基于改进粒子群-差分算法的电容器优化配置

孙白艳 李众立 杨 帅

(西南科技大学计算机科学与技术学院，四川 绵阳 621010)

电容器的优化配置是无功补偿系统优化的前提，它要求在不同负荷水平、不同时段及不同地点等各种限制条件下选择合适的电容器安装节点、安装大小和安装类型，以尽可能地减少成本，提高电网的电压质量，获得最大经济收益。配电网电容器优化配置是一个非线性整数优化问题，其目标函数和约束条件都是离散控制的非线性函数，难以直接用常规的优化方法来求解，而且随着电力系统规模的不断扩大，其计算量也在显著增加。

近年来，一些智能优化算法及其改进算法被广泛地应用到电容器优化配置上来。余欣梅提出了改进粒子群优化算法，并将其应用到电容器优化配置和电容器优化投切上[1]；张爱军等将遗传算法进行了改进[2]；文献[3，4]对传统的Tabu搜索算法进行了灵敏度分析改进；文献[5]将免疫算法和遗传算法进行比较，并将其应用到电容器优化配置上。这些现代启发式方法在电容器优化配置问题上取得了一定的成果，但是上述各种算法同样存在着一些不足，单一的智能算法在迭代后期都会出现收敛于局部极值的现象。

笔者在研究了粒子群优化(PSO)算法和差分进化(DE)算法的基础上，对粒子群优化算法做了改进，并将改进后的粒子群算法与差分进化算法相结合，提出了一种改进粒子群-差分算法的混合算法。将该算法应用到配电网电容器优化配置中，对IEEE33节点配电网算例进行仿真，结果表明该算法在一定程度上提高了目标函数的搜索效率和收敛精度，避免了寻优过程中过早陷入局部极值的问题，证明了该算法的实用性和有效性。

1 算法分析①

1.1 PSO算法

(1)

(2)

其中，k、k+1表示迭代次数；w表示惯性权重；c1、c2为加速系数，也称作认知因子和社会因子；rand1和rand2是两个在区间[0,1]内的随机数，每次迭代都随机生成；pid-xid说明了粒子自身最佳状态和当前状态的距离；pgd-xid说明了粒子当前状态与种群中“邻居”粒子找到的最佳状态的距离。

式(1)中的关键参数w起着调整算法的功能，一方面可以平衡粒子的全局搜索能力。另一方面也要调整微粒的局部搜索能力。当w较大时粒子可以保持运动惯性，有利于搜索到整个区域；当w较小时有利于搜索范围较小的局部区域。大多数粒子群优化算法都是在迭代初始时设置w为较大的值，随着迭代的增加逐渐递减至较小的值。文献[1]对惯性权重w做了大量分析，提出将惯性权重w随着迭代次数的增加由最小值wmin线性增长至最大值wmax，即：

w=wmin+(wmax-wmin)·itera/iteramax

(3)

式中itera、iteramax——迭代的次数和最高次数；

wmax、wmin——w能取的最高值和最低值。

结合式(2)对粒子群优化算法的速度做以下改进：

(4)

(5)

其中，φ1、φ2为取值在[0.5,2]的随机数。

1.2 DE算法

DE算法是在20世纪末由Stron等提出的基于群体进化的计算技术[7]。它具有记忆功能，能记录种群中的个体最优解，同时还具有共享机制，能够在种群内部进行信息共享。作为一种群智能搜索算法，DE首先在搜索空间随机生成一个初始种群，然后用当前种群个体的差分变异和交叉重组得到中间代种群，然后再对中间代种群和父代种群进行选择操作，得到新一代种群[8]。笔者用DE经典的DE/rand/1/bin形式进行说明[9～12]。

根据边界约束条件在D维搜索空间中随机生成Np个个体，该优化过程由3个主要的操作步骤来控制，分别为突变、交叉和选择。

突变。在D维搜索空间中随机生成一个种群Np，该种群内的个体Xi=(xi1,xi2,…,xiD)(i=1,2,…，Np)；随机选择3个不同的向量Xr1(t)、Xr2(t)和Xr3(t)作为3个变异个体：

Mi(t)=Xr1(t)+F(Xr2(t)-Xr3(t))

(6)

其中，F是取值在[0，2]的缩放因子，用于改变差分变量的放大和缩小水平；t为进化代数。

交叉。对第t代个体Xi(t)及其变异个体Mi(t+1)进行交叉操作得到中间代个体：

(7)

