一类立方非线性吸振器的能量传递和耗散研究及参数设计

熊 怀，孔宪仁，刘 源

（哈尔滨工业大学卫星技术研究所，黑龙江 哈尔滨150080）

一类立方非线性吸振器的能量传递和耗散研究及参数设计

熊 怀，孔宪仁，刘 源

（哈尔滨工业大学卫星技术研究所，黑龙江 哈尔滨150080）

应用立方非线性能量阱对结构振动抑制时，合理的选择和设计立方非线性刚度能大幅度提升振动抑制效果。论文从能量传递和耗散的角度，基于非保守系统的能量传递和耗散近似关系，提出一种理想立方非线性吸振器的刚度设计方法，使得吸振器在此类非线性中能够达到最高的振动抑制效率。针对一类具有线性和立方刚度组合形式的非线性吸振器振动效果问题，基于复变量平均法分析保守系统能量完全传递时相轨迹特性，得到此时初始能量、质量比需满足的条件；分析了耦合非线性振子的非保守系统刚度系数对线性振子的振动抑制效果，基于提出的立方刚度设计方法，确定最大能量耗散率时组合刚度参数设计范围。最后通过数值仿真验证了结论的正确性。

非线性能量阱；吸振器；定向能量传递；能量耗散；振动抑制

引 言

非线性能量阱（Nonlinear Energy Sink，NES）能够有效地增加吸振带宽，并大幅度提升减振效率。与传统动力减振器不同，NES的振动抑制机理为定向能量传递（Targeted Energy Transfer，TET），这使得应用非线性进行振动抑制成为可能。经过10余年发展，NES的研究从最初单自由度、保守系统逐步发展到非保守、受复杂载荷的减振器，并开始应用到工程结构中去。借助其高效的减振效率和优异振动抑制性能，NES正朝着航天器部、组件的减振结构设计方向发展。

合理选择和设计NES参数是减振器设计的重要步骤之一［1-2］。耦合单 自由度立 方非 线性 振 子的保守系统在文献［3-4］讨论了系统实现TET的可能性，在文献［5-6］中的试验也证明这个结论。对于耦合具有理想立方刚度形式的振子，在文献［7-9］借助复变量替换的方法研究了受外加激励系统时刚度对TET的影响。更进一步的研究是当保守系统的线性振子受到一个初始能量或冲击载荷时，借助复变量平均法［10］确定振子间能量完全传递时非线性刚度与初始能量关系［11］，其中还提出一种非保守系统的理想立方刚度设计方法以及 阻尼设 计方法［12］。但其前提是系统小阻尼、及某个已知刚度对应最优能量值等，限制条件较多，影响其工程应用。

不难发现，在文献［2-5］中对立方非线性刚度的设计都在理想的Hamilton系统前提下，而文献［2-11］讨论的均是理想的立方刚度的非线性形式。本文主要提出一种非保守系统NES立方非线性刚度的设计方法，根据线性振子的初始条件和必要的系统参数设计非线性刚度，使在该初始能量时吸振器的减振效率达到最高。基于该法，将NES的刚度形式推广至一类同时具有线性和立方非线性刚度的形式，讨论该类非线性吸振器刚度系数对TET的影响。为了使NES的减振效果最佳，文中最后还对非保守系统中组合刚度系数影响进行了讨论。

1 立方刚度设计方法

1.1 能量近似关系

研究一个线性振子耦合一个NES系统，其动力学方程如下

式中参数均已归一化，NES与线性振子质量比满足关系ε≪1，ω20对应线性系统固有频率。λ1，λ2为线性振子和NES对应的线性阻尼，kn为非线性刚度。引 入 变量 替 换［10］

对方程进行复变量替换［10］

消去久期项，那么式（1）可以写成

对式（4）多尺度展开（取前二阶）

消去系统的快变部分即t0，得到系统的关于时间尺度为t1的慢变方程

式中δ=1/ε。对慢变方程（6）中两个式子分别乘以对应的复变量，同时取对应的共轭方程做同样变换，最后四式相加可得

当系统的阻尼均为零时，上式恰好为对应保守系统的首次积分，即

式中H为与慢变时间尺度无关的常量，即对应保守系统能量守恒。当系统阻尼不为0时，不妨将方程（7）看成是关于φ202的微分方程，那么可以对其进行Laplace变换

再对式（9）进行Laplace反变换，可以得到对应保守系统能量的随慢变时间变化近似关系

式中H（0）表示系统初始能量。对式（10）中的积分项在0时刻Taylor展开，有

式中 IHO（Integral Higher Order）表示Taylor展开的高阶项。那么在给定的初始条件下，可以根据式（10）和（11）可求出任意时刻系统的能量值。借助式（7）和（10）还可以得到如下关系

