对分数再认识的若干思考

王晓红

一、教学片段呈现

1.课件出示一块蛋糕，准备分给四个小朋友。

师：怎样分才比较公平？

生：要平均分成4份。

师：其中的1份可以用什么数来表示呢？

生：四分之一（异口同声）。

师：四分之一是什么数？你是怎么想到四分之一的？

生：以前学过了，把一个物体平均分成若干份，其中的一份可以用几分之一来表示。

师：好的，这是以前学过的知识，今天在这样的基础上，我们继续学习分数的知识。

2.出示3块比萨饼，仍然准备分给这四个小朋友。

师：能平均分给这四个同学吗？

生一时语塞，似有困难，出现短暂思考时间。

师：看来同学们需要商量一下，请大家先在小组里交流，然后全班汇报。

学生汇报时，大体出现了两类声音：

声音1：每位学生分得四分之三块比萨。

声音2：每位学生应分得这些比萨的四分之一。

师：到底是四分之一，还是四分之三呢？

学生开始在课堂上大声地争辩起来。

师：谁来说说自己的想法。

生1：我们是这样想的：把这些比萨平均分给学生不好分，所以我们先拿出一块平均分成四份，每一份就是四分之一，总共有3块比萨，所以共有3个四分之一，就是四分之三块了。

生2：我们是把这3块比萨叠在一起的，看做一个整体，然后就像分蛋糕一样，切两刀，平均分成4份，每人拿一份，所以每人应分得这些比萨的四分之一。

生1：你讲得不对，叠在一块后总共有3块比萨，分出的应该是四分之三块比萨。

教师对上述情况早已做了预设及准备，学生讲解的同时课件演示出这两种平均分的方法。

师：好的，其实，这两个同学讲得都对，每人分得的比萨既可以用四分之三块表示，又可以用这些比萨的四分之一表示，换句话说，这些比萨的四分之一就是四分之三块。

讲台下一阵骚动，学生议论纷纷，对于老师的“总结陈词”不理解，也不赞同。

二、诊断分析

以上片段是某位教师在执教本节课的实录，不难从中看出，学生对于“每人分得的比萨既可以用四分之三块来表示，也可以用这些比萨的四分之一来表示”不理解。其实，很多老师在教学本课时，也会有这样的感受，怎样让学生感受到“把由若干个物体组成的一个整体平均分成几份，可以用几分之一或几分之几这样的分数表示这个整体里的一份或几份”？

为什么会出现这种情况呢？“分数”在五年级教科书中是这样定义的：“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。”在这样的定义中，我们不难发现“单位1”是一个很抽象的，难以理解的概念，它可以是“一个物体”，也可以是“一个计量单位”，还可以是“许多物体组成的一个整体”，很多情况下的“单位1”是看不见、摸不着的，但客观存在的。三年级上册教学时“将一个物体平均分成若干份”，学生理解起来比较容易。因为将“一个物体”看成“单位1”时很直观，实实在在，清清楚楚。正是因为“单位1”被通俗易懂地理解成1个物体，所以“平均分的对象”学生很明白，就是“那一个物体”，“平均分的结果”学生也很清楚，就是“那一个物体的”几分之一。三年级下册再学习《认识分数》时，教学中将“3块比萨”平均分给4个小朋友，出现两种声音，其实是源于对“单位1”的两种不同理解：第一种想法认为“每人分得的比萨是四分之三块”，是将一块比萨看做“单位1”（仍然停留在三上认知水平上，将1个物体看做“单位1”），将其平均分成4份后，每一份是这块比萨的四分之一，也就是四分之一块，之后进行叠加得出四分之三块；而第二种想法认为“每人分得这些比萨的四分之一”是将3块比萨看做“单位1”的，平均分成4份，每一份当然是这些比萨的四分之一了。数学老师细想这两种想法都有道理。但如果站在学生思考的角度来想，要解决“每人分得多少比萨？”的问题，可能第一种想法更符合孩子的认知。因为学生已有三年级上册认识分数的基础，其思考的想法会受已有知识经验的影响，自然会出现“每人分到四分之三块比萨”的想法。相比之下，第二种想法“将3块比萨看成一个整体，将这个整体平均分成4份，每一份可以表示为这些比萨的四分之一”反而是比较难理解的，只有少数优生和教师才能接受。教师简单的一句“这两个同学讲得都对，每人分得的比萨既可以用四分之三块来表示，又可以用这些比萨的四分之一来表示”能使学生心悦诚服吗？笔者认为要想解决好这个认识问题，有必要帮助学生对“单位1”（即“一个整体”）的概念进行科学合理的建构。

