极限法在初中物理教学中的应用

高泽超

摘 要：本文结合笔者的教学实际，通过典型的例题说明极限法的运用并用一些事例来体会极限法的妙用，最后通过实例指出极限法运用的局限性。

关键词：极限法；物理；教学

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）9（S）-0024-2

在初中物理教学中，发现有些题目采用常规方法解答很复杂，步骤繁琐，不仅浪费时间，还容易出错。如果能有方法避开复杂的推导和演算，找到物理问题的本质所在，将大大提高学生解决问题的能力。而这行之有效的方法即是极限法。

极限法的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用。古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法──归谬法完成有关证明。荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题。牛顿和莱布尼茨创立的微积分也都用到了极限法思想。纵观物理学的发展史，科学家们利用这种思维方法得到物理规律的例子举不胜举，伽利略在研究从斜面上滚下的小球的运动时，就运用了极限法，他将第二斜面外推到极限──平面，从而得到规律。

极限法是一种科学的思维方法，假若某个物理量在某一区间内是单调连续变化（逐渐增大或逐渐减小），我们可以将该物理量或它的变化过程和现象推到该区域内的极限情况（或极端值），使物理问题的本质迅速暴露出来，再根据已知的经验事实很快得出结论，这种思维方法被称为极限法。下面笔者结合初中物理教学中的一些典型例题来领略极限法的神奇和精妙之处。

例1 如图1所示，甲、乙两个实心均匀正方体分别放在水平地面上，它们对地面的压强相等。若在两个正方体的上部，沿水平方向分别截去相同高度的部分，则剩余部分对水平地面的压强关系是（ ）

A.p'甲

C.p'甲>p'乙 D.无法判断

这道题对于才学压强的一部分学生来说，读完题目后基本上是无从下手，感知是原来相等，截取相同高度后，剩下部分也应该相等。这样的思考就错了，没有抓住关键。

按照常规的方法给学生讲解（如图2所示）：

在没有截取之前：p甲=p乙

即ρ甲gh甲=ρ乙gh乙 ①

已知 h甲>h乙 则ρ甲<ρ乙②

当截取相同高度Δh后：

对于甲：

p'甲=ρ甲g（h甲-Δh）= ρ甲gh甲- ρ甲gΔh ③

对于乙：

p'乙=ρ乙g（h乙-Δh）= ρ乙gh乙- ρ乙gΔh④

由①②③④可得p'甲>p'乙，故选C。

这样的讲解让一部分学生还是不能理解，复杂的演算和推导让学生不知所措。如果这里采用极限法，我们在截取时，水平方向分别截去的相同高度逐渐增加，这样乙被截取完，此时甲对地面有压力，乙对地面的压力为0，所以p'甲≠0，p'乙=0故p'甲>p'乙，这种方法能让学生从复杂的推导演算过程中迅速走出来，找到解决问题的突破口，从而快而准确的获得答案。

在初中的物理教学中，能够运用极限法的事例很多，下面笔者列举其中的一些事例。

例2 如图3所示，三个底面积不同的圆柱形容器内分别盛有A、B、C三种液体，它们对容器底部的压强相等，现分别从三个容器内抽出相同深度的液体后，剩余液体对容器底部的压强pA、pB、pC的大小关系是（ ）

A.pA

C.pA>pB>pC D.pA=pB>pC

点拨 先A、B比较，抽出相同深度，极限B抽完，pB=0，而pA≠0所以pA>pB；然后B、C比较，抽出相同深度C抽完，pC=0，而pB≠0所以pB>pC，所以pA>pB>pC ，故选C。

例3 如图4所示，一个盛水的试管由竖直方向逐渐倾斜，在水未从试管流出前，水对管底的压强将（ ）

A.逐渐变大 B.逐渐减小

C.不发生变化 D.先变大后变小

点拨 由竖直方向逐渐倾斜，极限倾斜到水平，h=0，所以p=0，故选B。

例4 两个完全相同的量筒中，分别盛有质量相等的水和酒精，如图5所示，M、N两点到量筒底的距离相等，设M、N两点处的液体压强分别为pM和pN，比较它们的大小，下列说法中正确的是（ ）

A.pM > pN B.pM < pN

C.pM = pN D.无法确定

点拨 M、N两点到量筒底的距离相等，若将M、N两点极限到容器中的液面上，pM =0，而pN ≠0所以pM < pN ，故选B。

下面我们再来看一个例题：

例5 如图6所示，甲、乙两个实心均匀正方体分别放在水平地面上，它们对地面的压强相等。若在两个正方体的上部，沿竖直方向分别截去相同厚度的部分，则剩余部分对水平地面的压强关系是（ ）