图1 数值解与近似解对比Fig.1 The comparison of numerical solution and approximate solution

图1为平均法求得近似关系式和数值解的对比图，近似解Taylor展开只取了前三阶，此时能量响应的近似解（10）和数值解（由四阶Rung-Kutta求得）很好地吻合，误差最大处仅为7.5%，而误差主要来源有两点，一是多尺度展开时舍去的高阶项；二是Taylor展开只取了前面三阶。因此可以利用这个近似方法进一步研究NES的力学特性。

1.2 理想的立方刚度设计

能量耗散率是衡量NES的减振效果标准之一，能 量 耗散 率 可以 表 示为［13］

那么能量耗散率对应的时间变化率为

结合式（12）和（14）有关系

为了设计NES的立方刚度使得NES的能量耗散率达到最大值，式（13）达到极值时耗散率最高，那么式（15）取值为0。

式中m表示2对m阶导数，有第m个函数关系，这些关系式可以由初始条件求得。那么式（15）可以成与有关的函数关系

转换为求解一个kn值，使得式（17）为零，获得的值即为最佳非线性刚度值，此时能量耗散率（11）达到最大值。利用该方法可以求解具有立方非线性NES的最优刚度值。

2 具有线性和立方非线性NES分析

2.1 保守系统能量传递分析

为了增加NES的适用性，将非线性减振器中的刚度表示为更加一般的形式，即此类NES具有线性和立方非线性的刚度组合形式，此时系统的微分方程表示为

此时恢复力由线性kn1和立方刚度kn3两部分组成，借助上一节提到的复变量平均法可以求得此时式（18）对应的慢变方程

在此类刚度组合形式的NES经过复共轭变换，同样具有式（7）的形式。这个不难理解，系统能量的耗散只与阻尼有关，刚度不管如何变化只影响系统的TET，因此系统能量耗散模型的形式和上一节是一样的。对于保守系统时，可以将式（7）写成关系

式中C为与时间尺度无关的常量，该式也表示系统（18）的一个首次积分，可以引入极坐标变换

从文献［7］中可以得到启发，不难得出系统的另一个首次积分可以写成

其中，H表示系统的一个首次积分。将极坐标变换代入上式，可以得到

当初始能量全部集中于线性振子时，即θ=0时，此时有关系：H0=ω0C20/2（即初始能量下，首次积分对应的能量），保守系统能量守恒，关系H0=C恒成立。注意到复变量的相位差应该满足：Δ=δ2-δ1，Δ∈［0，π］，那么就可以通过式（23）的相轨迹特性来研究原系统的一些力学特性。将式（21）代入式（19）中，并令方程中的实部与虚部分别为零，可以得到

为了达到快速衰减线性振子能量的目的，关注线性振子的能量变化

线性振子能量一直处于周期变化，周期为π，初始能量全部集中于线性振子时，经过半个周期后能量全部集中于非线性振子中。而线性振子能量变化率

在一个周期的始末变化率必然为0，但是上式表明在dθ/dt=0时，也存在在能量变化率为0的时刻，对应于式（24）的第1式，此时相位差Δ=0，π，即在该种情况下NES也能实现能量的完全传递。式（24）对应的相轨迹如图2所示，图中不难发现，部分曲线（即初始能量满足一定的条件时）能够在一个周期内连续变化实现能量完全传递（虚线所示），而其他一些曲线却不能，此时系统能量会有部分滞留在线性振子（实线所示）。

图2 不同初始能量对应相轨迹Fig.2 The phase trajectories of the different initial energy

那么在Δ≠0，π时，能量完全传递有θ→π/2，代入到式（23）可得

不难得出，初始能量

利用该式并结合式（21）还可以预测对应的初始条件，使得系统能够实现能量的完全传递，不难得出有两种情况：

1）初始能量全部集中于线性主振子，并只有势能

2）初始能量全部集中于线性振子，并只有动能

不仅如此，注意到式（28）还应满足

在式（29）中给出了系统能够实现TET所需的必要条件，即组合刚度形式的NES中的线性刚度具有一定的范围，该范围与线性振子的固有频率有关。结合式（28）不难发现，线性刚度的存在影响了NES对初始能量的选择性，使得NES一定程度上降低了初始能量值，也就是说当初始能量较低的情况下，引入线性刚度同样可以使NES实现TET。