三、教学思考

要想让学生对于“单位1”的概念有深刻理解，要注重以下几个关系的处理。

1.处理好部分与整体之间的关系，让学生认识分数总离不开单位“1”。

“分数”是用来表示“部分”与“整体”之间的一种关系。“整体”往往被称之为“单位1”，相对应的那“部分”就是表示为“单位1”的几分之一或几分之几，它们是紧密联系、不可分割的。在理解分数时，若离开了“单位1”这个整体概念，那么这种数学表达将变得毫无意义。所以，三年级上册教学时，我们不仅要让学生知晓将一块蛋糕平均分成两份，每一份是“二分之一块蛋糕”，还要重点强调是“这块蛋糕的二分之一”，前者可能更多地讲清了蛋糕的多少（即具体量），而后者才是“二分之一”这个分数的本质含义（即部分与整体之间关系的一种数学表达）。本教学片段中也是这样，首先要让学生充分感知到这些比萨是如何平均分的；平均分后的“部分”与“整体”间的关系可以怎么表达，其次要清楚为什么可以说“每人分得这些比萨的四分之一”，最后弄清“这些比萨的四分之一”到底是“多少块比萨”？

2.处理好分数与平均分之间的关系，让学生理解分数产生的前因后果。

将一个物体或一个整体“平均分”成若干份，其中的一份或几份可以用“分数”来表示。反过来想，如果“单位1”没有“平均分”，那么其中的某一部分就不能用“分数”表示[1]。从这个意义上来讲，“分数”应该是“平均分”的结果，“平均分”则是产生“分数”的必经过程。在“分数”产生的过程中，与“单位1”本身含有物体的个数是没有关系的，而是与平均分的“总份数”有关，与“想表示的份数”有关。在课例中正是因为“这个整体”（即这些比萨）中的3块（即物体的个数）干扰了学生的思维，学生注意力牢牢集中在物體个数上，没有想到“已将3块比萨看做一个整体”了，使得直观的实物与抽象的表达间产生纠葛，影响到学生对于“分数”本质的再理解与再认识。

3.处理好实践操作与抽象概括的关系，让学生活动探究中自主建构分数意义的实质。

从一个物体的几分之一到一个整体的几分之一，是认识分数的一次发展，也是学生思维由直观到抽象的一次重要过渡。为什么多数学生头脑中没有“一个整体”及“一个整体的几分之一”的概念？笔者认为主要是学生缺乏自主的实践操作活动，缺乏对分数意义建构过程，导致对“一个整体”、“平均分”、“几份”、“一份”等若干抽象概念没有充分理解到位。

在教学中，为了使学生对分数的初步认识不断深化，可以尝试对问题情境的呈现方式做改变：创设孙悟空大闹蟠桃大会的故事情境，在离开天庭的时候，孙大圣给花果山的小猴子们带回若干个口袋，告知学生每个口袋里面分别装有吃的、玩的等。现在想将每个口袋中的东西（不打开口袋）平均分给4只小猴，该怎么分才公平呢？在师生交流对话的过程中引导学生充分理解“平均分”“四份”、“每一份”等概念，最终达成共识：每一份都是这个口袋的四分之一，再组织各小组进行实践操作活动。由于课前发给每个4人小组的“口袋”内容是不一样的（主要类型有：①1个桃画片、②4个桃画片、③8个桃画片、④12个正方形画片、⑤32个小三角形图、⑥64个小圆片图……），所以每个4人小组，平均分得到的“每一份”也是各不相同的：到1个桃，到2个桃，发展到3个正方形画片，8个小三角形图，16个小圆片图……都是“一个口袋的四分之一”，为什么“每一份”各不相同呢？从而引起学生对“单位1”的关注与理解。学生的思维逐渐从具体发展到抽象，对分数的认识和理解得到了升华，不仅巩固了如何将整体“平均分”，还在比较中揭示了分数的内涵，完成了对分数意义的建构：只要把一个整体平均分成几份，其中的一份就能用几分之一来表示，而每一份具体是什么，可能会由于“单位1”的不同而不同。