似是而非：两道全等习题的求解感悟

刘张睿

似是相似，而并非相同.本周，我遇到两道相似的题目，却当成一样来做.

题1 如图1，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，试判断BE、DF与EF的数量关系，并说明理由.

因为在之前学习过程中曾碰到过类似的问题，所以我很快构造出辅助线.

证明：如图2，延长CB至M，使BM=DF，连接AM.

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中，

AB=AD，

∠ABM=∠D，

BM=DF，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM.

∵∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中，

AE=AE，

∠FAE=∠MAE，

AF=AM，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，

即EF=BE+DF.

问题来了，在另一份作业中，我又碰到下面这道题：

题2 如图3，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG.

（1） 求证：BG=CF；

（2） 请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

第（1）问我很快就解决了，∵BG∥AC，∴∠DBG=∠C，

在△BDG和△CDF中，

∠BDG=∠CDF，

BD=CD，

∠DBG=∠C，

∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG=CF.

第（2）问我先是猜想“BE+CF=EF”，在草稿上七转八转好长时间都没有头绪，最后只好放弃.第二天老师讲评时，我才恍然大悟，原来我的思考方向出错了！应该是BE+CF>EF！重新调整方向后，我很快获得突破：

∵△BDG≌△CDF，∴DF=DG，CF=BG，

又∵DE⊥GF，∴EF=EG，

在△BEG中，

∵BE+BG>EG，∴BE+CF>EF.

看，原来最后回到了三角形的三边关系的一个不等式！看似实则不是，这让我想起一个故事《野兔的经验》，讲述了一只野兔为了防止猎户的陷阱，只走自己原来的脚印原路返回……然而，有一天，猎户伪造了一个个脚印，兔子误认为一样的，结果掉入陷阱.我也好像那只兔子，掉入了陷阱.

似与是，似≠是.需要分辨清楚，才能成功.

教师点评：对于初学全等的同学来说，小作者在这篇数学写作中提到的两个全等习题都属于难题级别.比如“题1”需要构造全等，而且要证两次全等才能实现目标，如果再深一层的话，我们还可提出一些同类结论：“求证：△CEF的周长是定值”；而“题2”同样是探求三条线段之间的数量关系，却不是一个等量关系，需要转化到一个三角形中利用三边关系来解答.此外，作者把这两道习题关联在一起，以“似与不是”为文题，也是恰当的，这也正是很多数学习题的特点，题目的条件与结论稍稍改变，可能就会是一个新的问题，透过现象看到本质、洞若观火才是数学解题训练的目标.受小作者的文末联想启发，老师也想到了画家齐白石对作画的主张：妙在似与不似之间，太似为媚俗，不似为欺世.

（指导教师：江海人）