其中，k、krand为1,2,…,D的随机维度；rand为[0,1]的随机数；CR为[0,1]的交叉因子。

选择。DE算法采用贪婪策略，从父代个体和中间代个体中选择优越者组成新一代的个体Xi(t+1)，其中f为求解问题的适应度函数：

(8)

1.3 改进粒子群-差分算法

PSO算法和DE算法都属于启发式群智能算法[13]，在保证PSO种群多样性的情况下，PSO算法能较好地探索求解区域，收敛速度也相对较快。但是PSO算法在遇到高位复杂问题优化时容易出现早熟现象。为了解决PSO过早收敛于局部极值的问题,对PSO算法的关键参数w进行改进，并将其与DE算法嵌套迭代形成一种新的混合群智能算法——改进粒子群-差分(IPSO-DE)算法,该算法首先利用PSO的快速搜索能力得到一个较优的群体,然后利用DE的变异算子对其进行变异操作,再对原种群和变异后的实验种群进行交叉运算,再用DE的贪婪选择算法选择出较优的群体。

算法的基本步骤如下：

a. 随机生成m个粒子作为父代种群，每一个粒子i随机生成一个位置坐标Xi和速度坐标Vi。设置参数c1、c2并生成相应的φ1、φ2值、缩放因子F、交叉因子CR及最大迭代次数Tmax等。

b. 计算当前粒子的适应度值。记录个体当前最优值Pi=(pi1，pi2，…，pin)，种群全局最优值Pg=(pg1，pg2，…，pgn)。根据式(2)、(4)更新粒子的位置和速度信息，并根据式(3)、(5)更新惯性权重w和φ1、φ2值。

c. 若粒子当前的适应度值优于个体极值Pbest，则当前适应度值作为新的个体极值Pbest。所有粒子的适应度值与全局极值Gbest比较，若有优于Gbest的粒子则更新Gbest。

d. 根据式(6)～(8)对粒子进行变异、交叉和选择操作，并将进行差分进化运算后的粒子个体极值和全局极值记为DPbest和DGbest。

e. 比较Pbest和DPbest以及Gbest和DGbest，保留较优者。

f. 判断是否达到终止条件，如果没有则转到步骤b继续执行；否则，结束运行，输出最优值并退出程序。

2 基于IPSO-DE算法的配电网电容器优化配置

2.1 目标函数和约束条件

电容器优化配置的目标是在满足电力系统负荷增长需要和各项约束条件下，根据优化方法使系统有用功网络损耗费用和电容器配置费用达到最低[13]。系统的电能损耗总费用就是系统的有功网络损耗费用，指在不同负荷情况下的功率损耗与该负荷水平持续时间的乘积。电容器配置费用包括电容器的购买费用、安装费用及其维护费用等。目标函数为：

(9)

其中，ke为单位有功网络损耗费用系数；nt为负荷等级；nc为配电网中需要安装补偿电容器的节点总和；ti为负荷等级i下的持续时间；Ploss为负荷等级i下的有功网络损耗；xi=[Pi,Qi,Ui]；Pi、Qi和Ui分别表示在第i个负荷下每一个节点有功功率注入向量、无功功率注入向量和电压；ui,k为在负荷等级i下节点k处的安装电容器容量；f(ui,k)为节点k处安装电容器的投资费用，包括购买、安装及维护费等[13]。

约束条件为：

(10)

s.t.

潮流计算约束Pflow(xi,ui)=0

节点电压约束Ui,min≤Ui≤Ui,max

(11)

电容器容量约束 0≤uk,i≤uk,0

式中Ui,max、Ui,min——节点电压的最大值与最小值；

uk,0——电容器容量的安装上限。

2.2 求解过程及其步骤

用于解决配电网电容器配置问题的算法步骤如下：

a. 输入系统数据。根据补偿节点数据和补偿上下限约束，初始化一个粒子群体，粒子的维数设置为系统的节点总数，设置粒子的速度、位置信息及进行差分进化运算的缩放因子F等。记录个体当前最优值Pi=(pi1，pi2，…，pim)，种群全局最优值Pg=(pg1，pg2，…，pgn)。

