正交各向异性板法分析现浇混凝土轻质管柱墙板

严静，唐兴荣

（苏州科技学院土木工程学院，江苏苏州215011）

正交各向异性板法分析现浇混凝土轻质管柱墙板

严静，唐兴荣

（苏州科技学院土木工程学院，江苏苏州215011）

现浇混凝土轻质管柱墙板具有正交各向异性的特征，运用薄板的小挠度理论求解在三角形荷载和均布荷载作用下，三边简支、一边固定正交各向异性墙板的挠度和内力，形成了相关的挠度和内力计算系数公式，以供实际工程设计时运用与参考。同时，分析了刚度比对现浇混凝土轻质管柱墙板的挠度和内力的影响规律，提出了此类墙板的设计建议。

现浇混凝土；正交异性墙板；小挠度理论；挠度；内力

实际工程中地下室外墙板通常设计长度较长，在施工浇筑混凝土时采用连续浇注方式，并且采用的预拌混凝土水胶用量过大，其自由变形能力相对较差，因而在墙板内部产生较大的温度应力，导致墙板开裂。文献[1]借鉴现浇混凝土空心楼盖的原理，在地下室外墙内埋入空心管形成现浇混凝土轻质管柱墙板（见图1），以解决地下室外墙板开裂的问题。

由于在外墙中埋入了空心管，造成了墙板在顺孔方向和横孔方向的截面刚度大小不一致，导致墙板呈现正交各项异性特征。两个方向刚度的不同将导致墙板挠度计算和内力分布的不同。采用弹性力学中薄板的小挠度理论[2～3]对三角形荷载和均布荷载作用下三边简支、一边固定的现浇混凝土轻质管柱墙板挠度和内力进行计算分析。

图1 现浇混凝土轻质管柱墙板

1 正交各向异性墙板的挠曲微分方程

1.1 墙板单元的平衡方程

墙板单元体受力见图2，墙板单元中面受力见图3。沿X、Y方向分别对中面的中心取矩。

化简以上三式，并略去高阶微量，由，可得墙板单元的平衡方程

1.2 墙板单元的几何方程

正交各向异性墙板的几何方程可表示为

1.3 墙板单元的物理方程

正交各向异性墙板的物理方程可表示为

1.4 墙板的挠曲微分方程

墙板内力（mx，mv和mxv）与应力（σx，σx和τxy）的关系可表示为

将式（2）～（3）代入式（4），得到横向位移与内力的关系

图2 板单元受力图

图3 板单元中面受力图

式中，Dx=Exh3/[12（1-vxvy）]，Dy=Eyh3/[12（1-vxvy）]，Dt=Gh3/12。

将式（5）代入平衡方程式（1），得到墙板的挠曲微分方程

对于现浇混凝土轻质管柱墙板，Dx=ExIx/a，Dy=EyIy/b，其中Ex、Ey可取混凝土的弹性模量，Ix、Iy可在将圆孔截面等效为方孔截面后，按空心截面和实心截面的比例对其进行加权取值，按式（7）确定。

式中，Ixh=[（1/12）bfh3-（1/12）b1h13]×（a/bf），Ixh=（1/12）ah3；Iyh=[（1/12）（br+bt）h3-（1/12）bth13]×[b/（br+bt）]，Iys=（1/12）×bh3；；其余符号见图1。

2 正交各向异性墙板的挠度和内力计算

式（6）为含有常数的四阶线性偏微分方程，其严密解的一般形式可写成为

式中，WH为偏微分方程的齐次方程的通解；Wp为偏微分方程的特解。

由于墙板的两条相对边是简支的，符合单三角级数法（李维法）的解法要求，故以下采用单三角级数法求解式（6）。

2.1 挠曲微分方程的通解WH（x，y）

挠曲微分方程的齐次方程为

将WH（x，y）用单三角级数表示，即。WH（x，y）代入式（9），得

式（10）的特征方程为：（Dxm4π4/a4）-2B（m2π2/a2）r4+Dyr4=0，解得。

则式（10）的通解为

2.2 挠曲微分方程的特解Wp（x，y）

对特解的要求是能满足墙板的挠曲微分方程式（6），至于边界条件则不一定要强迫遵循。在一个无穷级数中，如果特解至少能满足板的两个相对边的边界条件，则可以获得较快的收敛效果。

