计算机辅助在《固体物理学》教学中的应用

冯春宝，胡锡奎，聂锦兰，李登峰，周 平

（1.重庆邮电大学理学院，重庆 400065;2.电子科技大学物理电子学院，成都 610054）

一、《固体物理学》教学概述

《固体物理学》不管是作为物理类专业的核心课程还是其他相关专业的选修课程，它对理科学生整个知识体系的奠基性及引导性的重要作用都是不容质疑的。因此，如何提高《固体物理学》课程的教学效果，如何更有效地传授它的知识要点和难点是高校教育工作者应该持续关注的一个问题。

学习《固体物理学》课程的困难主要有两大方面:一方面，这门课程具有很强的综合性，要求学生对包括《量子力学》在内的多门课程都有较好的知识基础[1－2]。其次，该课程包含较多需要空间展示或是进行数值化计算、作图才能较好地讲授的知识要点。第一方面的问题基本取决于学生对“铺垫”课程掌握的好坏，而在讲授本课程的过程中也可以适当对相应的“铺垫”知识进行回顾或者深化。而第二方面的问题，则完全取决于讲授者的教学技巧。若能在教学过程中引入更多传统教学方法之外的工具或是平台，直观地解释相关的物理概念及现象，将更能激发学生的学习兴趣，更好地讲授相关的知识，提高教学效果[3－6]。

随着计算机硬件及软件的飞速发展，越来越多的原子分子计算模拟软件被广泛应用在科研领域。由于其丰富的功能，除了在科研上的应用，这些软件也可在固体物理及材料物理等课程教学中发挥重要的作用。它们不仅可以使分子原子等微观粒子的结构形象化、可视化，而且可通过模型构建、计算模拟、数据处理、作图分析等步骤，从微观角度揭示结构与性质的关系。其中Accelrys公司研发的Materials Studio（MS）软件因具有非常直观的可视化界面以及丰富的建模和模拟功能而成为应用最为广泛的计算模拟软件之一。而Crystal Maker（CM）软件在晶体建模和演示方面的功能也非常突出，界面美观，易于掌握使用。该软件还有两个非常实用的插件CrystalDiffract以及SingleC-rystal，可模拟晶体的粉末衍射及单晶衍射图样。这两个软件均可在Windows系统下安装运作，在教学用电脑上使用切实可行。

本文结合《固体物理学》教学中的实际需求，分析讨论MS以及CM软件在实际教学中的辅助功能，形象直观地展示固体物理中较抽象、复杂的概念和模型，将抽象的平面教学转变为立体的形象教学，以提高学生的学习兴趣，增强学生的创造性思维。

二、晶体结构与对称性

（一）建模及演示

对晶体结构的认知是学习《固体物理学》的基础，但若局限于平面模型，学生的理解往往都要慢半拍。MS具有强大的建模功能，我们可以从软件自带的结构数据库中导入常见的晶体结构，也可以通过输入其结构和对称性参数来构建晶体。对于结构比较复杂的晶胞，如六角晶胞、复式晶格等，学生们对这一类结构认知往往容易有偏差。因此，三维晶体建模及演示在此类晶体相关的教学中更为重要。通过MS的模型界面，我们可以对晶体结构进行空间旋转，从不同的角度去演示结构，帮助学生准确地理解晶体的空间结构。如图1（a）所示为金属Cu的晶体结构，而图1（b）为Cu晶体的密排面。通过对密排面构建过程的演示，可帮助学生更好地理解密排面与晶体结构的空间关系。而通过图1（b）也可直观地看到立方密堆积晶体密排面的原子排布特征，即呈ABC堆垛的相邻原子层的空间关系。对于六角密堆积，我们可采用同样的方法进行体相和密排面结构的构建和演示。

除了完美晶体，MS也可以帮助我们建立缺陷晶体结构。常见的缺陷类型，包括肖特基缺陷，弗伦克尔对以及替位式的外来杂质缺陷，都可以通过MS轻松构建相应的模型。通过缺陷模型的展示，学生可更为直观地了解不同缺陷的空间结构特点。

图1 Cu晶体的（a）体相结构及（b）密排面

（二）晶体对称性

利用MS的建模功能，我们也可进一步加深学生对晶体对称性的理解。空间群以及晶系不一样，空间点子的排列就不一样。使用同样的晶格尺寸10×10×10?，而变化其空间群类型，保持立方晶系不变，我们将得到完全不一样的晶体结构。如图2（a）为选用空间群FM－3M得到的晶体结构，为简单面心立方。图2（b）则为空间群FD－3M的情况，可见为金刚石结构。通过变化空间群或是晶系得到不同的晶体结构，学生们对晶体对称性将有更为深入的理解。

