基础激励下基于模态叠加法的谐响应分析

摘要： 针对ANSYS等商业有限元软件无法进行基础激励下基于模态叠加法的谐响应分析的问题，将以绝对响应为变量的动力学方程改写为基础响应与结构相对响应之和的形式，重新推导以相对响应为变量的结构动力学方程.以组合梁结构为例进行MATLAB程序仿真，并以ANSYS的PSD分析结果验证所推导的动力学方程的正确性，说明基础激励下利用模态叠加法进行谐响应分析的可行性.

关键词： 基础激励； 模态叠加法； 谐响应分析； 绝对响应； 相对响应； ANSYS； MATLAB

中图分类号： O324文献标志码： A

0引言

谐响应分析可用以分析结构响应与载荷之间的传递特性，获得结构振动的传递函数.该传递函数包括响应与载荷之间的幅值和相位关系.在工作中通过模态试验获得某结构的模态特性，测量得到结构的前几阶固有频率和模态阻尼比，通过ANSYS建模获得基础激励下结构的传递函数.但是，在ANSYS的谐响应分析中，若采用全方法，则无法输入各阶模态阻尼比，且计算耗费时间；若采用模态叠加法，则能提高计算速度，节约机时，但其帮助文件和相关文献指出其缺点是不能施加非零约束[12]，即不能进行基础激励下基于模态叠加法的谐响应分析.ANSYS中的PSD分析能够得到基础激励下结构的响应谱，但是忽略响应与激励之间的相位关系.针对这一问题，本文进行基础激励下基于模态叠加法的谐响应分析动力学方程推导，对典型结构进行数值仿真，进一步获得结构随机振动响应的功率谱，并与ANSYS软件的PSD分析结果进行对比，两者吻合非常好，证实推导的动力学方程的正确性.1理论分析

在有限元分析时，频域下线性系统动力学方程[35]为MX¨（ω）+CX·（ω）+KX（ω）=F（ω） （1）式中：M，C和K分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；X¨，X·和X分别为系统的加速度、速度和位移响应，均为绝对量；Fω为系统的外载荷.

假设系统受到基础加速度激励，此时可将式（1）按照约束节点和非约束节点[69]进行分块，写为MddMds

MsdMssX¨d

X¨s+CddCds

CsdCssX·d

X·s+KddKds

KsdKssXd

Xs=0 （2）式中：下标d和s分别为结构非约束节点的集合和约束节点的集合；X¨d，X·d和Xd为非约束节点的绝对响应；X¨s，X·s和Xs为基础约束节点的绝对响应；Mds，Cds和Kds分别为结构边界单元的耦合质量、耦合阻尼和耦合刚度矩阵.

式（2）中第一部分可改写为MddX¨d+CddX·d+KdsXd=-MdsX¨s-CdsX·s-KsdXs （3）进行基础加速度激励下的谐响应分析，即进行单位基础加速度激励下的结构响应计算.式（3）可以利用全方法直接进行计算，但当结构自由度规模较大时，计算困难，耗费机时.式（3）不能直接采用模态叠加法进行计算，其原因在于模态叠加法的假设前提不成立.模态叠加法是假设结构的响应可表示为振型向量的线性组合，即X=Ψη （4）式中：Ψ为结构的振型矩阵；η为结构在正则坐标下的结构响应.需要指出的是，式（4）计算的是结构的相对约束点的响应，是结构的相对响应，而式（3）中的响应是结构的绝对响应，不能直接采用模态叠加法进行计算.因此，需要重新推导动力学方程.

将式（2）中结构的绝对响应表示为结构相对于约束节点的相对响应与基础节点响应之和，即Xd=Xd，c+Xs （5）式中：Xd，c为结构非约束节点的相对响应.

式（2）可改写为MddMds

MsdMssX¨d，c+X¨s

X¨s+CddCds

CsdCssX·d，c+X·s

X·s+KddKds

KsdKssXd，c+Xs

Xs=0 （6）式（6）的第一个部分可写为MddX¨d，c+CddX·d，c+KddXd，c=-MddX¨s-MdsX¨s-CddX·s-CdsX·s-KddXs-KdsXs （7）式（7）可采用模态叠加法进行谐响应计算，得到相对响应，由式（5）可得到结构的绝对响应.

2数值仿真

组合梁结构的有限元模型见图1.结构参数见表1，边界约束为支撑梁底部的固支约束.

图 1组合梁结构有限元模型，mm

Fig.1Finite element model of composite beam structure， mm

表 1组合梁结构的模型参数

Tab.1Parameters of composite beam structure截面高度/

mm截面宽度/

mm密度/

（kg/m3）弹性模量/

Pa泊松比10102 7007.1E+100.3

本算例模型未实际加工，因此未通过模态试验测量得到各阶模态阻尼比.在数值仿真中，可按经验值取模型前2阶模态阻尼比为0.02，根据下式得到比例阻尼的系数，ξi=12αωi+βωi，i=1，2 （8）结构的比例阻尼矩阵可表示为C=αM+βK （9）此时，边界耦合阻尼矩阵可表示为Cds=αMds+βKds （10）计算的频率范围为10～200 Hz，在此频率范围内结构共有11阶模态.第3～11阶模态阻尼比可根据如下方法得到.

