数学学习成本与收益二律背反关系的形成与对策

摘要：受应试教育的影响，我国初等数学教育学习成本与收益并不协调，甚至在某个学习阶段、某所学校及对某些学生而言，数学学习成本与收益还会形成二律背反关系。二律背反关系的形成，对学生个体、数学教师及学校的数学教学都将造成较大伤害。如何降低不必要的学习成本，使学习的收益最大化，消除学习成本与收益之间的二律背反关系，是数学教育者需要认真研究的重要课题。

关键词：学习成本 收益 二律背反 对策

数学，是我国学生投入时间与精力最多的学科之一，是我国各级各类考试权重最大的学科之一，也是我国学生夺冠最为鲜亮的领域。数学的重要性人人皆知，学生、家长、学校、社会等在数学教学中投入的成本是巨大的，但数学教学的成本投入与收益是否成正比是一个值得关注的重要课题。

研究数学学习成本必须要考虑成本投入和承担主体在时间、经济、健康、重复学习、公共资源占有等多个方面进行的投入与收益这两大方面的分析。在江苏北部某县和江苏南部某市各选取500个样本进行数学学习成本分析研究。

初等数学学习成本调查表

注：常规学习：指不含任何功利目的，不以升学为指挥棒，且符合教学大纲要求的学习。升学考试：指中高考。竞赛：指奥数。

家长时间成本：指孩子上下学、参加各类辅导班、在家学习的陪护等时间上的付出。

经济成本：指在数学学习上投入的学杂费、资料费、校内外的补课费等。

一、初等数学学习成本与收益分析

根据对初等数学教育学习成本的调查，对学习成本及学习收益分析如下：

1.学生数学学习成本投入与收益分析

学习成本分析：我国接受初等教育的学生在数学学习上投入的时间平均每天1～3.5小时，这个时间投入量是巨大的。之所以要在数学学习上投入那么多时间，因重复式学习、学习复杂化、题海战术占学习总量的一半以上。各种辅导用书越来越多，内容越来越杂，学生在数学学习上耗费的时间也就越来越多。高重复式学习成就了部分高分学生，但也让很多学生失去了对数学的兴趣，甚至厌恶数学。在时间总量不变的现实下，在数学学习上投入的时间增加，自然就会减少课外活动、体育运动、社会实践上的时间投入。

学习收益分析：部分天赋好、学习认真的学生能在各类考试及竞赛中获得优异成绩，为实现升入理想学校的目标奠定了必要的基础。但那些能考出高分的学生，综合数学能力与数学素养并不一定理想。以中国学生参加SAT考试为例，在运算技能等相应类型题目上表现出色，但在坐标几何、数据理解、排列组合、数列和级数以及集合类题目上表现相对较差[1]。因这五类题目要求学生具有能够准确阅读理解题意、强大周密的逻辑分析能力，而这些能力正是我国学生所欠缺的。目前发布的《2012中国SAT年度报告》显示，参加美国高校入学考试的中国高中生中，只有7%的成绩达到及格线。出现如此低的及格线，其根源在于中国教育缺乏对批判性思维的训练[2]。SAT高扬的是思维领先，技巧次之;表述至上，杜绝复制的核心精神，检测的是学生的理解、分析、评估、推论、说明及自我校准能力，而这些数学教育的内核与实质正是我国数学基础教育的短板所在。

2.教师数学教学成本投入与收益分析

教学成本分析：我国初等教育数学教师是学校中压力较大的群体，教师们平均每天在数学教学上投入的时间在6-10小时。在繁重的教学压力下，很多数学教师每天就是备课、上课、改作业、改试卷，难有时间做其他的事。整天思考如何教学生解题，无暇顾及学生数学素养的提高及自身的专业成长，部分教师由于长期的超负荷工作，身体处于亚健康状态。

教学收益分析：在某种程度上，初等教育数学教师最大的收益就是学生考出理想分数，高徒出名师。在以应试为目的的初等教育，教师们把很多精力用于揣摩试题、分析考点、收集各种题型、拓深拓宽知识点。有些数学教师片面从数学知识的严密性、系统性、逻辑性和科学性出发，让学生有意感知、注意、记忆数学概念，却忽视从教学艺术角度开发学生的潜意识和主观能动性，没有触及学生的精神需求，将数学课变成枯燥的定义描述、乏味的定理证明和一遍又一遍的模式化训练。受应试教育的影响，数学教师不仅缺失正确的教学导向，也缺失健康的专业发展，很难在科学育人上思考与实践。

