粒子的多层模型和新的对称-统计二重性

张一方

(云南大学 物理系，云南 昆明650091)

粒子的多层模型和新的对称-统计二重性

张一方

(云南大学 物理系，云南 昆明650091)

基于笔者提出的夸克-粒子具有多层结构和在不同层次或能量时具有新的对称-统计二重性，探讨了粒子的统计性，统一的方程及各种相应的方程等.最后讨论确定粒子质量的一种定量方法和粒子数学的发展.

粒子物理；对称性；统计性；粒子结构；方程

0 引 言

量子力学和粒子物理的基础是波粒二象性.由此粒子，特别是稳定粒子应该相应于孤子.由粒子物理中的非线性方程，笔者讨论了方程的孤子解及其推广.并研究粒子方程和各种统一的关系[1].

一般的波粒二象性有两种可能：第一，单个是粒子，多个粒子或者多次事件(统计系综)具有波动性(统计性的几率波).劳厄图是统计分布(类似Einstein观点).这是量子力学、量子场论及其方程的统计基础.第二，每个粒子都相应于一个孤波等(类似向导波)，多个波叠加得到量子力学几率波(类似de Broglie观点).二者相应于量子力学的最后结论是相同的.Dirac方程等基本适用于单个电子(仅有反常磁矩)，对重子磁矩相差很大.在核中可以验证是第一或第二.先决定质子p、中子n及氘、氦等的波动性及性质，然后比较多个核子的核的波动性及性质.

两方面统一则单个是粒子，相应于孤子波(如袋等)，其化为线性波加非线性波.由此可以得到结果：(1)非线性波对各个粒子相同或不相同，叠加后相消.(2)对较大时空，非线性波趋于0，如对强弱相互作用，自能等.(3)电磁相互作用的非线性波在低能时可以略去(相应于较大时空).这样，非线性波与能量及相应的时空有关.

1 夸克和粒子的多层结构

粒子结构模型有两类：分立结构，如夸克；连续结构，如特殊结构的弦、膜、袋，或者统计模型.二者结合可为QCD.数学上主要是对称性、统计性.超对称性、超弦(superstring)、统一、亚夸克等粒子物理中这些最时髦的理论都是对称性的.

三夸克、多夸克组成的重子、粒子可能也是三体、多体纠缠态；三体类似拓扑学中3分支的Borromean环(rings)[2-6]，如此3个夸克如图3所示，合则存，分则亡(United they stand, divided they fall).由此可以形象说明单个夸克不存在[7].

图1 Borromean环Fig. 1. Borromean rings

笔者提出粒子的多层结构(many-shell structure)模型(MSSM)[8].低能时是结构对称的三种集团(即夸克)，粒子稳定，亚夸克数一定；SU(3)等对称性可能是低能粒子内部结构的反映.中能碰撞时对称性结构破缺，出现多个部分子，类似液体模型，呈现出弦、袋等.高能时对称性进一步破缺，出现非常多的组分，呈现统计性，对应非常小的微粒子——砂子(the sand-particle即sandon).砂子源于如恒河砂数(numberless as the sands).此时的统计模型把整个粒子作为一个不分彼此的高能集团，类似火球及多火球模型.而砂子也可以是非常小的弦或超弦.

在不同的能级等条件下，粒子呈现不同的结构形式和特征，可以不断转化.具有对称性的方程导致量子化的质量谱，其反映或者解释为统计性.模型在不同层次、不同能量、不同条件下具有不同特性，对应不同方程：砂子是统计性的，对应Kolmogorov方程；夸克是对称性的，对应SU(N)规范场方程及其对称性破缺，联系于Higgs机制、动力学破缺；粒子是二象性，对应量子力学方程.并且砂子的统计性应该导致量子力学的统计性，夸克对称性则联系于二象性；进而应从统计性方程直接导出对称性规范场方程.这联系于统计性和量子场论的对应关系[9,10]，对应于由统计性导致量子力学方程，即量子力学的统计解释.量子力学方程的特点是只与粒子自旋有关，自旋分别是整数、半整数时方程各是Klein-Gordon(KG)和Dirac方程，近似时统一为Schrodinger方程.多层模型本质上是双重性模型，或者统计模型.一般静态(如质量、寿命、衰变)都是由对称性结合场论决定；高能相互作用(如碰撞、多重产生)则由统计性决定.

