一次函数的两位“主管”

熊小燕

在一年一度的函数公司表彰总结大会上，一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）受到了热捧.在随后记者对一次函数的采访中，一次函数彬彬有礼地告诉记者：“我们一次函数中的员工个个身材‘苗条，都以一条直线身材而无比自豪.在平面直角坐标系这块土地上默默地奉献自己的青春.公司的业绩能够蒸蒸日上，主要得益于我的两位正副‘主管k和b卓越的管理才能和默契配合.”在接下来的采访中，一次函数向大家介绍了两位“主管”分管的业务：

一、正“主管”k分管的业务

（1）决定直线的倾斜方向

当k>0时，直线从左至右上升；当k<0时，直线从左至右下降.

（2）决定函数的增减性

当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.

（3）决定直线必经过的两个象限

当k>0时，直线必经过第一、三象限；当k<0时，直线必经过第二、四象限.

二、副“主管”b分管的业务

（1）决定直线与y轴的交点位置

当b>0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴；当b=0时，直线与y轴的交点在原点；当b<0时，直线与y轴的交点在y轴的负半轴.反之，当直线与y轴的交点在y轴的正半轴时，b>0；当直线与y轴的交点在原点时，b=0；当直线与y轴的交点在y轴的负半轴时，b<0.

（2）决定直线必经过的两个象限

当b>0时，直线必经过第一、二象限；当b<0时，直线必经过第三、四象限.

一次函数的介绍也从他们的公司形象宣传海报中得到证实：

①当k>0、b=0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；

②当k<0、b=0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、四象限；

③当k>0、b>0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、二、三象限；

④当k>0、b<0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三、四象限；

⑤当k<0、b>0时，y随x的增大而减小，直线经过第一、二、四象限；

⑥当k<0、b<0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、三、四象限.

不用一次函数介绍，我们已经能够看出两位“主管”在管理中的默契配合.这主要体现在直线经过的象限问题上，除了b=0时，副“主管”b不参与管理外，当b≠0时，两位主管除了共同决定直线经过的一条象限外，其他两条象限由两位主管分别独立决定，互不干涉.如当k>0，b<0时，由“主管”k的主管业务知，该直线经过第一、三象限，由副“主管”b的主管业务知，该直线经过第三、四象限，所以该直线经过的第三象限是由两位主管共同决定的，而直线经过的第一象限和第四象限则是由“主管”k和副“主管”b独立决定.

二、工作实绩

例1.直线y=kx+b经过A（x1，y1）、B（x2，y2），若k>0且x1>x2，则y1_______ y2.

解：由正“主管”k分管的业务知，当k>0时，y随x的增大而增大.

∵x1>x2，∴y1>y2.

例2.一次函数y=-2x+1的图象经过哪几个象限（ ）

A.一、二、三象限 B.一、二、四象限

C.一、三、四象限 D.二、三、四象限

解：因为k=-2<0，由正“主管”k分管的业务知，当k<0时，直线经过第二、四象限；而b=1>0，由副“主管”b分管的业务知，当b>0时，直线经过第一、二象限.所以一次函数y=-2x+1的图象经过第一、二、四象限.答案选B.

点评：解答此类由一次函数的解析式确定其经过的象限问题，一般应先根据k的符号确定其经过的两个象限，再根据b的符号确定其经过的另外两个象限，最后将两者经过的象限进行综合即为一次函数经过的象限.

例3. 若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是 （ ）

A.k>0、b>0 B.k>0、b<0 C.k<0、b>0 D.k<0、b<0

解：由正“主管”k分管的业务知，当y随x的增大而减小时，k<0；由副“主管”b分管的业务知，当直线与y轴的交点在y轴的负半轴时，b<0.答案选D.

例4.若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，则k_____0，b_____0（填“>”、“< ”、或“= ”）.

解：由图象经过第二、四象限知k<0，由图象经过第三、四象限知b<0.

点评：解答此类由一次函数的图象经过的象限确定k和b的符号问题，一般应先根据图象经过第一、三象限或第二、四象限确定k的符号，再根据图象经过第一、二象限或第三、四象限确定b的符号.

例5. 如图7所示，表示一次函数y=mx+n与y=mnx（m、n是常数且mn≠0）的图象的是（ ）

A B C D

解：对于两个函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，进而确定字母系数的符号，然后再根据已确定的字母系数的符号验证另一图象是否正确.如对于选项A，由一次函数y=mx+n经过第一、三象限知m>0，由直线与y轴的交点在y轴的正半轴知n>0，所以mn>0，于是y=mnx经过第一、三象限，而选项A中的y=mnx的图象经过第二、四象限，显然错误.同理选项C、D错误.答案选B.

点评：解答两个函数图象共存于同一坐标系的问题，除了先假设某一图象正确外，也可同时假设两个图象正确，进而根据两个图象判断字母系数的符号，根据两个图象得出的字母系数的符号一致的选项即为正确的选项.