3.学校数学教学成本投入与收益分析

教学成本分析：基于数学在初等教育中的重要性，在各类升学考试中的权重，以及以分数和升学率为主要依据的教育评价方式，学校层面在时间投入上，每天数学课至少要两个课时;在经济投入上，数学课是各种教学参考书、习题集、讲义等资料使用最多的学科，也是学校发放教师课时津贴最多的学科。学校为了提高学生分数，必须不断加大知识难度、拓宽知识界限、加快教学进度，学习复杂化成本高于其他学科。

教学收益分析：一所学校升学率的高低、社会认可度的高低，数学教学作用巨大。有效提高学生数学考试成绩，能为学校争得声誉。数学教学要求偏高、偏难，理论要求及解题技巧要求基本上是为学生升入理工科大学设计的，使许多学生感到数学是最难学的科目，没有让极大多数学生形成对数学的兴趣。在教学内容处理上，介绍数学思维结果的较多，揭示思维过程与方法的较少;教学生如何解决数学问题的较多，但问题如何提出，以及为什么提出较少，缺乏对学生问题意识的培养。在教材处理上，对教材整体性体现不太充分，用章节或单元将代数和几何分开，学生在阶段学习时得不到整体训练。教师教法存在五个“过多”和五个“过少”：灌输式过多，参与式过少;结论型过多，问题型过少;封闭式过多，发散式过少;重分数过多，重能力过少;书本知识过多，解决问题能力训练过少等问题较为普遍地存在着。

4.社会教育资源数学教学成本投入与收益分析

成本投入分析：国家投入经费建造少年宫、青少年活动场所、科技场馆等社会教育场馆，是面向全体青少年的社会公益场馆，是满足青少年多样化学习需求的重要场所，是对青少年进行社会教育的主要载体之一。但在很多地方，这些社会公益教育场馆未能很好地履行自己的教育职责，将社会公益教育简单地等同于与升学相关的课外辅导班。还有些社会教育场馆长期被各种社会培训机构及各种辅导班租用，致使国家的教育投入没有发挥出应有的教育功能。endprint

收益分析：将社会公共文化场馆租给奥数培训机构或各种数学辅导班，把场馆的教育功能单一化了。有的奥数培训机构和各种数学辅导班与名校相互配合，利用社会公共文化场馆及名校里的名师培养部分升学、竞赛的高手，为名校揽优质生源，取得显性的教育成绩。培训机构可借此很好创收，名校可从中选拔高分学生，少数学生可通过社会教育资源的强化进入优质学校，但却剥夺了广大青少年享受社会公益教育的权利。公共教育资源流失带来的显性成绩，不仅造成新的教育不公，也让社会公益教育处于尴尬地位。

二、数学学习成本与收益二律背反关系的形成

从总体来讲，我国初等数学教育学习成本与收益并不协调，甚至在某个学习阶段、某所学校及对某些学生而言，数学学习成本与收益还会形成二律背反关系。数学学习成本与收益之间为什么会形成二律背反关系？分析如下。

1.学生与知识是间接关系，学习成本与收益不协调

学生与数学的关系是间接关系而非直接关系，不仅学到的是“死数学”，而且还会在学习成本与收益上形成二律背反关系。以立体几何中二面角的学习为例，这是立体几何中的重点内容，也是难点。对于这部分知识的学习，教师通常的做法是给出二面角的定义，二面角的平面角的确定方法，然后用大量时间和习题进行巩固训练。学生学习二面角的目的就是为了正确求解相关习题，与二面角知识上的关系是间接的，学习方式是被动的，学生能看到解题后的成果却体会不到知识创造的过程，制约了对探索精神和创造力的培养。若教师在讲授这部分内容前，找出一个有代表性的问题，让学生思考或讨论二面角的平面角（棱上、面内、垂直）的确定，做二面角的平面角的方法，求二面角的平面角的方法（直接法、投影法、向量法）等进行主观探索，教师根据需要给予引导，这样获得的知识比被动的大量习题训练要好得多。当学生与知识间是间接关系时，付出的学习成本就很难得到应有的收益，自然会形成二律背反关系。