夸克是实体模型，则Heisenberg统一方程[11]应该是相应夸克的方程，是QCD方程的简并态.统一方程推广到有质量时就是有自相互作用的Dirac方程.夸克组成强子和核，类似原子组成分子.这样强相互作用类似化学键.

形状因子的实验说明核子内不可能是只有3个夸克，而更可能是多个部分子、亚夸克和砂子.MSSM中夸克在低能时虽然可能存在，但结合相变理论其被禁闭.高能时不被禁闭又已经分解.夸克是亚稳定结构，则它也是一种靴带(bootstrap)模型，一种定量的以夸克为靴带的基础的理论.这是二象性.

夸克的下一层次是亚夸克或前子(preon)，甚至是Salam提出的前前子(prepreon).高能时亚夸克、砂子可能得到显现，很多情况、实验都表明如此.高能对应小时空，内部结构不断解放.夸克可以由类似的亚夸克组成，也可以由具有统计性的砂子结构组成，组成一种具有对称性的幻夸克.海夸克常可以等价于亚夸克、砂子.砂子等于亚夸克则亚夸克结合统计性.砂子组成亚夸克则是多层结构模型.只要是汤川相互作用，基元是费米子就有多层胶子和多层类QCD.砂子组成部分子，数目不定；亚夸克组成夸克，数目一定，但又有胶子、海夸克等.或者砂子组成亚夸克，亚夸克是部分子，部分子再组成夸克.

无自旋砂费米子(或费米子对)场和有对称性破缺的Higgs场耦合时就得到分数电荷的夸克、亚夸克等.亚夸克统一对称的夸克和轻子.但仍有光子、W-Z(电磁、弱相互作用)；胶子(强相互作用)；Higgs粒子.

2 统一的方程和粒子的统计性

笔者探讨了粒子物理中的各种统一.它们包括相互作用统一和规范场，场、粒子及其方程的统一，低高能时的统一，统一和非线性理论的关系等.并提出它们也许可以统一到统计性[12].基于粒子的动力学模型及其拉氏量和方程，进行了某些更深入的研究和应用.它可以联系于袋模型；方程的解联系于各种势；其简化的振动-转动模型和谐振子模型等导致各种质量公式.由此可以讨论强子的某些质量公式，并提出动力学模型可能的发展方向[13].进而各种已知的方程彼此结合可以得到一些新方程，并讨论了由振动得到的方程，对称性破缺时的方程及其推广和各种解，探讨了各种粒子及其相互作用的方程，而且讨论了这些方程的混沌解和相应的物理意义[14].

Heisenberg统一方程[11]推广到有质量时就是有自相互作用的非线性Dirac方程.进一步它可以程推广为[8]：

(1)

(2)

H.B.Nielsen多年来的一个主要想法是，在最微观的层次上，物理定律是随机的.我们看到的规律是重整化群向一个不动点流动的结果.非线性方程经Feigenbaum定理的混沌解过渡到统计性.如此不需要统计性方程.当控制参数E足够大时都出现随机运动.这可能对应于能量高、相互作用强.

粒子的统计性，一方面是量子力学本身的几率性；量子力学的统计诠释，类似统计光学.另一方面是更深入的量子力学的统计基础等，由此联系于：1)高能或小时空时的统计性基于众多砂子的随机性.2)非线性方程的统计性.3)非平衡态统计，对应于新的算符，砂子组成幻夸克等.4)统计性背景，如真空涨落.5)唯象的各种统计模型等.保守系统中的自发随机性与平衡态统计物理的基础密切相关.

具体方法可以首先改造、统一各种统计模型.目前主要用于高能过程.很多模型都导致统一的Gamma分布、B分布等.火球及CKP模型基于热力学；Fermi统计模型、Landau流体力学模型、Hagedorn统计靴带模型多边缘模型等都基于统计平衡，并类比于统计力学.平衡态统计模型可以推广为非平衡态统计模型.高能等时的统一性、对称性、超对称性导致简单化.

砂子对应方程.此时随机项F=0是费米子，其可以是稳定的.但砂子组成玻色子时必有相互作用，F≠0，其不能完全稳定.砂子的随机性，一是直接引入具有随机力的Langevin方程；一是由非线性导致随机性的混沌等.粒子的产生和湮灭在随机理论中对应于生灭过程；这相应于粒子的统计性、砂子.

