圆锥曲线的妙用

赵金荣

摘 要：圆锥曲线是指使用平面切割椎体而形成的曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线等，早在古希腊，人们就已经开始学会使用双曲线解决问题。圆锥曲线在实际应用中非常广泛，本文从这个角度入手，利用几个实例，让大家体会圆柱曲线的妙处所在.

关键词：圆锥曲线；椭圆；双曲线；抛物线

圆锥曲线是指使用平面切割椎体而形成的曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线等，早在古希腊，人们就已经开始学会使用双曲线解决问题。John Lighton Synge（1897-1987）说过，开普勒通过分析天文观测数据发现了，而牛顿则是使用数学方法证明了。行星的运行轨迹是椭圆。从某种意义上可以说，是因为对圆锥曲线的使用，使得古希腊的几何学变成了当代天文学的基础。

在本文中，我们要利用学生们学习的有关圆锥曲线的分析几何学知识，给大家介绍一些实例，用来帮助学生更深入地了解数学知识源于生活，高于生活，又用来为生活和科学服务的实质。虽然圆锥曲线首先是由古希腊人确定的，本文中我们将会使用大家熟知的x-y直角坐标系以及与之相联系的代数方法来研究这些曲线。

最早发现和研究锥形曲线的数学家之一是希腊数学家Menaechmus（大约公元前380-320年），他是亚历山大大帝的导师之一。十七世纪前，圆锥截面仅作为纯数学的一部分被研究。到了十七世纪，世界各地，尤其是欧洲，科学技术得到了迅猛发展，生产力获得了极大的提高，当时的欧洲，无论是在钢铁冶炼、机械制造、天象观测、枪炮制造还是远洋航海，等等，都对数学提出了急待解决的问题。人们发现，在使用数学知识表达一些最重要的自然界规律时，使用圆锥截面非常关键。这些发现主要是由当时的物理学家J.L.Synge做出的。

本文中，你会发现一些使用圆锥曲线的例子，体会圆锥曲线在科学和生活各方面的奇妙的用途其中包括：

无线电望远镜的设计

拱桥的设计

彗星或行星的轨道分析（11.4中的例题7）

不需要全球定位系统确定地球上的一个位置（11.5的课题）

本文还会给出一些课本上没有的知识，用来扩展学生的知识面，提升大家的学习兴趣，并为后续知识的学习提供一些支撑。我们就来看几个类似的小课题及知识补充。

1 椭圆的周长

大家都知道，一个半径为a的圆的周长能用一个非常简单的表达式表示，即 。然而，却没有一个类似的基本表达式可以用来表示一个椭圆的周长。（一个椭圆的周长使用微积分能够计算出来，这种方法得到的数值，想要具有多少位小数都可以得到。）虽然如此，一些非常有趣的基本公式也能够使得我们可以相当精确地估测一个椭圆的周长。下面的表格中给出了四个这样的公式，以及它们的发现者的名字，发明公式的大体时间。每个公式都能够得到一个形如 的椭圆的周长的近似值。

2 双曲线的妙用

椭圆是任意一个闭合轨道的普遍形状。。。天体的运行轨道还可能是一个不闭合的形式，这类轨道的形状用开放的曲线表示。即使两个物体彼此之间没有通过彼此的重力绑在一起，彼此之间的重力吸引对其彼此的相对运动也有影响。它们的轨道的一般形式就是双曲线。—Theodore P.Snow在《宇宙动力学：天文学简介》中说过。可以看出，双曲线在天文学上的应用，在这里我们给出一个更加接地气的问题，需要利用双曲线知识解决，即不需要全球定位系统确定地球上的一个位置。

一个军队的基地位于一个x-y直角坐标系中的原点O。一个士兵位于P点需要确定他相对于军队基地的坐标，但是他没有全球定位系统。然而，他与基地附近的几个小镇有无线电联系。如图I所示，其中的两个小镇是A和B。小镇A在基地南面6英里处；小镇B位于基地的北边6英里处。在同一时间，两个小镇同时发送相同的无线电信号。这个士兵收到B镇的信号比A镇的信号稍微早一些，所以他知道他离着B镇比离A镇近一些儿。另外，通过测量收到的两个信号的时间差，这个士兵能够计算出他离B镇比离A镇仅8英里。

在这里可以让学生组成小组，利用所需双曲线的知识进行计算，并用清晰易懂的语言解释一下为什么点P必须要位于双曲线的某一个分支上，并能够找到这个双曲线的方程。

接下来，这个士兵按照相同的方式使用小镇C和D，如图II所示。镇C在基地的西方19英里处；镇D位于基地东方15英里处。这个士兵计算出他离镇D比离镇C要近16英里。在这里，也可以让学生使用这些信息，解释为什么点P必须要位于另一条双曲线上，然后确定其方程。

建议学生在课余时间学会使用使用绘图软件，并尝试使用绘图软件绘制出两条抛物线，计算出两双曲线的交点相对于这个士兵所在的位置的的坐标，。接下来，使用代数方法得到坐标的更精确的坐标（正如10.6中所示）用以求出两个双曲线的相关交点。最后，使用计算器计算期近似值，每个坐标四舍五入保留到小数点后三位数。这样的一个课题设置，能够让学生把数学知识与生活密切结合。

3 抛物线的用处

（一）建立抛物线

这个课题能够告诉你如何画出一条抛物线。按照说明，然后解释为什么由此画出的曲线的确是一条抛物线。除了一张纸、一支笔或毡笔，你还会需要下面的工具：

一个丁字尺和一个绘图板或能够很容易地把丁字尺从左到右沿水平路径移动的平面

一段带子，与丁字尺的等长（见图A）

两个图钉

（参考图B。）用大头针把带子的一段固定在画板上的一点。把这个点叫做F。把带子的另一个端点用大头针固定在丁字尺的最右侧，如图B所示。现在，使用铅笔或毡笔，按照下面的两个约束条件水平移动丁字尺：带子必须用铅笔拉紧，而铅笔必须始终沿着丁字尺的边缘移动。铅笔画出的曲线将会是一条抛物线的一部分。（实际上，带子的长度应该比丁字尺稍微长一些而，因为有一部分的带子要被图钉固定起来。）

在科学上，抛物线有大量的应用。这些应用中，很多都涉及到抛物面反射。下图的图C给出了一个望远镜在红抛物镜面的截面图。正如图C中所示，光线从平行于抛物线的对称轴方向射入，通过反射经过焦点。而事实上，词语“焦点”本就来源于意为“壁炉”的拉丁语。除了望远镜和无线电望远镜，抛物面反射器也被用于信息交流体系，例如卫星電视信号的接受天线，监视体系的接受天线，和机动车的车灯也都是抛物面。

抛物线在工程学中的用途也极其广泛，下面的拱桥的设计课题从某种程度上说明了这一点.

（二）拱桥的设计. 图D给出了一座跨河桥。桥的拱门是一条抛物线，六条竖直的缆线帮助支撑着桥面，缆线以4米为间隔等距离隔开。图E给出一个x-y直角坐标系中这个抛物线拱的横截面，使得拱的左端点对应着坐标系的原点。如图E所示，最远的缆线的长是3.072米。确定这条抛物线的方程形式为 。然后，使用这个方程确定其他缆线的长度，以及缆线离路面的最大的高度。

寓教于乐，使得学生习惯于把学习当做乐趣，这是教学的最高目的.把课本上的枯燥乏味的知识与生动活泼的现实问题结合，就能够实现.

参考文献

[1]Precalculus A Problem-Oriented Approach，Cohen，Lee，6ed，Thomson Learning，Inc.， 2005.