A.p'甲

B.p'甲=p'乙

C.p'甲>p'乙

D.无法判断

从表面上看和例题1没有什么差别，只是将水平截取相同的高度变成了竖直截取相同的厚度，其他地方都没有变。于是大部分学生运用极限思维的方法，很快就得出答案了，乙截取完，甲还剩下一部分，如图7所示，故选C，而这题的正确答案是B。

首先我们应该考虑这里能不能运用极限法思想，为什么上题可以用？极限法是某物理量在某一区间内是单调连续变化（或者说逐渐增大或逐渐减小），在例1中，随着水平截取的高度增加，压强在逐渐减小（p=ρgh即ρ不变，g为常数，h减小），而在这道题中，竖直截取的厚度增加，而压强不变（p=ρgh即ρ不变，g为常数，h不变），没有连续的变化，故这里不能运用极限法的思想来解决。此题在截取之前相等，抓住截取后ρ不变，g为常数，h不变，利用公式p=ρgh，所以压强不变，故选B。

从上面的例子可以看出，极限法的运用让繁琐的推导变得更加简洁，更能让初中学生掌握。但是极限法有一定的局限性，并不是在所有的情况中都能使用。在教学的过程中，我们一定要教会学生什么时候可以用，即某个物理量在某一区间内是单调连续变化（逐渐增大或逐渐减小），这时可以考虑利用极限法来解决此题。

参考文献：

[1]徐群茂.例析用极限法解物理题[J]. 数理化解题研究（初中版）， 2011，（6）：43.

[2]冀秀月.极限法在初中物理中的应用[J]. 中学生数理化（教与学），2008，（2）：70.

[3]蔡志东.巧用极限法速解选择题[J]. 物理教学探讨， 2007，（16）：21.

（栏目编辑 刘 荣）

摘 要：本文结合笔者的教学实际，通过典型的例题说明极限法的运用并用一些事例来体会极限法的妙用，最后通过实例指出极限法运用的局限性。

关键词：极限法；物理；教学

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）9（S）-0024-2

在初中物理教学中，发现有些题目采用常规方法解答很复杂，步骤繁琐，不仅浪费时间，还容易出错。如果能有方法避开复杂的推导和演算，找到物理问题的本质所在，将大大提高学生解决问题的能力。而这行之有效的方法即是极限法。

极限法的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用。古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法──归谬法完成有关证明。荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题。牛顿和莱布尼茨创立的微积分也都用到了极限法思想。纵观物理学的发展史，科学家们利用这种思维方法得到物理规律的例子举不胜举，伽利略在研究从斜面上滚下的小球的运动时，就运用了极限法，他将第二斜面外推到极限──平面，从而得到规律。

极限法是一种科学的思维方法，假若某个物理量在某一区间内是单调连续变化（逐渐增大或逐渐减小），我们可以将该物理量或它的变化过程和现象推到该区域内的极限情况（或极端值），使物理问题的本质迅速暴露出来，再根据已知的经验事实很快得出结论，这种思维方法被称为极限法。下面笔者结合初中物理教学中的一些典型例题来领略极限法的神奇和精妙之处。

例1 如图1所示，甲、乙两个实心均匀正方体分别放在水平地面上，它们对地面的压强相等。若在两个正方体的上部，沿水平方向分别截去相同高度的部分，则剩余部分对水平地面的压强关系是（ ）

A.p'甲

C.p'甲>p'乙 D.无法判断

这道题对于才学压强的一部分学生来说，读完题目后基本上是无从下手，感知是原来相等，截取相同高度后，剩下部分也应该相等。这样的思考就错了，没有抓住关键。

按照常规的方法给学生讲解（如图2所示）：

在没有截取之前：p甲=p乙

即ρ甲gh甲=ρ乙gh乙 ①

已知 h甲>h乙 则ρ甲<ρ乙②

当截取相同高度Δh后：

对于甲：

p'甲=ρ甲g（h甲-Δh）= ρ甲gh甲- ρ甲gΔh ③

对于乙：

p'乙=ρ乙g（h乙-Δh）= ρ乙gh乙- ρ乙gΔh④

由①②③④可得p'甲>p'乙，故选C。

这样的讲解让一部分学生还是不能理解，复杂的演算和推导让学生不知所措。如果这里采用极限法，我们在截取时，水平方向分别截去的相同高度逐渐增加，这样乙被截取完，此时甲对地面有压力，乙对地面的压力为0，所以p'甲≠0，p'乙=0故p'甲>p'乙，这种方法能让学生从复杂的推导演算过程中迅速走出来，找到解决问题的突破口，从而快而准确的获得答案。

在初中的物理教学中，能够运用极限法的事例很多，下面笔者列举其中的一些事例。

例2 如图3所示，三个底面积不同的圆柱形容器内分别盛有A、B、C三种液体，它们对容器底部的压强相等，现分别从三个容器内抽出相同深度的液体后，剩余液体对容器底部的压强pA、pB、pC的大小关系是（ ）