2.教师教学围着考试转，教学收益单一

如果教师教学只围着考试转，必然会在教学中反复讲解教材的数学成分，忽视逻辑成分。老师们一遍又一遍地讲解数学的定义、性质、定理和逻辑证明，学生们即使达到了老师的教学要求，老师的主要收获就是学生的考试成绩。如何在有限的一节课教学时间内使知识信息传输量最大，时间利用率最高，数学问题解决最多，学生考试成绩提高幅度最大，这是极大多数数学教师的主要教学目的，这样势必导致学生在课堂上以接受教师传授知识，即被动学习为主，以完成老师布置的题目、提高分数为主，无法实现数学教学的真正目的，除了提高学生的考试成绩，学生综合素质的提高、教师的专业发展等重要的考量指标很难在以考试为中心的教学模式下得到很好的提高。

3.评价标准单一，付出与收益不对等

无论哪种类型的数学考试，都采用绝对评分法，即以一张试卷成绩为最终评价结果。从相关课题研究及部分地区进行的数学教学方面的调查分析显示，我国初中生数学及格率在40%左右，高中生的及格率比初中生还低几个百分点。学生在数学学习上付出那么多的时间与精力，为什么及格率那么低？其根源在于评价方式出了问题，重知识轻能力的评价方式，忽略了学生的学习态度、数学潜力、探索力、问题解决能力等多方面的能力，付出了高成本却得到低收益。对很大一部分学生来说，由于他们考不出理想的分数，不仅影响了他们学习数学的兴趣，也影响了他们人生综合能力的培养与提高。

4.教材与试卷难度系数有差距，重复学习成本较高

随着教育的发展与教育改革的不断深化，为了突出减负、创新的要求，教科书历经几次改版，删去了一些内容，难度也有所降低。但考试内容却与教科书要求相差很大，教师与学生不得不花费大量的时间去购买课外学习资料、做课外习题，重复学习成本较高。而长期的重复式学习会制约学生发现问题、创造思维能力的养成，对学生终身发展形成制约。

5.学习过程缺少留白，重显性收益轻隐性收益

基于以分数和升学率为主要依据的教育评价方式，很多教师无法顾及学生的长远发展及学生的个体差异，为了提高分数，必须在有限的时间里使知识传授最大化，把学生的时间填满，没有给学生的学习过程留白，学生难有想象与独立探索的空间。

三、解决数学学习成本与收益二律背反关系的对策

解决数学学习成本与收益之间二律背反关系、使初等数学教育优质发展的惟一出路是从应试教育中走出来，以培养人为目的，让数学教育回归育人本真。

1.培养高素质的数学教师

最能影响学生水平的因素是高素质、高效能的教师，高素质的数学师资的培养途径主要有六个方面。

（1）提高师范院校高考录取分数线，鼓励成绩优秀的学生就读师范院校，改变现今成绩不太好的学生才读师范院校的现状。

（2）加强对师范院校数学系学生综合素质的培养，培养他们专业发展的兴趣与能力。

（3）加强对在职数学教师的培训，提升他们应对教育发展趋势的能力。

（4）加强校际内数学教研组的团队建设，让他们相互借鉴、取长补短、共同提高。

（5）加强校际之间数学教师的有效交流，不走形式、不走过场、相互学习。

（6）扎实提高数学教师的科研能力，以研促教，用自己先进的教育理念去导向教育行为，并用自己深刻的内涵去影响学生。

2.加强数学学习成本研究，提高学习效率

学生数学学习之所以长期存在量多、低效等问题，根源在于教育体制上有重考不重教的倾向，没有关注学生的学习成本和学习效率，将数学的作用异化了。数学被异化，就失去了自己的特征，要么被等同于考试，要么被拔高夸大责任。

研究数学学习的成本，有三点要避免：（1）重复学习;（2）学习复杂化;（3）题海战术。要改变学生的学习状态、性质、内容和结构，减少结构化学习量，培养学生的创造性思维。创造性思维是个复杂的概念，而且它往往在注意力涣散、白日梦或不守规则时出现。数学教育要为学生创设出想象、猜想、质疑的空间，培养学生对数学的灵性、数学的感觉，对数学文化的认识和体悟，降低不必要的学习成本，切实提高学生学习数学的效率。endprint