（作者单位：湖北省秭归县归州镇初级中学）endprint

在一年一度的函数公司表彰总结大会上，一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）受到了热捧.在随后记者对一次函数的采访中，一次函数彬彬有礼地告诉记者：“我们一次函数中的员工个个身材‘苗条，都以一条直线身材而无比自豪.在平面直角坐标系这块土地上默默地奉献自己的青春.公司的业绩能够蒸蒸日上，主要得益于我的两位正副‘主管k和b卓越的管理才能和默契配合.”在接下来的采访中，一次函数向大家介绍了两位“主管”分管的业务：

一、正“主管”k分管的业务

（1）决定直线的倾斜方向

当k>0时，直线从左至右上升；当k<0时，直线从左至右下降.

（2）决定函数的增减性

当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.

（3）决定直线必经过的两个象限

当k>0时，直线必经过第一、三象限；当k<0时，直线必经过第二、四象限.

二、副“主管”b分管的业务

（1）决定直线与y轴的交点位置

当b>0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴；当b=0时，直线与y轴的交点在原点；当b<0时，直线与y轴的交点在y轴的负半轴.反之，当直线与y轴的交点在y轴的正半轴时，b>0；当直线与y轴的交点在原点时，b=0；当直线与y轴的交点在y轴的负半轴时，b<0.

（2）决定直线必经过的两个象限

当b>0时，直线必经过第一、二象限；当b<0时，直线必经过第三、四象限.

一次函数的介绍也从他们的公司形象宣传海报中得到证实：

①当k>0、b=0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；

②当k<0、b=0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、四象限；

③当k>0、b>0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、二、三象限；

④当k>0、b<0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三、四象限；

⑤当k<0、b>0时，y随x的增大而减小，直线经过第一、二、四象限；

⑥当k<0、b<0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、三、四象限.

不用一次函数介绍，我们已经能够看出两位“主管”在管理中的默契配合.这主要体现在直线经过的象限问题上，除了b=0时，副“主管”b不参与管理外，当b≠0时，两位主管除了共同决定直线经过的一条象限外，其他两条象限由两位主管分别独立决定，互不干涉.如当k>0，b<0时，由“主管”k的主管业务知，该直线经过第一、三象限，由副“主管”b的主管业务知，该直线经过第三、四象限，所以该直线经过的第三象限是由两位主管共同决定的，而直线经过的第一象限和第四象限则是由“主管”k和副“主管”b独立决定.

二、工作实绩

例1.直线y=kx+b经过A（x1，y1）、B（x2，y2），若k>0且x1>x2，则y1_______ y2.

解：由正“主管”k分管的业务知，当k>0时，y随x的增大而增大.

∵x1>x2，∴y1>y2.

例2.一次函数y=-2x+1的图象经过哪几个象限（ ）

A.一、二、三象限 B.一、二、四象限

C.一、三、四象限 D.二、三、四象限

解：因为k=-2<0，由正“主管”k分管的业务知，当k<0时，直线经过第二、四象限；而b=1>0，由副“主管”b分管的业务知，当b>0时，直线经过第一、二象限.所以一次函数y=-2x+1的图象经过第一、二、四象限.答案选B.

点评：解答此类由一次函数的解析式确定其经过的象限问题，一般应先根据k的符号确定其经过的两个象限，再根据b的符号确定其经过的另外两个象限，最后将两者经过的象限进行综合即为一次函数经过的象限.

例3. 若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是 （ ）

A.k>0、b>0 B.k>0、b<0 C.k<0、b>0 D.k<0、b<0

解：由正“主管”k分管的业务知，当y随x的增大而减小时，k<0；由副“主管”b分管的业务知，当直线与y轴的交点在y轴的负半轴时，b<0.答案选D.

例4.若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，则k_____0，b_____0（填“>”、“< ”、或“= ”）.

解：由图象经过第二、四象限知k<0，由图象经过第三、四象限知b<0.

点评：解答此类由一次函数的图象经过的象限确定k和b的符号问题，一般应先根据图象经过第一、三象限或第二、四象限确定k的符号，再根据图象经过第一、二象限或第三、四象限确定b的符号.

例5. 如图7所示，表示一次函数y=mx+n与y=mnx（m、n是常数且mn≠0）的图象的是（ ）

A B C D

解：对于两个函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，进而确定字母系数的符号，然后再根据已确定的字母系数的符号验证另一图象是否正确.如对于选项A，由一次函数y=mx+n经过第一、三象限知m>0，由直线与y轴的交点在y轴的正半轴知n>0，所以mn>0，于是y=mnx经过第一、三象限，而选项A中的y=mnx的图象经过第二、四象限，显然错误.同理选项C、D错误.答案选B.

点评：解答两个函数图象共存于同一坐标系的问题，除了先假设某一图象正确外，也可同时假设两个图象正确，进而根据两个图象判断字母系数的符号，根据两个图象得出的字母系数的符号一致的选项即为正确的选项.

