立足教材整合电磁感应中切割类问题

王万林

摘 要：本文旨在立足教材，从切割类电动势产生的机理出发，整合教材中有关电磁感应的切割类模型，找出解决此类问题的方法，同时彰显高考的宗旨：回归教材，突出主干。

关键词：教材；电磁感应；切割类；整合

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）7（S）-0045-4

电磁感应主要分为感生和动生两类。感生电动势产生机理需运用麦克斯韦方程解释，此类电磁现象较难，高中教材涉及较少。教材中主要介绍的是切割类电磁感应，其中仅限于导线方向与磁场方向、运动方向垂直的情况。以下立足课本，归纳并研讨电磁感应中切割类问题。

1 切割类感应电动势产生的机理

导体在静磁场中垂直切割磁感线时，虽然磁场没有变化，空间没有感生电场。但这时导体棒中的自由电荷与静磁场有相对运动，如图1所示。从而自由电子在洛伦兹力的作用下向D点聚集，经过短时间的积累，D点聚集一定的负电荷，C点留下等量的正电荷，这样就在导体棒中形成了C高D低的电势差，即动生电动势E。导体棒在垂直切割磁感线时可视为一个电源，此电源中的非静电力是由洛伦兹力充当的。当静电力与非静电力平衡时，自由电荷不再移动，即形成稳定的电动势。

由qvB=qE场强，

易知：E电动势=BLv。

切割类感应电动势产生的机理与一般化学电池（如干电池）产生电动势相似，这里的洛伦兹力充当非静电场力，它的大小与是否有外电路无关。所以此类问题主要是找出等效电源，然后运用熟知的电路知识进行处理。

2 立足课本，整合在匀强磁场中切割类的问题

2.1 导体棒平动切割磁感线（如图1）

此类问题是切割类核心模型，其他问题是以此为基础进行衍生。这也是历届高考对电磁感应知识模块考查的热点。若只是简单的记住公式，而不能理解其机理是远远达不到高考要求的。

例题1 （2011江苏卷）如图2所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计。匀强磁场与导轨垂直。阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触。t=0时，将电键S由1掷到2。Q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度。下列图象正确的是（ ）

解析 本题涉及导体棒平动切割磁感线、电流与磁场垂直时的安培力、牛顿运动定律、动态电路以及电容器充放电等知识点。既考查电磁感应基础知识，又考查综合能力，难度确实比较大。

但是只要理解课本中关于动生电动势产生机制的介绍，不难看出此题中导体棒只是充当“动态电源”的角色。t=0时，电容器充满电，此时产生上正下负的电势差E，然后瞬间放电（电容两端电压减少），导体棒中产生i，从而受到F安作用产生a，v增大，感应电动势E增大。根据右手定则可知在导体棒上产生的E的方向与电容器相反，相当于两“电源”反串，则i减小，F安减小，a减小，两“电源”电动势出现此消彼长的情形，直至两“电源”电动势数值相同，回路中没有电流，导体棒不受任何力的作用，开始做匀速直线运动，整个系统趋于稳定。经分析不难选D。

小结 回归课本，重视动生机制的理解。只有夯实基础，才能在实践中见招拆招。

2.2 导体棒（圆盘）转动切割磁感线

图3中导体棒匀速转动切割磁感线，因为棒的每一点的线速度不同，所以产生的动生电动势并非BLv。由v=ωr并结合积分知识易知：

拓展1：法拉第圆盘（见人教版选修3-2 图4.3-14）。

相当于无数个导体棒同时旋转切割，等效电路图如图4所示：

这种微元的思想同样可以运用到对旋转液体（见人教版选修3-1图3.4-8）的解释上。

小结 找“电源”，画电路。

2.3 线圈平动切割磁感线（见人教版选修3-2图4.2-8乙）

由感应电流条件易知：线圈平动时Δφ=0，所以闭合线圈内E（I）=0。但是如果仅仅从磁通量来理解线圈平动切割问题，在实际解题中可能会束手无措。

例题2 如图5所示，闭合铜环与闭合金属框相接触放在匀强磁场中，当铜环向右移动时（金属框不动）时，学生容易错误理解为：由于闭合铜环磁通量不变，从而铜环中没有感应电流。其实线圈平动切割的本质也是导体棒平动切割磁感线。图5中弧egf和弧ehf平动切割产生电动势相当于电源。等效电路如图6所示，两电源并联对外电路供电。线圈abfgea感应电流是逆时针，而线圈dcfhed的感应电流是顺时针，且电流大小相等。