由非线性方程导出非Abel群方程(对称性)，统计性方程.非线性方程低能时导致动力学模型(DM)，孤子(粒子，分数荷夸克等)；高能时导致混沌，粒子的分形砂-海绵模型(FSSM)[8]，MSSM及平衡态、非平衡态统计模型.MSSM在一定程度上已包含振动-转动模型(ORM)，具有不同的振动-转动能态.

多层模型中最小的组成可能是统计性的砂子，也可能是类似原子的砂子，仅是统计性组成夸克.在粒子层级，夸克可变，而砂子不变，正如化学中的原子；而极高能时直接呈现出来.经典统计是从分立的原子、分子等过渡到连续的气体、液体等.此时，应该对应于量子统计从分立的砂子、夸克过渡到连续的统计模型.反之是从连续的统计模型过渡到分立的夸克等.这对应于统计性的方程应具有对称性或得到对称性解.

DM和MSM都认为夸克不存在或者仅是亚稳的幻粒子.但是二者分别认为SU(3)是动力学对称性和夸克是由砂子组成的.

倍周期分岔到混沌图形类似高能强子的双火球模型(粒子的两体衰变)到多重产生.一般是QCD的非线性方程及其分岔过程.QCD等导致非线性的Dirac方程、KG方程等，用孤子方程可以化为非线性的一阶、二阶常微分方程，或非线性的Heisenberg方程

dF/dt=[F,H]+Q.

(3)

基态强子或介子由两种夸克组成，即u,d→4夸克→8亚夸克，对应二分岔，SU(2)→SU(4)→SU(8)等等；一般粒子或重子由3个夸克组成，即一个粒子→3个夸克→9个亚夸克，对应三分岔，即SU(3)→SU(9)等等.进一步都是夸克数混沌，或是深入层次的亚夸克、亚亚夸克，最后达到砂子混沌.砂子基于层级结构是统计性粒子，具有随机性；如果它是混沌夸克(chaosoquark)，则可称混沌子(chaoson).

低能态时是3夸克，对应Morse势

V(r)=A[1-De-α(r-r0)]2.

(4)

高能态时是n夸克，对应唯象束缚势

(5)

更高能态时是统计性，对应V=aψ3,bφ3+cφ5等，是FD和 BE统计，统一的统计性[16].这又相应于分数统计(fractional statistics)和任意子(anyon).

混沌一方面是粒子内部的亚粒子数不断增多，可以趋于无穷(这是结构).另一方面是粒子的性质是统计性的.按照混沌理论，粒子无穷，代也无穷.如此不同代只能认为是激发态.

砂子分别组成夸克、胶子，或者它们是两种砂子，或者是一种砂子有两种统计性、两种方程、两种组成.如果胶子是由夸克对组成，则高能时即不断产生胶子、夸克对，就是多夸克.而且夸克、胶子统一为部分子.二者不可分即可能是弦.能量增大时，砂子组成的亚稳态，如亚夸克、夸克、胶子等可以增多，或者随能量不同而对称性及夸克不同，出现新的夸克.应该研究统计性与拉氏量的一般关系.

3 新的对称-统计二重性

最近，波粒二象性被发展为规范-引力二重性(gauge-gravity duality)[17-21]、电-磁二重性(electric-magnetic duality)[22]、夸克-强子二重性(quark-hadron duality)[23,24]、玻色子-费米子二重性(boson-fermion duality)[25]和规范-弦二重性(gauge/string duality)[26,27]等.

笔者提出的新的对称-统计二重性[9,28]可以是：1)统计性理论对应规范场(对称性).每种具体的统计模型都可以表述为连续的场论形式.统计物理是一种涨落场论，由此联系于统计物理.2)非线性方程具有对称性.高能时(相应于无穷迭代)导致混沌解(统计性，对应多重产生等).然后结合火球等统计模型及统计分布；对非平衡态，有序化又对应幻夸克的耗散结构.3)基于统计性方程.其对应重整化群(对称性)方程，都导致Gamma分布等.但二者不等价.4)进一步结合非线性方程和统计方程.非线性方程具有对称性，其可以重整化时应该导致重整化群方程，其可能是二者间的过渡.由非线性方程导致统计性方程，特别是随机性方程，如Kolmogorov方程.由对称性方程，例如规范场方程和重整化群方程导致Gamma统一分布.