A.pA

C.pA>pB>pC D.pA=pB>pC

点拨 先A、B比较，抽出相同深度，极限B抽完，pB=0，而pA≠0所以pA>pB；然后B、C比较，抽出相同深度C抽完，pC=0，而pB≠0所以pB>pC，所以pA>pB>pC ，故选C。

例3 如图4所示，一个盛水的试管由竖直方向逐渐倾斜，在水未从试管流出前，水对管底的压强将（ ）

A.逐渐变大 B.逐渐减小

C.不发生变化 D.先变大后变小

点拨 由竖直方向逐渐倾斜，极限倾斜到水平，h=0，所以p=0，故选B。

例4 两个完全相同的量筒中，分别盛有质量相等的水和酒精，如图5所示，M、N两点到量筒底的距离相等，设M、N两点处的液体压强分别为pM和pN，比较它们的大小，下列说法中正确的是（ ）

A.pM > pN B.pM < pN

C.pM = pN D.无法确定

点拨 M、N两点到量筒底的距离相等，若将M、N两点极限到容器中的液面上，pM =0，而pN ≠0所以pM < pN ，故选B。

下面我们再来看一个例题：

例5 如图6所示，甲、乙两个实心均匀正方体分别放在水平地面上，它们对地面的压强相等。若在两个正方体的上部，沿竖直方向分别截去相同厚度的部分，则剩余部分对水平地面的压强关系是（ ）

A.p'甲

B.p'甲=p'乙

C.p'甲>p'乙

D.无法判断

从表面上看和例题1没有什么差别，只是将水平截取相同的高度变成了竖直截取相同的厚度，其他地方都没有变。于是大部分学生运用极限思维的方法，很快就得出答案了，乙截取完，甲还剩下一部分，如图7所示，故选C，而这题的正确答案是B。

首先我们应该考虑这里能不能运用极限法思想，为什么上题可以用？极限法是某物理量在某一区间内是单调连续变化（或者说逐渐增大或逐渐减小），在例1中，随着水平截取的高度增加，压强在逐渐减小（p=ρgh即ρ不变，g为常数，h减小），而在这道题中，竖直截取的厚度增加，而压强不变（p=ρgh即ρ不变，g为常数，h不变），没有连续的变化，故这里不能运用极限法的思想来解决。此题在截取之前相等，抓住截取后ρ不变，g为常数，h不变，利用公式p=ρgh，所以压强不变，故选B。

从上面的例子可以看出，极限法的运用让繁琐的推导变得更加简洁，更能让初中学生掌握。但是极限法有一定的局限性，并不是在所有的情况中都能使用。在教学的过程中，我们一定要教会学生什么时候可以用，即某个物理量在某一区间内是单调连续变化（逐渐增大或逐渐减小），这时可以考虑利用极限法来解决此题。

参考文献：

[1]徐群茂.例析用极限法解物理题[J]. 数理化解题研究（初中版）， 2011，（6）：43.

[2]冀秀月.极限法在初中物理中的应用[J]. 中学生数理化（教与学），2008，（2）：70.

[3]蔡志东.巧用极限法速解选择题[J]. 物理教学探讨， 2007，（16）：21.

（栏目编辑 刘 荣）

摘 要：本文结合笔者的教学实际，通过典型的例题说明极限法的运用并用一些事例来体会极限法的妙用，最后通过实例指出极限法运用的局限性。

关键词：极限法；物理；教学

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）9（S）-0024-2

在初中物理教学中，发现有些题目采用常规方法解答很复杂，步骤繁琐，不仅浪费时间，还容易出错。如果能有方法避开复杂的推导和演算，找到物理问题的本质所在，将大大提高学生解决问题的能力。而这行之有效的方法即是极限法。

极限法的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用。古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法──归谬法完成有关证明。荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题。牛顿和莱布尼茨创立的微积分也都用到了极限法思想。纵观物理学的发展史，科学家们利用这种思维方法得到物理规律的例子举不胜举，伽利略在研究从斜面上滚下的小球的运动时，就运用了极限法，他将第二斜面外推到极限──平面，从而得到规律。

极限法是一种科学的思维方法，假若某个物理量在某一区间内是单调连续变化（逐渐增大或逐渐减小），我们可以将该物理量或它的变化过程和现象推到该区域内的极限情况（或极端值），使物理问题的本质迅速暴露出来，再根据已知的经验事实很快得出结论，这种思维方法被称为极限法。下面笔者结合初中物理教学中的一些典型例题来领略极限法的神奇和精妙之处。

例1 如图1所示，甲、乙两个实心均匀正方体分别放在水平地面上，它们对地面的压强相等。若在两个正方体的上部，沿水平方向分别截去相同高度的部分，则剩余部分对水平地面的压强关系是（ ）