3.对数学课程进行合理开发，注重学习收益

现行国家数学教材的内容都是较为成熟的学术观点，教材存在严谨有余、活泼不足;守成有余、创新不足;体系有余、开放不足;传授有余、互动不足等现象。作为辅导学生卷面考试的文本较为理想，但若提到培养学生的综合素质、创新精神的高度尚显不足。学校及数学教师应根据学生实际灵活对数学课程进行二度开发，提高数学学习收益。

例如：在讲授平面几何时，为拓展学生视野，向学生介绍欧几里德几何，罗巴切夫斯基几何和黎曼几何，让学生了解几何的发展过程，不仅扩展了学生的知识面，也能让学生从知识的发展过程中培养科学精神。增加必要的数学实践活动，如代数问题中的选值代入进行估算，几何问题中通过画圆进行直观猜想，运用教具显示进行图形性质的探索等。当学生的视野拓展到更加宏大的世界时，就会产生超越权威公理的怀疑精神，而知识的更新、社会的进步需要的就是这种怀疑精神。

4.给数学正确定位，不人为加大学习成本

数学是基础，这一结论毋庸置疑，但如何正确理解“基础”的含义？按照我国传统理解，“基础”是指基本理论、基础知识和基本技能。应从文化层面给数学的基础地位正确定位，将其定位于一个人的学习兴趣、质疑能力、探索能力等“能力体系”，将学习的目标指向追求学习过程中的思维发展。在知识选择上，以“够用”为目标，勿用茫茫题海加大学生的时间成本、健康成本，从而透支学生的发展成本。不人为夸大数学的责任，无论什么学科对学生成长而言都同等重要，没有权重大小之分。应逐步取缔目前各类升学考试中数学权重较大且人为将各门课程等级化的做法，让学生用平常心，合理的成本投入进行数学学习。

5.科学划定数学难度系数，降低学习时间成本

降低教学难度，科学划定数学内容的难度系数，降低学习时间成本，以“够用”为目的，以培养综合能力为导向，从“解题训练”这种单一的教学模式中走出来，以情趣促进教学，赋予数学情感色彩，让学生喜欢数学。将服从文本化考试的数学教学与生活相连，例如：用集合知识分析奥运会运动员相关情况;用“跳蚤的故事”描述无穷数量;用线段AB间的点解释“无穷”适合一个非常小的空间。通过这些实例，把“死”知识讲“活”，让数学富有生命特征，学生心灵深处的智慧才能萌发，才能学到真数学。

6.淡化分数，让学习收益最大化

淡化分数，勿用“分数”导向教学;开放考试形式，减少、取消不必要的考试。采用多种评价方式，认真对待及研究分数，但不强化分数，设计学生有兴趣且能启发学生思维的问题。允许学生出错，鼓励学生将考试时出现的错误或解决不了的问题带到考试时段外去探讨。除了传统的闭卷考试形式外，根据教学内容灵活使用多元化的考试方式，如：开卷考试、半开卷考试、答辩式考试、小论文式考试、实习报告、案例分析等方式[3]，注重考试对教育的适应性，让考试为学习服务。

任何学习都要付出相应的学习成本，有的学习成本大一些，有的成本小一些，数学学习属于学习成本大一些的范畴。如何尽可能降低学习成本，使学习的收益最大化，消除学习成本与收益之间的二律背反关系，是数学教育者需要认真研究的重要课题。广大数学教育工作者要在教学实践中，以党的教育方针为指导，以培养人为目的，认真思考和研究教育问题，适时更新教育理念，认真研究教材、研究学生、研究教育发展方向，灵活调整教学策略，让学生感受到数学的魅力，享受到数学的熏陶，学到真正的数学。充分发挥数学的育人功能，不仅能够让学生以数学为工具解决相关问题，也能让数学在培养学生综合能力上发挥重要作用。

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参考文献

[1]潘涌.SAT对中国高考的启示，从应试力到思想力.光明日报，2012-6-1

[2] 中国学生参加美国高考仅不到7%及格.东南网，2012-10-28.

[3] 吴维煊.淡化“分数场”——在动态均衡中实现数学教育优质发展.北京教育学院学报，2010（4）.

【责任编辑 刘永庆】endprint