二元复合重心型混合有理插值

赵前进，侯中丽

（安徽理工大学理学院，安徽 淮南232001）

当插值节点数较大时，Thiele型连分式有理插值可能比多项式插值的逼近效果更好。然而，有理插值函数难以避免在插值区间内出现极点，也难以控制极点的位置，另外还可能有不可达点。重心有理插值比Thiele型连分式有理插值计算量小，数值稳定性好，选择适当的权可以不出现极点和不可达点。Berrut，Schneider，Nguyen等对重心有理插值进行了深入的研究［4-13］。在文献［1］中，Floater和 Hormann通过在子节点集上构造插值多项式，然后用特定的权函数对这些插值多项式进行重心型的混合，构造了一种无极点、高精度的复合重心有理插值。在文献［2］中，Klein就等距节点的情形又对此进行了改进，通过修正子节点集上的插值多项式构造了一种新的复合重心有理插值。

本文将文献［1］中的方法推广到矩形域上的二元复合重心型混合有理插值。首先在小矩形域上构造二元Newton插值多项式［3］，然后基于特定的权函数进行重心型的复合，构造了二元复合重心型混合有理插值，并进一步分析了新的二元复合重心型混合有理插值的一些性质，如无极点和不可达点等，最后由给出的数值例子验证了新方法的有效性。

1 二元复合重心型混合有理插值

设f（x，y）在D 上有定义，且记f（xi，yj）＝fij，（i＝0，1，2，…，m；j＝0，1，2，…，n）。

对任意整数d1和d2（0≤d1≤m，0≤d2≤n），对于每个i＝0，1，2，…，m-d1，j＝0，1，2，…，n-d2，设Pij（x，y）为｛（xk，yq）｜k＝i，i＋1，…，i＋d1；q＝j，j＋1，…，j＋d2｝上的二元 Newton插值多项式，基于重心型复合，构造二元有理函数

2 插值性质

性质2．1 二元有理函数R（x，y）在矩形域D内没有极点。

证明 只需证明R（x，y）的分母大于零。现在对（3）式的分子、分母同时乘以（-1）n-d2（y-y0）（y-y1）…（y-yn）有

3 数值例子

例1 取被插值函数f（x，y）＝（x＋y）ln（x2＋y2＋1），在［-5，5］×［-5，5］上取等距节点，将m＝10，n＝10，d1＝5，d2＝5及m＝20，n＝20，d1＝5，d2＝5的插值函数和被插值函数用MATLAB绘制如下图，并求出了最大绝对误差（f（x，y）＝（x＋y）ln（x2＋y2＋1）与插值函数在插值区间上的最大误差）。

图1 被插值函数

图2 m＝10，n＝10插值函数

图3 m＝10，n＝10误差函数

图4 m＝20，n＝20插值函数

图5 m＝20，n＝20误差函数

表1 误差比较（d1＝5，d2＝5）

由上表可见，m、n越大，插值误差越小。

4 结论

笔者给出矩形域上的二元复合重心型混合有理插值新方法，首先在小矩形域上构造二元Newton插值多项式，然后基于重心型复合，构造出了二元复合重心型混合有理插值，证明了二元复合重心型混合有理插值无极点和不可达点，最后用数值例子验证了新方法的有效性。

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