个体的特性明显，如粒子自旋时则是对称性.而个体的特性可以忽略时则是统计性.特别高能时统计性还可以进一步统一[16].量子化场对应砂子，是物质存在的基本形态.其激发时就是自由粒子.而基态场就是物理真空.真空有效应，有起伏，可自发破缺.对非Abel规范场是瞬子，其对应非线性效应.

对称性决定方程(规范场)，方程联系于统计性；特别非线性方程具有随机性.高能时砂子、超弦、部分子等更类似布朗运动，所以具有统计性.此时部分子间关联更强，所以非线性更强，或者统计性更显著.从统计性过渡到对称性方程、量子力学，数学上可用早期的各种量子理论，并结合液态发展到晶体的方法.

以新的二重性及其结构基础(MSSM)为根本，俯视粒子全局.粒子的质量、寿命及衰变等低能时是对称性，动力学性质；较高能量的共振态等偏离对称性.高能时的碰撞、横动量等是统计性及其方程、模型等，或较大的对称性；反之，低能时是动力学性质，对称性等，如孤子碰撞.这样碰撞时对称性(对应方程)产生(解，如孤子)峰、谷.统计性产生平滑曲线，导致截面上升.由高能统计性已可以导出这个结果.

MSSM中对称性及其破缺与大爆炸后对称性及其破缺是一致的，都是由高能(温)到低能(温).这也是行星对应原子，星团对应原子核的发展，宇宙演化对应MSSM.而且粒子结构，原子核也类似星团，存在螺旋状(对应自旋)，棒状，不规则等等形状.这是宇观-微观大小的对称性，是由Titius-Bode定则推广得到的泛量子理论[29-33]的发展.

砂子形成夸克具有对称性可以是：1)砂子分别形成费米子和玻色子，夸克和胶子.2)这些粒子具有对称性，并且相互作用和对称性破缺.形象地可以是(1)正反砂子形成玻色子，相同砂子形成费米子.砂子有正反，类似夸克形成强子.(2)砂子是Langevin-Dirac方程，结合Heisenberg统一方程[11]，所以砂子应是类费米子.如此则偶(奇)数个砂子形成玻色子(费米子).(3)各个砂子的运动方向相反是费米子(夸克)，相同是玻色子(胶子)；类似磁学，则有吸引力.这些砂子处于不同的运动状态(如OR态)就是不同的夸克或胶子.

高能统一的基础也许是此时粒子中的亚粒子数目增大，且有起伏，多一个或少一个无关大局，但如此就分别是费米子或玻色子，但统一为任意子.砂子可能类似核，还有壳层结构.其最外层或许与P=±1有关.高能时统计性加高能等时非线性.平均时它们可能为0.高能时混沌解对应多层结构的亚夸克、砂子不断解放.

首先是场粒二象性及其量子化，关键是强弱相互作用的场方程.其次是MSSM，场对应波动具有几率性、统计性，而粒子是对称性.几率场、统计场的对称性奇点就是粒子.

低温晶体是对称性，高温液体、气体是统计性.结晶类似对称化，费得洛夫群类似SU(3)群.一般的演变过程是，对称性→对称破缺→统计性.粒子的很多模型都是类比于核模型及理论，如夸克类似壳层模型，统计、液滴模型类似核液滴模型等.核的许多模型结合为综合模型.粒子也可以结合多种模型形成综合模型.MSSM就是一种综合模型.

低能时微粒子运动有序，所以呈现幻夸克.高能时微粒子运动无序，对应于统计性.可以结合非平衡态统计.如果有序出现周期性，则夸克一代代出现.相应的统计性等方程应该有周期解.这有些类似λ→λ1,λ2,λ3等时不断出现分岔(对应有序)、混乱(对应无序)等各种周期性.

粒子是孤子波，大量孤子以几率波的形式出现.这类似de Broglie的双重解理论[34]，可能是量子力学的统计基础，联系于二象性的本质.在大时空时，非线性项可以忽略就化为线性方程.t→±∞时的矩阵S就是线性理论，如此由孤子性质应可以导出二象性.量子的本质就是每个粒子(孤波)的能量是hv.非线性项统计平均时互相抵消，或由统计力学导出热力学.线性叠加原理成立→干涉→线性算符；大时空，平面波.广义线性叠加原理，Backlund变换→N体碰撞解→非线性算符；小时空，孤波.两种波，粒子叠加原理，相应于粒子算符、方程.统计解释必须推广.如果波函数不是抽象的，就是具体的Schrodinger方程中的各种场的场量.非线性波、孤波平方也是几率.量子场论中几率波已经不成立.单个粒子是孤子解，而N-孤子解当N→∞或极大时就是一个统计问题.