结合式（28）和（23）容易得到关系

那么此时能量完全传递，质量比有一个临界值，为

在图2（b）中，质量比ε=0.01≤εcr，此时不论系统初始能量如何变化，曲线都不在一个周期内连续变化，即系统不能实现能量的完全传递。对于式（31）还有结论，较之理想立方刚度相比，具有线性刚度的NES不仅能够降低对初始能量的要求，还能减小发生TET时NES质量比的临界值。此类刚度形式的组合在一定程度上又优于理想立方刚度形式的NES。在工程中可以根据实际情形来选择NES的刚度形式，以达到NES最佳的减振效果。

2.2 非保守系统分析

耦合NES的非保守系统分析只能用定性的分析近似分析非线性刚度对系统TET的影响。在系统阻尼不为0的时候，引入新的复变量替换

同 时 注意 到 关系［12］

将式（32）和（33）代入式（21）中，并令实部虚部分别相等，有

不难发现，第1式表示线性振子的能量耗散，而第2式表示振子间的能量传递，而第2式中存在阻尼，可见阻尼在一定程度上也影响着振子的能量传递。图3中给出了kn1时R1和R2的关系曲线。此时图中呈现具有明显的非线性特性，即幅值出现跳跃（图中沿虚线，箭头方向所示）。

图3 R1和R2的关系曲线Fig.3 The relationship R1with R2

不难求出曲线的两个极值点坐标为

当NES在对线性振子进行减振时，减振器的阻尼必须满足条件

当阻尼为0时，由于式中的质量比满足ε≪1时，式（35）和（29）是一致的，这也佐证了上一节的保守系统分析的结论。此类非线性形式的NES设计同样可以利用上一节提出的方法，因为不论非线性刚度形式如何，系统的能量耗散都只与阻尼有关，而与系统的刚度无直接相关，那么式（7）始终成立。出现变化的是式（16），此时初始条件可以写成

此时初始条件变成是组合刚度各系数的函数，结合式（17），可以确定NES能够耗散最大能量时，线性刚度与立方刚度的关系。不妨设有关系

式（37）和（35）可以求得能量耗散率最大时立方刚度范围。

3 数值算例及验证

3.1 立方刚度设计

本节通过两个算例来说明第2节提出的立方刚度设计方法。

例1：设耦合有非线性能量阱的线性振子参数为：ελ1，ελ2分别为0.02，质量比ε=0.1，并设初始能量全部集中于线性振子（只有势能），初始条件为：x10=x20=0.2，振子速度均为0，求能量耗散率最大时立方刚度值。

首先将初始条件转换为初始能量H（0）= 0.25，容易求出式（16）的m个关系式，可以求得的kn=1.24，即在该初始条件下能量耗散率最大时的立方刚度。在图4中为立方刚度与NES耗散率关系曲线（数值解），此时kn=1.24时，能量耗散率达到最高。为了进一步验证本文的方法，图5为初始能量值与NES耗散率关系曲线，立方刚度为kn= 1.13，此时最大耗散率对应的初始能量为0.248与H（0）相近，误差来源主要数值计算产生。

图4 kn与Ediss的关系Fig.4 The relationship knwith Ediss

两振子的位移响应如图6。尽管初始能量全部作用于主振子上（图6（a）），但能量很快传递给NES振子（图6（b）），所以图6（a）的振幅比图6（b）的大。

主振子能量响应如图7，其中图7（a）为图7（b）的初始时间放大图，图中的实线为耦合NES振子系统的主结构能量响应，虚线为无耦合NES振子系统。图7（a）中不难发现，耦合NES系统的主振子能量迅速下降，而在非耦合NES的系统能量耗散缓慢。在局部放大图7（b））可以看出，耦合NES系统主振子能量在振子间往复传递，这个传递效率很高，而且转移迅速，虽然转移一次过程中能量损耗较低，但是由于转移频率很大，致使效率很高，即实现了TET。

图5 H0与Ediss的关系Fig.5 The relationship H0with Ediss

图6 两振子响应Fig.6 The response of two oscillators

图7 主振子能量响应Fig.7 The energy response of the primary oscillator

例2：设耦合有非线性能量阱的线性振子参数为：ελ1和ελ2分别为0.02，质量比ε=0.1，并设初始能量全部集中于线性振子（没有动能但有势能），初始条件为：˙x10=0.45，其他初始条件均不为0，求能量耗散率最大时立方刚度值。

尽管此时主振子既有动能又有势能，但仍可用本文的方法，按例1的操作步骤不难求出kn=1.65。图8，9为立方刚度与能量耗散率曲线、初始能量与能量耗散率曲线。同样也验证了初始能量全部集中于主振子时，该方法同样适用。可见本文提出的立方刚度设计方法具有更好地普适性。