将阻尼矩阵在正则坐标下解耦，得Cη=ΨTCΨ （11）式中：Cη为11×11维的矩阵，其对角线元素满足关系式Cη（i，i）=2ξiωi，（i=1，2，…，11） （12）由式（12）可获得模态阻尼比向量ξi（i=1，2，…，11）.

基础载荷设置幅值为1 m/s2的加速度谱，采用MATLAB对式（7）采用模态叠加法进行编程计算得到结构谐响应.endprint

由于ANSYS无法计算基础激励下基于模态叠加法的谐响应，无法直接将上述推导方程的谐响应计算结果与ANSYS仿真结果进行对比，因此在编程计算时，得到结构的相对响应和绝对响应，并与ANSYS的PSD分析结果进行对比.选择图1中标号为①和的y方向（横向）绝对加速度响应为例，对比结果见图2.

a）①号节点b）号节点

图 2节点y方向响应绝对值对比

Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

由图2可知：本文所推导的基础激励下基于模态叠加法的响应谱与ANSYS的PSD仿真结果基本一致，说明所推导的方程正确.

3结束语

推导基础激励下基于模态叠加法的谐响应计算公式，典型组合结构的MATLAB编程计算与ANSYS仿真结果完全一致，为ANSYS等商业有限元软件实现非零约束下基于模态叠加法的谐响应分析提供理论支持.参考文献：

[1]叶先磊， 史亚杰. ANSYS工程分析软件应用实例[M]. 北京： 清华大学出版社， 2003： 239240.

[2]张洪才， 何波. 有限元分析——ANSYS 13.0从入门到实战[M]. 北京： 机械工业出版社， 2011： 152153.

[3]倪振华. 振动力学[M]. 西安： 西安交通大学出版社， 2006： 239240.

[4]王勖成. 有限单元法[M]. 北京： 清华大学出版社， 2003： 469471.

[5]SINGIRESU S R. 机械振动[M]. 4版. 李欣业， 张明路， 译. 北京： 清华大学出版社， 2009： 316319.

[6]张亚辉， 智浩， 吕峰. 结构多点随机地震响应分析及拟静位移计算[J]. 计算力学学报， 2004， 21（5）： 564570.

ZHANG Yahui， ZHI Hao， LYU Feng. Seismic random response analysis of multisupported structures and the quasistatic displacement approximation[J]. Chin J Comput Mech， 2004， 21（5）： 564570.

[7]张雷明， 张昌金. 多点激励下结构地震响应计算拟静力位移法[J]. 工程抗震与加固改造， 2005， 27（4）： 2427.

ZHANG Leiming， ZHANG Changjin. Discussion on the pseudostatic displacement method for seismic analysis of structures under multiple excitations[J]. Earthquake Resistant Eng & Retrofitting， 2005， 27（4）： 2427.

[8]胡杰， 张希农. 基础激励下结构响应计算的直接求解法[C]//第十届全国振动理论及应用学术会议论文集. 南京， 2011： 672676.

[9]ALKHALEEFI A M， ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure， 2002， 80（22）： 16891697.

（编辑武晓英）endprint

由于ANSYS无法计算基础激励下基于模态叠加法的谐响应，无法直接将上述推导方程的谐响应计算结果与ANSYS仿真结果进行对比，因此在编程计算时，得到结构的相对响应和绝对响应，并与ANSYS的PSD分析结果进行对比.选择图1中标号为①和的y方向（横向）绝对加速度响应为例，对比结果见图2.

a）①号节点b）号节点

图 2节点y方向响应绝对值对比

Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

由图2可知：本文所推导的基础激励下基于模态叠加法的响应谱与ANSYS的PSD仿真结果基本一致，说明所推导的方程正确.

3结束语

推导基础激励下基于模态叠加法的谐响应计算公式，典型组合结构的MATLAB编程计算与ANSYS仿真结果完全一致，为ANSYS等商业有限元软件实现非零约束下基于模态叠加法的谐响应分析提供理论支持.参考文献：

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[8]胡杰， 张希农. 基础激励下结构响应计算的直接求解法[C]//第十届全国振动理论及应用学术会议论文集. 南京， 2011： 672676.

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由于ANSYS无法计算基础激励下基于模态叠加法的谐响应，无法直接将上述推导方程的谐响应计算结果与ANSYS仿真结果进行对比，因此在编程计算时，得到结构的相对响应和绝对响应，并与ANSYS的PSD分析结果进行对比.选择图1中标号为①和的y方向（横向）绝对加速度响应为例，对比结果见图2.

a）①号节点b）号节点

图 2节点y方向响应绝对值对比

Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

由图2可知：本文所推导的基础激励下基于模态叠加法的响应谱与ANSYS的PSD仿真结果基本一致，说明所推导的方程正确.

3结束语

推导基础激励下基于模态叠加法的谐响应计算公式，典型组合结构的MATLAB编程计算与ANSYS仿真结果完全一致，为ANSYS等商业有限元软件实现非零约束下基于模态叠加法的谐响应分析提供理论支持.参考文献：

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[8]胡杰， 张希农. 基础激励下结构响应计算的直接求解法[C]//第十届全国振动理论及应用学术会议论文集. 南京， 2011： 672676.

[9]ALKHALEEFI A M， ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure， 2002， 80（22）： 16891697.

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