A.p'甲

C.p'甲>p'乙 D.无法判断

这道题对于才学压强的一部分学生来说，读完题目后基本上是无从下手，感知是原来相等，截取相同高度后，剩下部分也应该相等。这样的思考就错了，没有抓住关键。

按照常规的方法给学生讲解（如图2所示）：

在没有截取之前：p甲=p乙

即ρ甲gh甲=ρ乙gh乙 ①

已知 h甲>h乙 则ρ甲<ρ乙②

当截取相同高度Δh后：

对于甲：

p'甲=ρ甲g（h甲-Δh）= ρ甲gh甲- ρ甲gΔh ③

对于乙：

p'乙=ρ乙g（h乙-Δh）= ρ乙gh乙- ρ乙gΔh④

由①②③④可得p'甲>p'乙，故选C。

这样的讲解让一部分学生还是不能理解，复杂的演算和推导让学生不知所措。如果这里采用极限法，我们在截取时，水平方向分别截去的相同高度逐渐增加，这样乙被截取完，此时甲对地面有压力，乙对地面的压力为0，所以p'甲≠0，p'乙=0故p'甲>p'乙，这种方法能让学生从复杂的推导演算过程中迅速走出来，找到解决问题的突破口，从而快而准确的获得答案。

在初中的物理教学中，能够运用极限法的事例很多，下面笔者列举其中的一些事例。

例2 如图3所示，三个底面积不同的圆柱形容器内分别盛有A、B、C三种液体，它们对容器底部的压强相等，现分别从三个容器内抽出相同深度的液体后，剩余液体对容器底部的压强pA、pB、pC的大小关系是（ ）

A.pA

C.pA>pB>pC D.pA=pB>pC

点拨 先A、B比较，抽出相同深度，极限B抽完，pB=0，而pA≠0所以pA>pB；然后B、C比较，抽出相同深度C抽完，pC=0，而pB≠0所以pB>pC，所以pA>pB>pC ，故选C。

例3 如图4所示，一个盛水的试管由竖直方向逐渐倾斜，在水未从试管流出前，水对管底的压强将（ ）

A.逐渐变大 B.逐渐减小

C.不发生变化 D.先变大后变小

点拨 由竖直方向逐渐倾斜，极限倾斜到水平，h=0，所以p=0，故选B。

例4 两个完全相同的量筒中，分别盛有质量相等的水和酒精，如图5所示，M、N两点到量筒底的距离相等，设M、N两点处的液体压强分别为pM和pN，比较它们的大小，下列说法中正确的是（ ）

A.pM > pN B.pM < pN

C.pM = pN D.无法确定

点拨 M、N两点到量筒底的距离相等，若将M、N两点极限到容器中的液面上，pM =0，而pN ≠0所以pM < pN ，故选B。

下面我们再来看一个例题：

例5 如图6所示，甲、乙两个实心均匀正方体分别放在水平地面上，它们对地面的压强相等。若在两个正方体的上部，沿竖直方向分别截去相同厚度的部分，则剩余部分对水平地面的压强关系是（ ）

A.p'甲

B.p'甲=p'乙

C.p'甲>p'乙

D.无法判断

从表面上看和例题1没有什么差别，只是将水平截取相同的高度变成了竖直截取相同的厚度，其他地方都没有变。于是大部分学生运用极限思维的方法，很快就得出答案了，乙截取完，甲还剩下一部分，如图7所示，故选C，而这题的正确答案是B。

首先我们应该考虑这里能不能运用极限法思想，为什么上题可以用？极限法是某物理量在某一区间内是单调连续变化（或者说逐渐增大或逐渐减小），在例1中，随着水平截取的高度增加，压强在逐渐减小（p=ρgh即ρ不变，g为常数，h减小），而在这道题中，竖直截取的厚度增加，而压强不变（p=ρgh即ρ不变，g为常数，h不变），没有连续的变化，故这里不能运用极限法的思想来解决。此题在截取之前相等，抓住截取后ρ不变，g为常数，h不变，利用公式p=ρgh，所以压强不变，故选B。

从上面的例子可以看出，极限法的运用让繁琐的推导变得更加简洁，更能让初中学生掌握。但是极限法有一定的局限性，并不是在所有的情况中都能使用。在教学的过程中，我们一定要教会学生什么时候可以用，即某个物理量在某一区间内是单调连续变化（逐渐增大或逐渐减小），这时可以考虑利用极限法来解决此题。

参考文献：

[1]徐群茂.例析用极限法解物理题[J]. 数理化解题研究（初中版）， 2011，（6）：43.

[2]冀秀月.极限法在初中物理中的应用[J]. 中学生数理化（教与学），2008，（2）：70.

[3]蔡志东.巧用极限法速解选择题[J]. 物理教学探讨， 2007，（16）：21.

（栏目编辑 刘 荣）