调洪演算解析解法

陈起红

(余姚市江河水利建筑设计有限公司，浙江 余姚 315400)

1 问题的提出

调洪演算在水利计算中广泛应用，由于水位、下泄流量、蓄水量三者之间存在非线性关系，不能直接求解，故一般用图解法、试算法等，随着计算机的应用，数值计算也较方便。但采用解析解法，用一般函数直接计算更方便。调洪演算是一阶常微分方程，如中间变量用水位或下泄流量，除了假定与成线性关系可以求解外，一般没有解析解。本文采用蓄水量为中间变量，通过假定是的一元两次方程关系，可以得出函数解。可在水库调洪演算或洪水预报中应用。

2 调洪演算解析解法

调洪演算计算方程如下:

式中:I为时段入库流量(m3/s);q为下泄流量(m3/s);w为蓄水量(m3);t为时间(s)，若假设:

式中:a，b，c为系数。

把式(2)代入式(1)得:

式中:w0为初始值，m3;t为计算时段长，s。

计算出w后，可由式(2)求得q，再推出库水位。

若t时段内q不连续，先算出至蓄水量w1的时间，可分为t=t1+t2，先算出至w1的时间。

再由初始值w1及t2算出时段末的W。

为建立q与w的一元二次方程，可用最小二乘法进行数值拟合。

令:M=∑［q-(aw2+bw+c)］2

根据以下方程式求出a，b，c:

式中n为个数。

若下泄流量随水位有不同的运行方式或者为提高计算精度，可分段拟合。

3 算例

某水库堰顶高程59.98m，堰宽B=70m，M=1.77。不同水位的水库库容曲线及下泄流量见表1。

表1 不同水位蓄水量和下泄流量表

分2种方案，方案1采用库水位59.98～63.50m整段拟合，方案2采用59.98～61.50m和61.5～63.50m两段拟合。各个方案计算成果见表2。

调洪计算成果见表3。

表2 各方案系数表

表3 各方案调洪演算成果表

从以上分析看，采用解析解法与数值计算的成果比较接近。

4 结语

调洪演算为一阶常微分方程，通过采用中间变量 (蓄水量)，假设与非线性关系为一元二次方程，实际是求解黎卡提 (Riccati)方程，若时段内入库流量为常量时，有函数解，可直接求出计算结果。此计算方法可在水库调洪演算和洪水预报中应用。

［1］吴王城.工程水文学［M］.北京:水利电力出版社，1985.

［2］周义仑，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用［M］.北京:科学出版社，2013.

［3］同济大学数学教研室.高等数学 ［M］.北京:高等教育出版社，1989.