图8 kn与Ediss的关系Fig.8 The relationship knwith Ediss

图9 H0与Ediss的关系Fig.9 The relationship H0with Ediss

此时，两振子的位移响应如图10所示，主振子能量响应如图11。两图出现了和例1类似响应曲线，即系统此时出现了TET。这两个算例都很好地验证了前面的结论。

图10 两振子响应Fig.10 The response of two oscillators

3.2 保守系统能量传递

设系统参数为：ω0=1，kn1=0.5，kn3=1。利用关系（28）可以预测系统能量完全传递时的初始条件为：x10=x20=0.103或者˙x10=0.103，其他参数为0。此时能量传递如图12所示。在图12（a）中能量能在两振子间完全传递（实线为线性振子，虚线为非线性振子），而图12（b）中，质量比不在范围内，此时不论初始条件如何变化，能量都只能在振子间部分传递。

图11 主振子能量响应Fig.11 The energy response of the primary oscillator

图12 两振子能量响应Fig.12 Energy response of two oscillators

图13主振子位移响应中，图13（a）中主振子振幅出现周期性变化，出现小振幅时说明此时的振子能量出现了大量转移，使得能量出现图12（a）的周期性变化，而在图12（a）出现幅值非常小的时刻，说明此时的能量能够完成传递给NES；在图13（b）则不然，这是个近似的正弦响应，幅值基本保持不变，即主振子能量没有发生明显的传递，显然在该质量比条件下，系统是不能实现完全传递的。可见，不同质量比条件下系统能量传递特性是不一样的，这样印证了上一节对保守系统能量传递得出的结论，即质量比大于某一定值，系统才能实现能量的完全传递。

图13 主振子响应Fig.13 The primary oscillator response

3.3 非保守系统能量耗散

同时具有线性刚度和立方非线性刚度形式NES的能量耗散率同样可以通过式（13）来验证。此时NES的能量耗散率与线性振子初始能量关系如图14所示（全初始能量为动能或全为势能）。从图中不难发现耗散率最大对应初始能量是一个分界点，在初始能量值高于这个值时，kn1（图中虚线所示）时的耗散率比kn3（图中实现所示）要低，小于该临界值时，kn1对应的能量耗散率比kn3对应的能量耗散率要高。可见在此类刚度形式组合的NES能在一个较宽的初始能量范围内具有更好的减振效果。

同样对比图14（a）和（b）两图，刚度系数一定时，在合理的阻尼范围内，阻尼越大，对应的耗散率越高。可见该类组合刚度形式的NES有其自身固有的振动抑制优势。

图14 初始能量与耗散率关系Fig.14 Relation between initial energy and energy dissipation

4 结 论

本文通过已有的耦合非线性振子的慢变近似模型，研究了理想立方刚度形式的非保守系统能量耗散与其对应保守系统能量之间关系。基于该关系提出一种立方刚度设计方法，并在两个算例中进行了验证，仿真结果验证了该方法的正确性。该方法可以直接应用于初始能量全部集中于线性振子的系统中去，实际应用较为方便。

本文还研究了一类具有线性和立方非线性的组合刚度形式的NES振动抑制效果，得出了保守系统要实现能量完全传递时初始能量、质量比需要满足的条件；非保守系统分析时，确定了各组合刚度系数范围，并研究了组合刚度较之理想立方刚度的NES的优势。这些结论在文中后面的数值仿真都得到了验证。

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Energy transfer and dissipation of a class of nonlinear absorber and its parameter design

XIONG Huai，KONG Xian-ren，LIU Yuan
（Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China）

Applying the cubic nonlinear energy sink（NES）to vibration suppression of structure，the best performance of vibration suppression can be obtained through proper choice and design of nonlinear stiffness.Based on the relationship of energy transfer and dissipation of non-conservative system，a method of nonlinear stiffness design is proposed to get the best performance of vibration suppression.According to the linear and cubic nonlinear stiffness，the feature of phase trajectories of conservative system is analyzed using the complex averaging method，and get the necessary condition of initial energy and mass ratio. The suppression effect of the stiffness of non-conservative system on linear system also is investigated，and the range of composite stiffness at the maximum dissipation efficiency is obtained based on the method proposed.The above analysis is verified by numerical simulations at last.

nonlinear energy sink；absorber；targeted energy transfer；energy dissipation；vibration suppression

O322；O328

A

1004-4523（2015）05-0785-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.014

熊怀（1989—），男，博士研究生。电话：18745001184；E-mail：13B918048@hit.edu.cn

2014-05-25；

：2014-11-24