目前主要是相应于规范理论的群、对称性统一.而非线性理论是动力学及方程的统一.二者结合，则非线性量子理论中[8,35]的因子F、Γμ由对称性、群决定；非Abell群非线性项不为零，对应于Γμ≠0.非线性方程略去非线性时是量子力学，可以具有对称性，能过渡到混沌解、统计性.

结合多层模型，则非线性、统计性源于下一层次，是夸克或砂子相互作用或其本性，相应于小时空区域、高能、短程强弱相互作用.砂子是非线性方程和拉氏量.Γμ、F与对称群G有关，在一定条件下化为各种方程.低能等时具有SU(3)、SU(N)等对称性，拉氏量、方程化为QCD等，表现为幻夸克；OR态时是DM；孤子解联系于袋、火球等成团模型；特定条件时有混沌解，对应于统计性及模型.分岔理论对应衰变、多重产生.如果靴带方程是非线性方程，则上述结论仍然适用于靴带.

非线性方程经混沌解得到统计性，结合随机微分方程，涨落稳定开放系统时导致有序的耗散结构，对称性的幻夸克.这对应于QCD，其及相应的Heisenberg方程类比于非平衡态和随机过程的Liouville方程等.非线性场方程联系于QCD等的方程和对称性；非线性Heisenberg方程联系于非平衡态等和统计性.二者都可能出现耗散结构；可以有混沌解；可以统一为Liouville方程.

对称性及其方程具有随机性、统计性；如粒子数n>2时，SU(N)的Yang-Mills方程等引入随机项时.反之，随机性及其方程具有对称性；如当随机项取统计平均等时.粒子性发展为对称性，数学方法是群.波动性发展为统计性、随机性；由此导致不可逆性，联系于复杂性.波粒二象性是微观粒子的本质属性.新的二重性是微观动力学的性质，同时又是粒子结构的特性.

4 新的二重性和相互作用

分数维已用于悬浮液中某粒子的布朗运动轨迹.如果对应于砂子，则自相似可以是生成新的相同粒子，更可能是产生新的关联.

粒子高能时与真空相互作用，真空的涨落、起伏使粒子被Brown运动激发，具有统计性.这与de Broglie的观点是相同的.这是粒子的统计基础.统计性的基础还可能是：1)基于根本的统计性、随机性方程，可以由非线性方程导致；这是数学方程.2)假设砂子、部分子、粒子等各层次的统计性，由砂子和多层模型导致统计模型；这是结构模型.二者结合，则非线性方程中的非线性项对应统计性，当其化为规范理论、对称性时就是幻夸克.

由少量几个微粒构成的系统不可能是有序的.而且有序即使能够形成也会被统计性涨落破坏.所以起码在统计模型中粒子、夸克必须由大量微粒组成.砂子组成粒子可以类似原子组成大分子，分子组成物质.可以有晶体、液晶、玻璃体、液体、气体、等离子体等.如果八重态基态粒子相当于晶体，则共振态相当于液晶、玻璃体，具有某种近似的稳定性、对称性.

可能有序时是强相互作用，无序时是弱相互作用(对应无相互作用的统计性).二者的时间可逆和不可逆.粒子孤立时趋于无序，所以会自发衰变，弱相互作用.在一切情况下都可以是无序，所以普遍存在弱相互作用、平衡态.可能因为无序，所以P、CP、T不守恒.粒子产生时能量输入，对应于有序、强相互作用；只有在一定条件下才可以有序、非平衡态.但共振态自发衰变仍然是强相互作用.这又说明是从一种有序态转变到另一种有序态.夸克模型中就是夸克转化，或共振态是多夸克转化为三或二夸克的粒子.无序时对应于夸克解体、粒子衰变.这已经结合相互作用及其统一和亚夸克模型等.在夸克，特别砂子层次，统计性自然统一.如果夸克、强相互作用都归为有序排列运动，则自然不必要胶子；而夸克只对应于强相互作用(色)，所以只需要3种.这样仍回到Gell-Mann的简单夸克模型.如此砂子的拉氏量、方程结合非平衡态、平衡态统计方程应该导致强、弱相互作用及QCD、DM的拉氏量、方程.砂子特定的统计性方程在有序时化为夸克的Dirac方程，对应QCD、DM.

