初等函数的Taylor展式在解题中的应用

刘海峰++++李英杰

摘 要： 本文以近年来全国硕士研究生入学考试（数学一、数学二）中的题目为例，说明初等函数的Taylor展式在解题中的应用.

关键词： Taylor展式 无穷级数 硕士研究生招生考试

全国硕士研究生招生考试数学考试大纲明确指出，数学考试的考查目标是：要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力[1].

无穷级数是高等数学的一个基本概念，在微积分的发展史上处于重要地位.Taylor级数对初学高等数学的理工科大学生是难点，也是研究生入学考试的考点.本文以近几年全国硕士研究生入学考试数学试题中出现的题目为例，说明初等函数的Taylor展式在解题中的应用，希望给正准备考研的同学一些帮助，同时也对正在学习高等数学的同学有所启发.文中用到的初等函数的Taylor展式，均从最初等的结果推导得出，我们强调方法的重要性，强调对数学概念的理解而不是单纯的记忆.

一、应用Taylor展式计算函数极限

例1：（2014数学一No.15）求极限

分析：题目是求分式的极限.由于分子是变限积分确定的函数，且不易用初等函数表示，这提示用洛必达法则计算该极限，通过对分子和分母分别求导，简化分式.同时我们观察到，如果直接求导，那么虽然分子得到简化，但分母会变得复杂，因此需要先对分母作等价无穷大替解：因为

所以由等价无穷大替换及洛必达法则可知

说明：研究生入学考试中求函数极限的题目常可以用等价无穷小（或等价无穷大）的替换结合洛必达法则求解.本题难度值为0.570，区分二、应用Taylor级数证明不等式

例2：（2012数学一No.15）证明：

分析：证明不等式的方法，教材中常见方法有利用函数的单调性、Lagrange公式和最大值最小值等.考虑到本题中函数的特殊性，利用函数的Taylor展式会更简洁，也更直接，而且可以证明比该不等式更强的结论成立.

证明：因为当-1

所以，

由此即得

所以，要证明的不等式成立.

说明：早在1668年，James Gregory在《几何原本》中就有

“Euler按照他自己和所有他同时代人的经验坚信，所有函数都能展开成级数.而事实上，在那时，所有解析表达式给出的函数的确都可以展成级数”，“级数只是无穷多项式，并且也就当作多项式来处理.”本题难度值为0.397，区分度为0.434[2].该题同时为2012数学二No.20、数学三No.18.

三、应用Taylor级数的和函数预测根值

两端同时加上1，即得

说明：本例先利用Taylor展式观察出要求的极限值，再给出严格的论证.合情猜测能提供解决问题的思路，是考生应该注意掌握的一个技巧.本题的难度值为0.290，区分度为0.548[2].

四、结语

研究生招生考试数学考试大纲中考查目标的最后一句话说明，数学考试的题目相对比较综合，不是单纯考查某个知识点.考生在考试时会发现有些题目看似简单，却很难用常规思路解题.但是，只要考生深刻理解数学概念，平时多训练多总结，就能逐步强化考试大纲中要求的灵活运用抽象知识综合解决具体问题的能力.

参考文献：

[1]全国硕士研究生招生考试数学考试大纲（高教版2015年）[M].教育部考试中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[2]全国硕士研究生招生考试数学考试分析（2015年版）[M].教育部考试中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[3]美，M.克莱因著.古今数学思想（第2册）[M].北京大学数学系数学史翻译组译.1979.8，上海：上海科学技术出版社.