轴上方，也就是说值域为（0，+∞）.

生：图像既不关于y轴对称，也不关于原点对称，所以指数函数是非奇非偶函数.

生：（补充）当a＞1时，若x＞0，则y＞1；若x＜0，则0＜y＜1.当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1；若x＜0，则y＞1.

生：（补充）当a＞1时，底数越大，图像越陡峭.

生：函数y=2x与函数的图像关于y轴对称.

生：底数a（a＞0且a≠1）互为倒数的指数函数（即函数y=ax与y=a-x）的图像关于y轴对称.

师：你能不能将这一特殊的现象推广一下？

生：函数y=f（x）与y=f（-x）的图像关于y轴对称.

师：从现象到本质，居然能提炼出如此优美的数学结论，这是一次重大的发现，值得学习和借鉴.这些结论是否正确？

生：还须证明.

师：由图像特征归纳猜想得到的结论，还须证明或说明.如单调性，还应通过f（x1）与f（x2）的大小比较进行代数证明，我们将在以后用代数方法进行验证.

学员B教学片断3

师：我们已经学过了函数的哪些性质？

生：单调性、奇偶性、定义域和值域.

师：研究函数的性质通常用怎样的方法？

生：通过图像入手，展开研究.

师：可惜现在对指数函数还不够了解，那么怎样去描绘其图像呢？

生：通过列表、描点、连线的方法.

通过学生分组合作，分工协作，描点作图，观察它们之间的异同，组内交流、整理指数函数的图像特征与性质.分层展示各小组研究成果（用实物投影仪展示学生所画图像及结论），汇报交流，将函数图像的直观感知与数学理性思维相结合，逐步有序归纳指数函数的性质，并从函数表达式角度对其结论进行说明.

评析：学员A引导学生讨论，归纳出研究函数性质的基本步骤：①选取数据；②画出图像；③观察特征；④归纳性质；⑤证明或说明.学员B先让学生自己动手画一下函数图像，对指数函数的图像建立直观认识.然后教师通过四个函数图像引导学生分析得出指数函数图像的变化完全由底数a来控制的结论，进而引导学生按照底数0＜a＜1和a＞1两种情况对指数函数进行分类探究并加以说明这些性质成立的合理性，在此过程中培养学生观察、分析问题的能力.

四、新知运用，深化理解

学员A教学片断4

例1比较下列各组数中两个值的大小.

①1.52.5，1.53.2；②0.5-1.2，0.5-1.5；③1.50.3，0.81.2．

其中第③小题中两个数的底数不一样，如何比较两者大小？

师：你考虑利用哪个函数？是y=1.5x还是y=0.8x？这两个函数有什么关联？

生：它们的图像都过点（0，1）．

师：也就是说，可以将1转化为指数形式，即1=1.50= 0.80．那接下来呢？

生：比较1.50.3，0.81.2和1的大小．

师：这样，我们就找到了一个比大小的中间量．以往我们计算出幂的值来比较大小，现在我们利用指数函数的单调性，不用计算就可以比较两个幂的大小．

师：有无其他方法？

生：老师，只要作出y=1.5x和y=0.8x图像，观察图像，也不用计算，就可以比较两者大小.

师：很好！通过观察图像，比较大小，这样求解更加直观、形象化，体现了数形结合思想.

学员B教学片断4

例2比较下列各组数中两个值的大小.

①1.52.5，1.53.2；②0.5-1.2，0.5-1.5；③1.50.3，0.81.2．

生：①②构造相应的指数函数模型，利用其单调性解决问题.

师：第③小题与①②两小题有什么不同？

生：底数不同，指数也不同.

师：能不能借助指数函数的单调性比较大小？

生：不能，因为底数不同，不能构造同一个指数函数.

师：能否借助指数函数的其他性质比较大小？

学生通过重新审视发现：指数函数的图像都经过定点（0，1），即1=1.50=0.80．再根据指数函数单调性，1.50.3＞1.50=1，0.81.2＜0.80=1，进而比较大小.

师：这种解法有什么特点？

生：寻找中间量，通过中间量过渡，利用不等式的传递性比较大小.

师：性质是由图像得来的，能否通过作图比较大小？

生：作出y=1.5x和y=0.8x的图像，借助图像，发现1.50.3所对应的点在直线y=1的上方，而0.81.2所对应的点在直线y=1的下方，所以1.50.3＞0.81.2.

评析：两位学员对第③小题的处理都能引导学生回到定义、图像和性质中寻找解题突破口．让学生认识到利用指数函数的单调性是比较两个幂大小的常用方法，还可以通过数形结合，观察图像的变化规律，比较大小.