超高能时是大统一，统一的统计性[16]，具有更大的对称性，对应于无序.对称性在高能时数学方程具有统计性质.而有相互作用、非平衡态时，无序化为有序，原来统一的对称性破缺，出现幻夸克.结构相变，参数是能量、量子数或无量纲的标度变量.

非平衡统计模型已联系于Higgs场、非线性方程和理论.它应该结合分形模型及应用，联系于弦、袋及各种新现象和假设.对夸克的产生、三分岔最好如同u,d稳定而s不稳定.假设密度、波函数或其平方正比于质量m，则

(6)

这是演化方程，对应粒子或宇宙演化.应该由此导出间歇公式和分维等，特别是结合推广的混沌模型，因为二者都描述多重产生.宇称、PC等守恒、不守恒可能各是两种不同的相.此时相应于不同的相互作用.因此不同的相互作用，或各种相互作用的统一和破缺对应各种或两种相.

5 新的二重性相应的方程

我们提出粒子具有新的对称性和统计性二重性[8,28].其中对称性包含SU(3)等，说明物理结构上具有对称性，例如夸克等，及动力学及方程的对称性；而且还包括GMO质量公式、场和粒子的对称、波粒二象性等；靴带也是各种已知粒子平等、等价，可以互相置换的对称性.统计性表现在大量粒子出现于各种层次的组成中都可以用统计随机方法，并且统计性导致量子力学的几率波；而波动性可发展为几率性、统计性、随机性等.大量的、小质量的粒子呈现出波动性、统计性；少数的、大质量的粒子呈现出对称性.前者集聚化为后者，后者分解化为前者.低能、时空相对较大时呈现波动性，高能、时空相对较小时呈现统计性.统计性方程为Fokker-Planck(FP)方程[36]，即Kolmogorov方程.

Regge理论对应于量子分布，特别附加补偿力学时.它导出的多边缘模型及与之相关的火球模型、液滴模型及碎裂极限假设和量子液滴模型、激发态模型、统计热力学模型等都导致统一的Gamma分布.电荷分布e-r/R，re-r/R及r-2e-2μr都是Gamma分布[37].球面散射波也是Gamma分布.粒子的主要特性都是对称性或统计性，二者互补，各是低、高能情况.对应于夸克、靴带二重性.低能对称性应包括、导致波粒二象性；高能统计性应导致粒子的互相转化，散射等.二者统一应该就是统计性与各种对称性及超对称性统一.

对称性对应规范场及其方程，联系于群，规范场是对称性场的数学表示.这类似晶体，对应结构，例如夸克.而且由对称性破缺也许可以联系于统计性.Regge理论发展为Veneziano模型又联系于B分布，而模型具有的交叉性、双关性都是对称性.

新的二重性可能是对称性代入统计性或反之.即对称的统计性或统计的对称性.具体可能是夸克与靴带等互相结合.也可以是多种特性结合为多象性，如包括场论、非线性理论等.进一步发展新的二重性，则对称性发展为超对称性，统计性发展为新统计性.二者都是统一，统一相互作用、粒子和统计性.袋具有夸克-部分子的动力学和对称性的性质，又有统计性的特征.新二重性的交点之一就是袋及其推广，二维以上的弦就是膜、袋.Regge轨迹(s-Rea(3)的Chew-Frautschi图)联系低能共振态(对称性)与高能散射(统计性).

对于统计性，一方面是统计力学导致量子力学、量子场论；另一方面是统计模型建立在量子场论的基础上.统计性还有两个方面：理论上应该探讨统计性、量子力学与对称性等的各种关系；同时实验上各种符合的统计模型.统计性不同就可以化为多种不同的模型，如Fermi模型、火球模型、激发态模型、极限碎裂模型及各种衰变、反应时的分布.其中极限碎裂模型符合较好，研究统一时可以此为基础.但低能时可能不符合统计性.由动力学模型、统计性等应该导出各种粒子和夸克的量子数.