将Wp（x，y）用单三角级数表示，即；将pz（x，y）用单三角级数表示，即。

（1）均布荷载作用下Wp（x，y）。，见图4。由此可得

将Wp（x）、pz（x）代入式（6），得：；由此可得

（2）三角形荷载作用下Wp（x，y）。见图5。由此可得

将Wp（x）、pz（x）代入式（6），；由此可得

2.3 挠曲微分方程的解

挠曲微分方程的解即为挠曲微分方程的齐次方程的通解加上非齐次方程的特解。均布荷载作用下

三角形荷载作用下

2.4 积分常数的确定

对于三边简支、一边固定的墙板，如图6所示。其边界条件可表示为：当x=0时，w=0，mx=0；当x=a时，w= 0，mx=0；当y=0时，w=0，mw=0；当y=b时，w=0，∂w/∂y=0。根据上述边界条件，即可求得积分常数Am、Bm、Cm、Dm，见表1。将各积分常数代入式（17）、（18），即可求得三边简支、一边固定的现浇混凝土轻质管柱墙板在横向荷载作用下的挠度。对于墙板的内力计算，只需要将式（17）、式（18）代入式（4），即可求得墙板在横向荷载作用下的内力。

图4 均布荷载作用计算简图

图5 三角形荷载作用计算简图

图6 墙板几何参数示意图

表1 积分常数

3 刚度比对正交各向异性墙板挠度和内力的影响

图7～图10分别给出了长宽比（g=a/b）为1.0、1.5和2.0时，刚度比（k=Dx/Dv）的变化引起的正交各向异性墙板的挠度和内力的变化趋势。

由图7～图10可知，在长宽比一定时，挠度和内力计算系数几乎与刚度比呈线性变化，挠度计算系数、X向弯矩计算系数、Y向正弯矩计算系数和Y向负弯矩计算系数绝对值均随着刚度比的增大而增大，且长宽比越小，挠度计算系数和Y向正弯矩计算系数的增量也越小；而X向正弯矩计算系数和Y向负弯矩计算系数的增量[Y2]也越大。当刚度比g=1.0时，正交各向异性墙板变成正交各向同性墙板的情况。

由表2可知，当两个方向刚度相差小于10%时，可近似按正交各向同性墙板进行挠度和内力计算，两者的计算结果的误差小于10%，能够满足实际工程的要求。

图7 挠度计算系数

图8 X向正弯矩计算系数

图9 Y向正弯矩计算系数

图10 Y向负弯矩计算系数

表2 刚度相差10%时挠度与内力的比较

4 结论

（1）采用薄板的小挠度理论推导了在三角形荷载和均布荷载作用下，三边简支、一边固定的现浇混凝土轻质管柱墙板的挠度和内力表达式，可形成相关的挠度和内力计算系数表格，以供实际工程设计时应用。

（2）刚度比对正交各向异性墙板的挠度和内力计算系数有较大的影响，当正交各向异性墙板两个方向刚度相差小于10%时，可近似按正交各向同性墙板进行挠度和内力计算，能够满足实际工程的要求。

[1]王逢杰.现浇混凝土轻质管柱墙板的试验研究[D].苏州：苏州科技学院，2013.

[2]R Szilard.板的理论与分析[M].北京：中国铁道出版社，1974.

[3]丁大钧.薄板按弹性和塑性理论计算[M].南京：东南大学出版社，1991.

[4]熊学玉，王绍辉.现浇空心板的正交异形板理论分析方法的研究[J].四川建筑科学研究，2010，36（5）：42-48.

[5]刘杰，朱强，梁书亭，等.现浇圆管式空心楼板正交各向异性研究[J].建筑结构学报（增刊）：2013，43：687-691.

[6]管品武，唐国斌，王利平，等.正交异形板法分析现浇混凝土空心楼盖[J].四川建筑科学研究：2008，34（6）：58-60.

Analysis of the cast-in-situ concrete light pipe column wallboard with the orthogonal plate method

YAN Jing,TANG Xingrong
（School of Civil Engineering,SUST,Suzhou 215011,China）

The cast-in-situ concrete light pipe column wallboard has orthogonal anisotropic characteristics.The deflection and internal forces of orthotropic wallboard with three sides simply supported and one side fixed are calculated by using the small deflection theory of the thin plate under triangular distributed load and even distributed load.Relevant calculation indexes of the deflection and internal forces can be formed and employed to the practical engineering design.Also,the influence law of the stiffness ratio on the deflection and internal forces of cast-in-situ concrete light pipe column wallboard is analyzed,and suggestions of design for such a wallboard are put forward.

cast-in-situ concrete;orthotropic wallboard;small deflection theory;deflection;internal force

TU389.9

A

1672-0679（2015）04-0047-05

（责任编辑：秦中悦）

2015－05-25

江苏省研究生科研创新计划项目（CXZZ11-0952）

严静（1991-），女，江苏常州人，硕士研究生。