五、课堂小结，画龙点睛

学员A教学片断5

师：本节课我们学习了什么知识？

生：指数函数的概念、图像和性质．

师：回顾我们的研究过程，我们是怎样研究指数函数的性质？

生：先确定研究的内容：定义域、值域、单调性、奇偶性和其他性质．然后从几个具体的指数函数开始，画出图像，列出性质，最后归纳出一般情况．

师：这是一种从特殊到一般的研究方法．研究指数函数的方法，也是研究函数的一般方法，今后我们还会运用这样的方法研究其他新的函数．

学员B教学片断5

问题1：本节课在知识层面上，你有哪些收获？

问题2：研究函数的一般方法和步骤是怎样的？

问题3：本节课积累了哪些数学活动经验或数学思想方法？（分类讨论、数形结合）

问题4：你体验到了什么？你感悟到了什么？（有学生提出“心中有图”，方能应对如流）

评析：课堂总结不是对所学知识的简单回顾，应让学生在知识、方法和策略上多层次地整理，促进学生理解所用学习方法的合理性与普遍性，使学生获得知识与能力的共同进步．学员B诱导学生通过反思，对课堂学习的内容有一个完整、清晰而深刻的认识，感悟数学知识中所蕴含的思想方法，掌握研究函数的方法，从而对指数函数的概念和性质进行有效地意义建构.

六、名师点评，诱发反思

名师1：两位老师都能紧扣教学目标，对教材进行了二次开发，抓住自变量在指数位置这一本质，通过实际情境引入，得到新的函数关系，让学生自主举例，分析共同特征，形式化表示等过程，师生共同完成指数函数概念的建构.如何处理好信息技术与传统教学的关系？两位学员给出了诠释.学员A利用绘图软件作图，让学生观察图像，归纳出指数函数图像特征与性质.而学员B注重引导探讨研究函数性质的方法，通过学生亲自作图，在直观感悟中形成对指数函数图像特征与性质的认识，这样的教学更利于对数学本质的理解，掌握研究函数性质的科学方法.对例题的处理大同小异，借助于“中间量”进行比较大小.史宁中教授认为：“通过创设情境及数学活动，让学生感悟出其中蕴含的数学思想方法，乃是数学教学的本质.”因而学员B的课堂小结中设置的问题更有启发性、更加有效.值得商榷之处：指数函数概念概括出来后，应该对概念有一个辨析的过程，这样更利于学生对指数函数概念的理解和领悟.

名师2：苏霍姆林斯基曾说：“任何一个教师都不可能是一切优点的全面体现者，每一位教师都有他的优点，有别人所不具备的长处，能够在精神生活的某一个领域里比别人更突出、更完善地表现自己.”同课异构正是基于展现每个教师处理教材的能力和教学智慧，启迪教师更深入地“理解教材，理解学生，理解教学”（章建跃博士提出的“三个理解”），改变教学方式，注重回归本源，揭示数学概念的发生、发展过程和本质，凸显本真数学教学.两位学员都能围绕“核心主线”，精心设计数学问题，展开合作学习和自主探究，有效地实施了“核心概念”的教学.引导学生认识到实例的共同特征是自变量在指数的位置，获得对指数函数本质的认识.进而将这一本质数学化，建立数学模型，探讨底数的取值范围，从而完成从特殊到一般、具体到抽象的数学概念的建构过程.怎样研究指数函数的性质？适度暗示，让学生主动地联想，探索研究函数性质的方法，并付诸研究实践，学员A的教法更到位.运用信息技术作出相关的图像，归纳出其相应的性质，这样给学生的概括活动提供更丰富的具体例证的支持；若用技术仅作为验证归纳性质的手段，可能少妥.而学员B的教法则朴实一点，贴近学生的思维，让学生通过作图，直观归纳出指数函数的性质，并对结论进行理性思考，显得比较自然，但缺少引领学生寻找“研究函数的性质”方法的指导过程，不利于学生对研究函数的性质一般方法的认识与掌握.

教学反思：数学教学的核心是教出“数学味”，也就是说要把“面对一个新的数学对象，应如何入手和展开研究”作为教学设计重点，使学生在建构数学概念过程中，逐步学会认识和解决问题的方法.因而，数学概念教学要挖掘、揭示其本质属性．数学概念的形成，基于“三个理解”的基础，创设贴近学生思维水平的情境引入，引发学生展开有效的思维和探究，让学生经过从感性认识到理性认识，才能有效地建构数学概念.如何让学生产生感性认识，需要教师在教学设计时创设适当的问题情境，激趣启智，尝试提出问题，并引导学生对概念的辨析，使学生思维自然过渡，逐渐感悟数学概念的本质，以达水到渠成之功效.教学不仅要关注知识的落实，还要关注如何揭示数学本质和学生思维能力的发展.因而，要把提出问题的机会留给学生，把寻找方法的空间让给学生，把自主探究的权力还给学生，让学生在思考与探究中发现数学本质，感悟思想，掌握方法，发展思维，使数学课堂更加精彩、有效.

1.邢玮，章建跃.迁思回虑，一得之功——对“指数函数（第一课时）”教学设计的再思考与评析［J］．中学数学教育（高中版），2013（1-2）.

2.刘明.“指数函数”该怎样上——来自第六届全国高中青年教师优质课的“同课异构”［J］．中学数学杂志，2014（3）．F