新的二重性基于Langevin方程，Fokker-Planck(FP)方程

(7)

右边二项分别是漂移项和扩散项.这是Schrodinger方程的推广，即Schrodinger方程的一种发展方法是FP方程.当存在非线性项K时，分布函数f(q,t)是时刻t发现变量q在q→q+dq区间的概率.进一步统一发展的方程应是FP相对论化方程，和KG，Dirac方程相应的推广.这又联系于费米子、玻色子统一的方程[8].

(8)

即

(9)

(10)

(11)

统计性对应Kolmogorov方程，联系于半群，对应P、C、T不守恒，类似气体.各种统计模型也许可以统一为Markov随机过程，起码其导致多重性分布.渐近自由时相互作用微弱，所以可用统计性.

重整化群方程等价于统计性方程(如Kolmogorov方程)，应可以导致Gamma、B分布的Pearson方程.1975年S.W.MacDowell推广的Callan-Symanzik方程

(12)

类似Dirac方程

(γμ∂μ+μ)ψ=j.

(13)

基于统计性方程，在一定条件、领域中(原子尺度，QED)导出量子力学、量子场论.

6 确定粒子质量和粒子数学的发展

如果设砂子质量m=0或极小，夸克质量为M，用重整化及标度性联系M=Ldm.当砂子互相关联时对应于海绵，有无限多个空隙，有无限长线度L=∞，1/L→0(砂子间距离趋于0)，所以M=Ldm=∞d·0=有限；此时d可以是分数维.当然这是极限情况，m→0，L→∞.这与量子场论重整化

(14)

相同.μ2=L2da，无穷大的μ2对应于砂子的本底，海绵的线度为无限长时的极限.

a[1-(δμ2/μ2)]=m2=0,

(15)

是质量平方的量纲，所以

δμ2/μ2=1-(m2/a).

(16)

μ0=Ldμ=∞·0是有限值.

所谓量子化条件，几率轨道，又对应于Lyapunov函数.中微子v，电子e和质子p是3个稳定点，都是费米子.设函数为

(17)

所以

f′(m)=A(m-me)(m-mμ)(m-mN)...(m-mΞ).

(18)

如此稳定粒子和不稳定粒子交叉出现.如有2n+1个因子时，me,mN,mΣ等稳定，而mμ,mΛ,mΞ等不稳定.结合实验，令最简单的函数为

f′(m)=A(m-me)(m-mμ)(m-mN),

(19)

则

f=A[m4-am3+bm2-cm+C],

(20)

其中系数a=2m(K±)+3m(π0)=1392.22 MeV，b=3m(K±)m(π0)=199665 MeV和c=3m(K±)[m(π0)+m(π±)]/2=202623 MeV完全由介子质量决定.

非线性相应的数学特性(如新的统计性，非结合代数，李代数及其推广等)可能是夸克、亚夸克、砂子的性质.粒子，特别弦、超弦中引入分维、复维、四元数.并且在各种矩阵、包括三维矩阵、矩阵力学、四维时空等中引入分维、复维、四元数等.进一步发展就是超对称性(这又联系于统一)及其各种理论、模型(包括超引力，超弦等)与统计性、随机性相结合.

量子力学是能量、动量联系于频率、波长，pi=ћki.相对论是能量、动量联系于时间、空间及其时空间隔、四矢，pi=Fdli.新的二重性是能量E、动量p联系于统计性、随机性.因此,1)能量E，动量p本身具有统计性、随机性.2)引入温度、熵等.3)E，p与某些统计量、随机量成正比，目前尚未知.而且研究各种统计模型、理论的主要特征量，这些量可能又应该分为动力学和粒子特性两方面.

总之，量子力学方程是对称性的，但其解释是统计性的；非线性方程是确定性的，而其解可以是随机性的，这就是混沌.

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[责任编辑：徐明忠]

Many-Shell model of particles and new symmetry-statistics duality

CHANG Yifang

(Department of Physics, Yunnan University, Kunming 650091,China)

Based on the many shell structures of quark-particles and the new symmetry-statistics duality for different shells or energies proposed by me, the statistics of particles, the unified equations and various corresponding equations, etc., are researched. Final, a quantitative method determined masses of particles and the developments on mathematics of particles are discussed.

particle physics； symmetry； statistics； structure of particle； equation.

2015-03-09

国家自然科学基金资助项目(11164033)

张一方(1947-)，男，云南昆明人，云南大学教授，主要从事理论物理的研究.

O320

A

1672-3600(2015)09-0022-09