小结 根据线圈中磁通量变化与否来判断感应电动势有无的确很方便，但这仅是一个表面的结论，这里线圈多局限于一个独立的线圈，若涉及到多个回路，需抓住产生感应电动势的源头：（部分）导体棒切割磁感线。

2.4 线圈转动切割磁感线（见人教版选修3-2图4.4-6）

线圈转动切割在教材中所占比重较大，交流电一章都是围绕此模型进行讲解的。但这也是由导体棒切割模型所衍生的。如图7中仅仅是导体棒L2充当电源，只是导体棒运动的速度方向与磁场方向夹角成正弦规律或余弦规律变化而已。

即：e=NBSωsinωt或e=NBSωcosωt

对于线圈转动切割磁感线，如果只是肤浅的记住感应电动势的公式，显然是不够的。

小结 回归课本，抓住线圈转动切割磁感线的实质就是导体棒旋转切割。

2.5 线圈变形切割磁感线（见人教版选修3-2图4.2-9）

实质也是每一部分导体棒切割磁感线。课本中也涉及到此模型的应用，例如动圈式扬声器（见人教版选修3-2图4.4-5）工作原理：声音使纸盒震动，线圈将随纸盒震动，线圈切割磁感线，产生感应电流。

小结 高考源于课本，立足课本。所以要认真研读课本，抓住问题的来源。

3 立足课本，整合在非匀强磁场中切割类的问题

3.1 在辐向磁场中切割磁感线问题

课本中在介绍磁电式电流计时，出现了辐向磁场（见人教版选修3-1图3.4-7）。线圈转动时与在匀强磁场中情况不同，并非产生正弦或余弦的电动势。这里其实也是导体棒切割磁感线，且处处垂直切割，由于每个位置磁感应强度大小相同，所以产生的是恒定的电动势。

例题3 （2012江苏卷）某兴趣小组设计了一种发电装置，如图8所示。磁场均沿半径方向， 匝数为N的矩形线圈abcd，其边长ab=cd=l、bc=ad=2l，线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动。线圈的总电阻为r，外接电阻为R。求线圈切割磁感线时，感应电动势的大小Em；

解析 抓住“电源”其实是由bc、ad两边切割产生的。在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直，即为恒定电源，且两电源正串，易得Em=2NBl2ω。

3.2 条形磁铁（见人教版选修3-2图4.3-8）

由于条形磁铁周围磁场分布不均，线圈中磁通量发生变化，从而在闭合线圈中产生电流，其大小可通过法拉第电磁感应定律E=nΔΦ/Δt来求。

例题4 若在圆环上下两点连入一电阻（如图9），环中有电流吗？若有，大小如何求？

解析 如果仍从磁通量变化角度来处理，很难回答此题。因为当条形磁铁靠近圆环时，这里的线圈的每一部分与磁场发生了相对运动，导线环中的自由电子在洛伦兹力的作用下定向移动形成电势差。如果将圆环中两点接入一电阻，相当于将圆环分成两部分，每一部分均切割磁场，产生两个并联的“电源”。

小结 理解动生电动势产生的机制有助于解决非常规的切割类问题。如课本中关于导线切割地磁场产生电流现象（见人教版选修3-2图4.2-7）就不难理解。

4 解决切割类的问题的基本思路

总观以上课本模型，感觉切割类问题变化莫测，但实质上均为导体棒切割磁感线产生动生电动势，生成一个电源而已。不同的仅仅是三要素：时间（什么时刻）、地点（什么位置）、人物（哪部分导体）三要素。

例题5 如图10所示，在坐标xoy平面内存在B的匀强磁场，OA与OCA为置于竖直平面内的光滑金属导轨，其中OCA满足曲线方程x=L0sinωy（m）。C为导轨的最右端。导轨OA与OCA相交处的O点和A点分别接有体积可忽略的定值电阻R1和R2，现有一足够长、质量m的金属棒MN在竖直向上的外力F作用下，以v的速度向上匀速运动，设棒与两导轨接触良好，除电阻R1、R2外其余电阻不计，求：金属棒MN滑过导轨OC段，整个回路产生的热量。

解析 本题目虽然是导体棒切割磁感线产生动生电动势，但是由于外电路比较特殊，对回路中产生电流规律不能一目了然。由此，解决此类问题首当其冲就要找电源、画出等效电路图，把抽象的电磁感应问题转化为学生熟悉的电路问题。