（作者单位：湖北省秭归县归州镇初级中学）endprint

在一年一度的函数公司表彰总结大会上，一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）受到了热捧.在随后记者对一次函数的采访中，一次函数彬彬有礼地告诉记者：“我们一次函数中的员工个个身材‘苗条，都以一条直线身材而无比自豪.在平面直角坐标系这块土地上默默地奉献自己的青春.公司的业绩能够蒸蒸日上，主要得益于我的两位正副‘主管k和b卓越的管理才能和默契配合.”在接下来的采访中，一次函数向大家介绍了两位“主管”分管的业务：

一、正“主管”k分管的业务

（1）决定直线的倾斜方向

当k>0时，直线从左至右上升；当k<0时，直线从左至右下降.

（2）决定函数的增减性

当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.

（3）决定直线必经过的两个象限

当k>0时，直线必经过第一、三象限；当k<0时，直线必经过第二、四象限.

二、副“主管”b分管的业务

（1）决定直线与y轴的交点位置

当b>0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴；当b=0时，直线与y轴的交点在原点；当b<0时，直线与y轴的交点在y轴的负半轴.反之，当直线与y轴的交点在y轴的正半轴时，b>0；当直线与y轴的交点在原点时，b=0；当直线与y轴的交点在y轴的负半轴时，b<0.

（2）决定直线必经过的两个象限

当b>0时，直线必经过第一、二象限；当b<0时，直线必经过第三、四象限.

一次函数的介绍也从他们的公司形象宣传海报中得到证实：

①当k>0、b=0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；

②当k<0、b=0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、四象限；

③当k>0、b>0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、二、三象限；

④当k>0、b<0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三、四象限；

⑤当k<0、b>0时，y随x的增大而减小，直线经过第一、二、四象限；

⑥当k<0、b<0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、三、四象限.

不用一次函数介绍，我们已经能够看出两位“主管”在管理中的默契配合.这主要体现在直线经过的象限问题上，除了b=0时，副“主管”b不参与管理外，当b≠0时，两位主管除了共同决定直线经过的一条象限外，其他两条象限由两位主管分别独立决定，互不干涉.如当k>0，b<0时，由“主管”k的主管业务知，该直线经过第一、三象限，由副“主管”b的主管业务知，该直线经过第三、四象限，所以该直线经过的第三象限是由两位主管共同决定的，而直线经过的第一象限和第四象限则是由“主管”k和副“主管”b独立决定.

二、工作实绩

例1.直线y=kx+b经过A（x1，y1）、B（x2，y2），若k>0且x1>x2，则y1_______ y2.

解：由正“主管”k分管的业务知，当k>0时，y随x的增大而增大.

∵x1>x2，∴y1>y2.

例2.一次函数y=-2x+1的图象经过哪几个象限（ ）

A.一、二、三象限 B.一、二、四象限

C.一、三、四象限 D.二、三、四象限

解：因为k=-2<0，由正“主管”k分管的业务知，当k<0时，直线经过第二、四象限；而b=1>0，由副“主管”b分管的业务知，当b>0时，直线经过第一、二象限.所以一次函数y=-2x+1的图象经过第一、二、四象限.答案选B.

点评：解答此类由一次函数的解析式确定其经过的象限问题，一般应先根据k的符号确定其经过的两个象限，再根据b的符号确定其经过的另外两个象限，最后将两者经过的象限进行综合即为一次函数经过的象限.

例3. 若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是 （ ）

A.k>0、b>0 B.k>0、b<0 C.k<0、b>0 D.k<0、b<0

解：由正“主管”k分管的业务知，当y随x的增大而减小时，k<0；由副“主管”b分管的业务知，当直线与y轴的交点在y轴的负半轴时，b<0.答案选D.

例4.若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，则k_____0，b_____0（填“>”、“< ”、或“= ”）.

解：由图象经过第二、四象限知k<0，由图象经过第三、四象限知b<0.

点评：解答此类由一次函数的图象经过的象限确定k和b的符号问题，一般应先根据图象经过第一、三象限或第二、四象限确定k的符号，再根据图象经过第一、二象限或第三、四象限确定b的符号.

例5. 如图7所示，表示一次函数y=mx+n与y=mnx（m、n是常数且mn≠0）的图象的是（ ）

A B C D

解：对于两个函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，进而确定字母系数的符号，然后再根据已确定的字母系数的符号验证另一图象是否正确.如对于选项A，由一次函数y=mx+n经过第一、三象限知m>0，由直线与y轴的交点在y轴的正半轴知n>0，所以mn>0，于是y=mnx经过第一、三象限，而选项A中的y=mnx的图象经过第二、四象限，显然错误.同理选项C、D错误.答案选B.

点评：解答两个函数图象共存于同一坐标系的问题，除了先假设某一图象正确外，也可同时假设两个图象正确，进而根据两个图象判断字母系数的符号，根据两个图象得出的字母系数的符号一致的选项即为正确的选项.

（作者单位：湖北省秭归县归州镇初级中学）endprint