b. 判断当前微粒位置中的某些变量是否满足式(11)的约束，若不满足则将这些变量限制为约束上下限值。计算各个补偿节点的费用和有功网络损耗。

c. 在不同负荷水平下，计算系统的潮流方程，获得各个节点的有功功率、无功功率和电压值，根据式(2)、(4)更新粒子的位置和速度，根据式(3)更新惯性权重w，按式(9)计算粒子的适应度。若粒子当前的适应度值优于个体极值Pbest，则当前的适应度作为新的个体极值Pbest。所有粒子的适应度值与全局极值Gbest比较，若有优于Gbest的粒子则更新Gbest。

d. 根据式(6)～(8)对粒子进行变异、交叉和选择操作，并将进行差分进化运算后的粒子个体极值和全局极值记为DPbest和DGbest。

e. 比较Pbest和DPbest以及Gbest和DGbest，保留较优者。

f. 判断是否达到终止条件，如果没有则转到步骤b继续执行，否则就结束运行输出优化结果。

3 算例分析

将以上算法应用于IEEE33节点系统进行优化配置计算，计算过程中，令种群规模m=40，ke=0.80元/kWh，单位电容器的无功补偿功率为300kVar，可投切电容器的金额为5 000元，每个安装点的安装费用为1 500元，每单位固定电容器的价格为2 000元，每单位电容器年维护费用为500元，每个节点电容器的安装上限为5台，电压的上下限分别设置为1.0V和0.9V，每年不同负荷持续时间见表1，IEEE33节点配电网结构如图1所示。

表1 不同负荷年持续时间

图1 IEEE33节点配电网结构示意图

优化结果见表2。

表2 电容器的优化配置结果

电容器优化配置的结果对比见表3。

表3 电容器优化配置结果对比

从表3可以看出合理配置电容器后，系统网络损耗降低了17.4%，有功网络损耗得到了降低，年运行费用节省了9.19万元，减少了35.6%。算例分析表明，所提出的IPSO-DE算法的求解方法是合理、有效的。

4 结束语

提出的IPSO-DE算法充分发挥了粒子群算法搜索速度快、效率高、算法简单的特点。针对PSO算法易于陷入局部极值的问题进行了改进，结合差分算法的鲁棒性和能克服启发式算法常见早熟问题的特点，将其运用到配电网电容器优化配置问题上，结合IEEE33节点的配电系统，编写实用的计算机仿真程序进行仿真计算，对计算结果的分析表明：笔者所提出的算法不仅降低了网络损耗，还节省了资金投入，取得了较好的优化结果。

[1] 余欣梅.考虑谐波影响的配电网电容器优化模型及相关算法研究[D].武汉:华中科技大学,2004.

[2] 张爱军,冯煜珵，陈陈，等.基于改进遗传算法的电容器优化配置[J].宁夏电力,2006,(3)：1～5,15.

[3] 张伏生,李燕雷,汪鸿.基于Tabu搜索算法的配电网电容器优化配置[J].电网技术,2003,27(4):72～75.

[4] 卢鸿宇,秦毓毅,刘俊勇.基于改进的Tabu搜索算法的配电网电容器优化配置策略[J].四川电力技术,2008,31(4)：92～94.

[5] 丁晓群,李子韵,黄伟，等.基于免疫算法的配电网电容器优化配置[J].浙江电力,2003，22(4):1～4，8.

[6] 杨洪,罗滇生,霍明.基于SA-PSO的配电网电容器优化配置[J].电力系统及其自动化学报,2009,21(3):111～114.

[7] Qi B,Shen F Y.Performance Comparison of Particle Swarm Optimization Variant Models[C].2014 11th International Conference on Information Technology:New Generation.Las Vegas,NV：IEEE，2014:575～580.

[8] 刘建平.基于混沌和差分进化的混合粒子群优化算法[J].计算机仿真,2012,29(2):208～212.

[9] Price K V.Differential Evolution：a Fast and Simple Numerical Optimizer[C].1996 Biennial Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society.Berkeley, CA：IEEE，1996：524～527.

[10] Ston R,Price K.Differential Evolution-a Simple and Efficient Heuristic for Global Optimization over Continuous Spaces[J].Journal of Global Optimization,1997，11(4)：341～359.

[11] 谢晓锋,张文俊,张国瑞，等.差异演化的实验研究[J].控制与决策,2004,19(1):49～52，56.

[12] Zaharie D.Influence of Crossover on the Behavior of Differential Evolution Algorithms[J].Applied Soft Computing,2009,9(3):1126～1138.

[13] 辛斌，陈杰.粒子群优化与差分进化混合算法的综述与分类[J].系统科学与数学,2011,31(9):1130～1150.