金属棒MN接入电路的有效长度为导轨OCA形状满足的曲线方程中的x值。因此，接入电路的金属棒的有效长度为 L=x=L0sinωy（m）

金属棒MN在运动过程中，产生的交流感应电动势e=BLv=BvL0sinωy（m）。

小结 解决切割类的问题的基本思路可以分为以下几步：

1.该案属于哪类案件？（动生还是感生，是课本中哪类模型？）

2.你怎么看？（找等效电源，计算电动势）

3.我们应准备哪些侦查工具？（画电路图，运用电路知识）

4.请复查（良好的解题习惯需平时培养）

课本是万木之本，高考题目均是课本基础知识的延伸与综合应用。对于大部分学生来说，平时常被数量繁多，题型繁杂题目所牵制，不能够静心去读本，无法认识到这一点，所以要引领学生研读课本，立足课本。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书（物理）（高中物理选修3-1 、3-2）[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]江苏省教育考试院. 2014年江苏省普通高中学业水平测试（选修学科目）说明[Z].南京：江苏教育出版社，2014.

（栏目编辑 陈 洁）

3 立足课本，整合在非匀强磁场中切割类的问题

3.1 在辐向磁场中切割磁感线问题

课本中在介绍磁电式电流计时，出现了辐向磁场（见人教版选修3-1图3.4-7）。线圈转动时与在匀强磁场中情况不同，并非产生正弦或余弦的电动势。这里其实也是导体棒切割磁感线，且处处垂直切割，由于每个位置磁感应强度大小相同，所以产生的是恒定的电动势。

例题3 （2012江苏卷）某兴趣小组设计了一种发电装置，如图8所示。磁场均沿半径方向， 匝数为N的矩形线圈abcd，其边长ab=cd=l、bc=ad=2l，线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动。线圈的总电阻为r，外接电阻为R。求线圈切割磁感线时，感应电动势的大小Em；

解析 抓住“电源”其实是由bc、ad两边切割产生的。在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直，即为恒定电源，且两电源正串，易得Em=2NBl2ω。

3.2 条形磁铁（见人教版选修3-2图4.3-8）

由于条形磁铁周围磁场分布不均，线圈中磁通量发生变化，从而在闭合线圈中产生电流，其大小可通过法拉第电磁感应定律E=nΔΦ/Δt来求。

例题4 若在圆环上下两点连入一电阻（如图9），环中有电流吗？若有，大小如何求？

解析 如果仍从磁通量变化角度来处理，很难回答此题。因为当条形磁铁靠近圆环时，这里的线圈的每一部分与磁场发生了相对运动，导线环中的自由电子在洛伦兹力的作用下定向移动形成电势差。如果将圆环中两点接入一电阻，相当于将圆环分成两部分，每一部分均切割磁场，产生两个并联的“电源”。

小结 理解动生电动势产生的机制有助于解决非常规的切割类问题。如课本中关于导线切割地磁场产生电流现象（见人教版选修3-2图4.2-7）就不难理解。

4 解决切割类的问题的基本思路

总观以上课本模型，感觉切割类问题变化莫测，但实质上均为导体棒切割磁感线产生动生电动势，生成一个电源而已。不同的仅仅是三要素：时间（什么时刻）、地点（什么位置）、人物（哪部分导体）三要素。

例题5 如图10所示，在坐标xoy平面内存在B的匀强磁场，OA与OCA为置于竖直平面内的光滑金属导轨，其中OCA满足曲线方程x=L0sinωy（m）。C为导轨的最右端。导轨OA与OCA相交处的O点和A点分别接有体积可忽略的定值电阻R1和R2，现有一足够长、质量m的金属棒MN在竖直向上的外力F作用下，以v的速度向上匀速运动，设棒与两导轨接触良好，除电阻R1、R2外其余电阻不计，求：金属棒MN滑过导轨OC段，整个回路产生的热量。

解析 本题目虽然是导体棒切割磁感线产生动生电动势，但是由于外电路比较特殊，对回路中产生电流规律不能一目了然。由此，解决此类问题首当其冲就要找电源、画出等效电路图，把抽象的电磁感应问题转化为学生熟悉的电路问题。

金属棒MN接入电路的有效长度为导轨OCA形状满足的曲线方程中的x值。因此，接入电路的金属棒的有效长度为 L=x=L0sinωy（m）

金属棒MN在运动过程中，产生的交流感应电动势e=BLv=BvL0sinωy（m）。

小结 解决切割类的问题的基本思路可以分为以下几步：

1.该案属于哪类案件？（动生还是感生，是课本中哪类模型？）

2.你怎么看？（找等效电源，计算电动势）

3.我们应准备哪些侦查工具？（画电路图，运用电路知识）

4.请复查（良好的解题习惯需平时培养）

课本是万木之本，高考题目均是课本基础知识的延伸与综合应用。对于大部分学生来说，平时常被数量繁多，题型繁杂题目所牵制，不能够静心去读本，无法认识到这一点，所以要引领学生研读课本，立足课本。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书（物理）（高中物理选修3-1 、3-2）[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]江苏省教育考试院. 2014年江苏省普通高中学业水平测试（选修学科目）说明[Z].南京：江苏教育出版社，2014.

