一个新数论函数的均值*

董小茹

(西北大学 数学系，陕西 西安710127)

0 引 言

数论，在数学中就是研究数的规律，特别是研究整数性质的数学。它与几何学一样，是数学中最古老的分支，在现代基础数学研究中占有非常重要而又特殊的地位［1-5］。

当自变量n 在某个整数集合中取值，因变量y取实数值或复数值的函数称之为数论函数，由于很多情形下他们可以看成是特殊的序列，因此数论函数的性质研究在数论中占有举足轻重的地位，很多重要的算术函数的单个取值是没有规律的，更不要说给出一个具体的通式显然是不可能的，但是其均值往往具有非常规则的渐近公式［6-8］。因而数论函数的均值估计问题在数论研究中占有非常重要的位置，是众多学者研究的课题之一，数论中很多领域都与此有密切的联系［9-12］，因而在这一领域取得任何实质性的进展都将对数论有很重要的推动作用［13-15］。

文中的目的是利用初等方法研究了Smarandache 可乘函数J(n)在简单数中的均值性质，并给出了一个有趣的渐近式。其中用到了以下内容:欧拉函数，即对任意正整数n ≥1，Euler 函数φ(n)表示为所有不超过n 且与n 互素的正整数的个数。

类似的，也定义函数J(n)为模n 所有原Dirichlet 特征的个数，即J(n)= n(p -1)2.具体的证明应用Abel 恒等式，级数的收敛性等知识。

1 引理的证明

引理1 若n 为简单数，则n 的取值只能为n= p，n = p2，n = p3，n = pq 这4 种情况，其中p，q 是不同的素数。

证明 参见文献［3］

引理2

同理可证

其中用到

下面证明(4)，应用拆分原理。

而

其中用到

同理

所以由①②③式有

而(4)式变为

于是完成了引理2 的证明。

2 定理的证明

现在给出定理的证明。事实上，根据引理1 及引理2 可以得到

对任意对任意x ∈R，x ≥3，有渐近式

综上所述，定理证毕。

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