数学教学要突出数学本质

彭永新

“新课标”开篇即说：“数学是研究数量关系和空间形式的科学”[ ]。这句话点出了数学的本质。我们知道，数学知识作为客观事物在数与形方面的特征与联系在人脑中的能动反映，反映的是一类对象在数与形方面的内在的、固有的属性，不仅表现为数学概念、法则、公式等抽象的言语信息，还表现为数学思想方法等策略性知识。但是在实际教学中，一些老师往往囧于具体教学内容的表面现象，看不清楚数学概念背后蕴含的数学本质的本源，教学实践中不能准确把握数学本质的教学主流，甚至轻视数学知识的教学，致使数学本质被“形式化”、“片面化”乃至“虚幻化”。下面选取几个教学案例做简单分析。

一、概念教学不能止于“形似”——数学本质“形式化”

案例1：某教师在教学线段、射线、直线之间的关系时，先出示一条线段，然后边擦端点边告诉学生“擦掉线段的一个端点，就变成了射线；再擦掉射线的一个端点，就变成了直线”。

分析：关于直线、线段、射线三者关系的描述，苏教版四上P16页有如下描述：把线段的一端无限延长，就得到一条射线；把线段的两端都无限延长，就得到一条直线。这两句话揭示了直线、射线与线段三者之间联系与区别：线段是直线的一部分，它有两个端点，可以度量，而直线和射线都是无限长的，射线只有一个端点，而直线没有端点。因此，“擦去线段的一个端点”，而不作延长的标示，它依然是一条线段，因为“擦去”一个端点，必然会产生新的端点。同理，只“擦去射线的一个端点”，也依然是一条射线。这一道理是如此的浅显，为什么这位老师要告诉学生“擦掉线段的一个端点，就变成了射线；再擦掉射线的一个端点，就变成了直线”呢？原因是这位教师浅显地理解“习惯上教材有意识地把射线的一个端点或线段的两个端点放大，使在线上隐形的抽象的点显性化、形象化”的真实用意。比如，画一条射线，只需在一端用一短竖线或者一个红点标示（教材上基本上是这样标示的），如果是线段，需要在两端都如此标示。如此来看，“擦去一个端点”，其视觉效果正好符合射线的“标示”模式。显然，这种做法迎合的只是一种数学概念外在的“形似”，而或略了直线和射线的本质特点“无限长”。这样的教学有可能使学生产生错误的理解：“直线就是线段去掉两个点，射线就是线段去掉一个点，从而误解了直线、线段、射线的本质属性。”我们的教学决不能将本质当做浅显的形式，失去了数学的“真”，这样的教学后果是可怕的。

二、概念教学该怎样走向深刻——数学本质“片面化”

案例2：一位教师教学倍的认识。先出示：●表示红花，你能知道红花的朵数是蓝花的几倍吗？先猜一猜，蓝花可能有几朵，红花的朵数就是蓝花的几倍？

学生有的说：2朵，有的说可能3朵，4朵，也有人说可能5朵，或者8朵……

师：大家的猜想有没有道理呢？这样吧，请你们在练习纸上用○表示蓝花先画一画，再圈一圈，看看红花的朵数是你画的蓝花的几倍？

数分钟后，教师展示蓝花分别是2朵、3朵、4朵和6朵四种情况（图略），并逐一让学生说出红花的朵数各是蓝花的几倍。

师：刚才有人说蓝花可以是5朵，或者8朵，你们觉得可以吗？

生：不可以！……

分析：很显然，这段设计十分精巧。先猜一猜，红花的朵数就是蓝花的几倍，蓝花可能有几朵。然后老师借助画、圈两个动作，让学生自主探索出蓝花的朵数可以是2朵、3朵、4朵、6朵。在听课的当中，我非常期待执教者能关注一下学生前面的5朵、8朵这两种猜想的现实性，但遗憾的是，教师将5朵、8朵这样的情况主动回避了。为什么回避？执教者的解释是二年级学生对“倍”的认识仅限于整数范围。因为只学了整数，所以倍的认识就只限于整数吗？

倍的本质是“比”，即两个量之间不仅仅是整数倍的关系，也可以是分率关系，关键是确定比的标准，将被比量看做一个单位，通过比较量有几个或几分之几个这样的单位来确定两者之间的倍比关系。学生出现的5朵、8朵的猜想，不仅不能被排除在倍的认识讨论之外，相反是教学走向深刻的一个契机。这个案例的分析说明，对数学本质的把握，我们需要有一个长远的目光。我们的教学不能只是见木而不见林，人为地割断知识间的联系，这很容易使学生陷入思维的泥沼。

三、数学文化的根基在哪里——数学本质“虚幻化”

案例3：一位老师执教圆的周长一课。课前先引导学生观看微课：也就是通过电脑演示圆的周长分别与它的外接正方形周长和内接正六边形周长比较，得出圆的周长比它的直径的三倍多一些，又比它的直径的四倍小一些。

接着教学中让学生分组用滚圆法或者绕圆法开展测量活动，并计算出周长与直径的比值（要求保留两位小数），巧合的是学生大多测量的结果接近3.14。

然后教师让学生交流前面微课的体会，引出古今中外关于圆周率的研究历史，从周三径一到祖冲之的历史贡献等等。

分析：很显然，执教者的意图是通过微课的形式充分展示了圆周率的历史文化，突出了数学文化的教学，而对操作测量活动的安排一带而过。对这样的安排，一些老师认为是可行的有深度的教学尝试。但笔者认为，如果没有测量法的实践感受，学生怎会产生深刻的“麻烦”体验，缺少了体验的文化渗透，充其量只是一场走秀而已。因此，笔者这里不仅需要从课堂上的实际情况做真实的测量活动，相反应该让学生从取一位小数、到两位小数、再三位小数、甚至四位小数的近似值结果，从中实际感受到测量法求圆周率的误差把握的不易，在此基础上再借机进行古代数学家们进行计算圆周率的方法探求，这不仅仅是一种科学精神的教育，更重要的是数学思想的渗透。从这节课的探讨来看，笔者以为我们对数学本质核心的理解关键取决于教师具有怎样的教学境界。

从上面三个案例的分析来看，一线教师在概念教学时之所以出现数学本质形式化、片面化、虚幻化，笔者认为一个重要的原因是教师们尚不能从微观出发来认识和把握处理数学概念的数学本质。所谓微观，即从小的方面、局部方面去研究，这种研究方法，叫做微观方法。在微观上，数学本质是指具体数学内容的本真意义。对此，章建跃、张翼等人提出，数学本质不仅体现在数学知识上，体现在数学思想、数学文化、数学精神里，还体现在抽象、严密、简洁等特点上。北京教育学院刘加霞教授则将数学本质的内涵归结为以下五个层面：一是对基本数学概念的理解；二是对数学思想方法的把握；三是对数学特有思维方式的感悟；四是对数学美的鉴赏；五是对数学精神（理性精神与探究精神）的追求。这些论述，对我们的教学实践具有一定的指导意义。

【作者单位：苏州工业园区星海小学 江苏】