图2 晶体结构与空间群

（三）晶体结构与X射线衍射

倒易空间是《固体物理学》中较为抽象的一个概念。为了对倒易空间建立更为清晰的概念，我们有必要在晶体衍射部分采用更为形象的教学方法。通过对劳厄衍射和布拉格反射定律的推导，学生已初步建立晶体衍射问题的物理图像，但对于实际晶体结构与衍射图样之间的关系，仍然难以关联起来。CM软件的两个插件CrystalDiffract以及SingleCrystal可非常直观地模拟和展示晶体结构的衍射图。我们可在CM界面通过导入或新建晶体结构的方式得到需要的晶体结构，而利用CrystalDiffract我们可以直接模拟X射线或者中子粉末衍射图样。如图3中左图为晶体Si的结构图，右图则为相应的粉末衍射图样。通过对衍射图样的解释，可帮助学生对晶体衍射特别是粉末衍射法的进一步掌握。SingleCrystal插件的功能更为丰富且互动性非常强，它能够模拟单晶的X射线、中子和电子衍射图，还可以显示其倒易晶格和球面投影。若与CM软件链接使用，还可以在一个窗口查看晶体结构，在另一个窗口查看晶体衍射图。使用CM的“Live Rotation Mode”功能时，旋转晶体能引起衍射图的同步旋转，反之亦然，从而可非常生动且有效地展示晶体结构与倒易晶格以及衍射图样之间的关系。图4中为Si晶体的（111）晶面（左图）及劳厄背散射图样（右图）同步展示的效果。当旋转晶体结构时，散射图样将同时发生变化。

图3 Si晶体结构（左）与粉末衍射图（右）

图4 Si晶体的（111）面（左）与劳厄背散射图（右）

三、布里渊区及能带计算

能带理论是《固体物理学》至关重要的一部分内容。然而，在推导能带理论的一些重要结论时，我们使用的是一维近自由电子近似模型。基于一维原子链模型推导得到的能带表达式及能带结构示意图虽然能帮助学生们初步认知能带的形成以及能隙的出现，但并不能使他们进一步理解实际材料的能带结构。而对于能带结构所需涉及的布里渊区，对于初学《固体物理学》的学生而言更是一个十分抽象的概念。MS软件可以帮助我们展示三维晶体的布里渊区。如图5（a）所示，即为Si原胞对应的第一布里渊区，为截角八面体。通过晶体结构与布里渊区图的直观对照，可帮助学生们更好地理解布里渊区这样一个虚拟的空间。此外，我们也可以在不同角度展示布里渊区里的高对称K点。在进行能带计算时，我们可以在布里渊区图中看到定义的积分路径，如图5（a）中红线所示，其路径为W－L－G－X－W－K。确定积分路径后，我们可使用Castep模块计算晶体的能带结构。图5（b）即为Si的能带结构图。通过三维晶体的能带结构图，授课者可以更为直观地解释直接带隙和间接带隙，以及带顶和带底的位置。此外，我们也可以得到禁带宽度的计算值，可与实验值进行对照。

图5 Si原胞的第一布里渊区（左）与能带结构图（右）

四、结束语

通过对Materials Studio及Crystal Maker软件在《固体物理学》课堂教学中实际应用的深入探讨，我们进一步掌握了本课程的教学技巧。对于三维结构各种类型的晶体，Materials Studio软件的建模及展示功能可十分有效地辅助相应的教学。而布里渊区作为一个十分抽象的物理概念，亦可借助Materials Studio进行展示，并进一步计算晶体的能带结构。Crystal Maker及其插件则可生动地帮助我们建立晶体结构与倒易空间及衍射图样之间的对应关系。

[1] 王矜奉.固体物理教程[M].济南:山东大学出版社，2013.

[2] 黄昆，韩汝琦.固体物理学[M].北京:高等教育出版社，1998.

[3] 陆冰，裴东.计算机辅助教学在大学物理教学中的实践[J].物理教育，2003（1）:53.

[4] 熊万杰.MATLAB用于大学物理教学[J].物理通报，2004（2）:16.

[5] 温俊青.Gaussian 03/Gauss View在原子簇结构教学中的应用[J].长春理工大学学报，2013（3）:199.

[6] 张丽萍.Material Studio软件在固体物理教学中的应用[J].课程教育研究，2015（3）:193.