（栏目编辑 陈 洁）

3 立足课本，整合在非匀强磁场中切割类的问题

3.1 在辐向磁场中切割磁感线问题

课本中在介绍磁电式电流计时，出现了辐向磁场（见人教版选修3-1图3.4-7）。线圈转动时与在匀强磁场中情况不同，并非产生正弦或余弦的电动势。这里其实也是导体棒切割磁感线，且处处垂直切割，由于每个位置磁感应强度大小相同，所以产生的是恒定的电动势。

例题3 （2012江苏卷）某兴趣小组设计了一种发电装置，如图8所示。磁场均沿半径方向， 匝数为N的矩形线圈abcd，其边长ab=cd=l、bc=ad=2l，线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动。线圈的总电阻为r，外接电阻为R。求线圈切割磁感线时，感应电动势的大小Em；

解析 抓住“电源”其实是由bc、ad两边切割产生的。在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直，即为恒定电源，且两电源正串，易得Em=2NBl2ω。

3.2 条形磁铁（见人教版选修3-2图4.3-8）

由于条形磁铁周围磁场分布不均，线圈中磁通量发生变化，从而在闭合线圈中产生电流，其大小可通过法拉第电磁感应定律E=nΔΦ/Δt来求。

例题4 若在圆环上下两点连入一电阻（如图9），环中有电流吗？若有，大小如何求？

解析 如果仍从磁通量变化角度来处理，很难回答此题。因为当条形磁铁靠近圆环时，这里的线圈的每一部分与磁场发生了相对运动，导线环中的自由电子在洛伦兹力的作用下定向移动形成电势差。如果将圆环中两点接入一电阻，相当于将圆环分成两部分，每一部分均切割磁场，产生两个并联的“电源”。

小结 理解动生电动势产生的机制有助于解决非常规的切割类问题。如课本中关于导线切割地磁场产生电流现象（见人教版选修3-2图4.2-7）就不难理解。

4 解决切割类的问题的基本思路

总观以上课本模型，感觉切割类问题变化莫测，但实质上均为导体棒切割磁感线产生动生电动势，生成一个电源而已。不同的仅仅是三要素：时间（什么时刻）、地点（什么位置）、人物（哪部分导体）三要素。

例题5 如图10所示，在坐标xoy平面内存在B的匀强磁场，OA与OCA为置于竖直平面内的光滑金属导轨，其中OCA满足曲线方程x=L0sinωy（m）。C为导轨的最右端。导轨OA与OCA相交处的O点和A点分别接有体积可忽略的定值电阻R1和R2，现有一足够长、质量m的金属棒MN在竖直向上的外力F作用下，以v的速度向上匀速运动，设棒与两导轨接触良好，除电阻R1、R2外其余电阻不计，求：金属棒MN滑过导轨OC段，整个回路产生的热量。

解析 本题目虽然是导体棒切割磁感线产生动生电动势，但是由于外电路比较特殊，对回路中产生电流规律不能一目了然。由此，解决此类问题首当其冲就要找电源、画出等效电路图，把抽象的电磁感应问题转化为学生熟悉的电路问题。

金属棒MN接入电路的有效长度为导轨OCA形状满足的曲线方程中的x值。因此，接入电路的金属棒的有效长度为 L=x=L0sinωy（m）

金属棒MN在运动过程中，产生的交流感应电动势e=BLv=BvL0sinωy（m）。

小结 解决切割类的问题的基本思路可以分为以下几步：

1.该案属于哪类案件？（动生还是感生，是课本中哪类模型？）

2.你怎么看？（找等效电源，计算电动势）

3.我们应准备哪些侦查工具？（画电路图，运用电路知识）

4.请复查（良好的解题习惯需平时培养）

课本是万木之本，高考题目均是课本基础知识的延伸与综合应用。对于大部分学生来说，平时常被数量繁多，题型繁杂题目所牵制，不能够静心去读本，无法认识到这一点，所以要引领学生研读课本，立足课本。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书（物理）（高中物理选修3-1 、3-2）[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]江苏省教育考试院. 2014年江苏省普通高中学业水平测试（选修学科目）说明[Z].南京：江苏教育出版社，2014.

（栏目编辑 陈 洁）