基于低轨预警卫星测量数据的弹道重构与选星算法研究

叶 飚，曾占魁、，冯 刚，曹喜滨

（1.上海宇航系统工程研究所，上海 201109；2.哈尔滨工业大学 航天学院，黑龙江 哈尔滨 15001）

0 引言

天基预警卫星由高轨部分的（DSP）和低轨部分的STSS组成。DSP卫星主要通过短波红外探测器扫描探测弹道导弹助推段的高热尾焰，先确定威胁导弹的初始弹道信息，之后将相关目标信息传递至STSS，引导STSS卫星控制长波红外探测器由平时的扫描待命状态进入捕获跟踪状态，实现对自由飞行段弹头的凝视跟踪与弹道重构。

根据STSS星座部署的构型分析，若STSS星座采用24星的构型配置，临边探测模式下可保证轨道高度230～1 500km范围内的全球单重覆盖，并保证赤纬大于30°的二重以上覆盖（两颗星同时可见），两极上空的预警覆盖达到极限，最多可有6～7颗的可见星。根据我国实际，多数对我国构成威胁的洲际导弹从北极上空经过，弹道的大部分均在超过2颗以上预警卫星的覆盖范围内。通常情况下，对多于2颗预警卫星的角度测量信息，可用最小二乘估计技术进行处理，获得更高精度的弹道重构信息。但单颗预警卫星的跟踪目标数有限，过多占用不必要的监视资源，会削弱整个系统对多个威胁目标的预警能力。因此，在保证弹道重构精度条件下，尽可能降低所占用的预警卫星数。因此，当观测星数多于2颗时，需引入选星算法，选择两颗观测几何条件最好的预警卫星执行跟踪测量操作。为此，本文对基于低轨预警卫星测量数据的弹道重构与选星算法进行了研究。

1 测量坐标系

J2000地心赤道惯性坐标系O-XYZ：坐标原点O为地心，基本平面为J2000地球平赤道面，X轴在基本平面内指向J2000平春分点，Z轴垂直于基本平面，由地球中心指向地球平赤道自转北极方向，X、Y、Z轴构成右手系。

传感器测量坐标系O′-UEN：以传感器中心位置O′为坐标原点，地心O与O′的连线为U轴，N轴位于地球自转轴与U轴组成的平面内，指向正北方向为正，E轴依右手法则确定。

O′-UEN，O-XYZ系的关系如图1所示。

图1 坐标系示意Fig.1 Coordination system

2 双星观测模型

双星交汇定位几何关系如图2所示。根据文中的参数定义，设预警卫星S1，S2在J2000坐标系中的位置分别为r1，r2。对弹道导弹（ICBM）探测，每颗预警卫星有两个测量参数：O′-UEN系中星载探测传感器测得视线矢量s1，s2的方位角α和高低角δ。

在O′-UEN系中，由星载探测传感器可测得视线矢量s1，s2的单位矢量分别为

式中：δi，αi分别为si在O′-UEN系中的高低角及方位角（i＝1，2）。

假设ICBM在J2000坐标系中的位置为rm。用O′-UEN系至J2000惯性系的变换矩阵，可将导弹在J2000坐标系中的坐标用预警卫星测得的坐标表示。

图2 双星交汇定位几何关系Fig.2 Geometry of solving ICBM position using two visible stars observation

设d1，d2为u1，u2转换至J2000坐标系的分量，即

由正弦定理可得ICBM与预警卫星S1间的距离

式中：s为两颗预警卫星之间的相对距离；θ为两观测视线矢量交汇夹角，且θ＝π－β1－β2。此处：

由此，确定ICBM在J2000坐标系中的位置为

3 基于EKF的ICBM自由段弹道估计

3.1 ICBM自由段轨道动力学模型

在ICBM自由飞行段，飞行空气动力和其他摄动力可忽略，考虑地球非球型引力带谐系数J2的动力学方程精度即可。取状态变量为ICBM在J2000坐标系中的位置／速度

则系统状态方程可写为

式中：W为系统状态噪声向量，其协方差矩阵为Qk；g（r）为地球引力加速度矢量，且

3.2 观测模型

观测量取双星几何定位算法确定的ICBM位置，根据式（8），有

式中：k为观测序列编号；v为测量噪声，是零均值的高斯随机过程。

3.3 EKF滤波算法

线性化动力学方程和观测方程。式（10）对状态向量求偏导

式中：I3×3为单位阵。

离散化处理可得

式中：T为滤波采样周期；n为泰勒展开级数。

观测方程线性化后有

式中：Hk＝［I3×303×3］。

EKF滤波方程为

3.4 滤波初值计算

用低轨预警卫星观测数据几何定位算法，先给出3个不同时刻t1，t2，t3的ICBM 位置矢量r1，r2，r3，用Gibbs方法确定速度矢量2，有

其中：τ1，τ2，τ3分别为时刻t1，t2，t3的时间间隔，且τ1＝t1－t2；τ3＝t3－t2；τ13＝t1－t3［1］。

则，由式（21）～（23）可算出时刻t2的速度矢量后，综合时刻t2的位置矢量r2，就确定出了ICBM在时刻t2的轨道状态。

4 最小二乘几何定位及选星算法

因低轨预警卫星的常规姿态为对地定向，故只有当目标与预警卫星、地球间的几何关系满足红外临边探测的原则时，星上的长波红外探测设备才可能探测到目标。但完全按可见原则对24颗低轨预警卫星逐一筛选的效率低，因此有必要建立快速判断可见预警卫星的算法。

4.1 最小二乘几何定位算法

设当前时刻可见的预警卫星数目为n，其中的一颗预警卫星Sj与弹道导弹几何观测方程式（12）移项后可得

在式（24）中，rm的三个分量与ρj为4个待定量，其余为已知量或观测量。对n颗可见预警星，可得n组式（24）的方程，则3×n个方程求解3＋n个未知数，写成观测方程的形式有

4.2 基于观测噪声估计方差最小选星原则

当同时可见2颗以上预警卫星时，用最小二乘解算多星的观测数据可得较高的目标定位精度。但因一颗预警卫星无法同时对两个及以上的目标进行凝视跟踪观测，故对同一目标占用过多的预警卫星将降低对其他目标的发现与跟踪能力。

在双星定位模式下，不考虑预警卫星的位置误差，根据式（24），可写出以弹道导弹位置矢量rm为状态变量，观测视线的高低角δ和方位角α为观测量的观测方程。在双星几何解算时，观测方程为非线性方程，经线性化后可得

式中：ΔX为待求状态偏差量，且ΔX＝Δrm；ΔZ为观测偏差量，且

推导可得

因在选星前不可能获得观测信息δ，α，以及弹道导弹rm。因此，可用先验估计的弹道位置矢量替代式（27）～（31）中的rm，并由计算出估计的替代δ，α。

当可见预警星大于2颗时，可用最小二乘法求解式（27），得

本文假设观测量δ，α的误差ΔZ为零均值的联合高斯分布。当几何布局固定时，由ΔZ与ΔX的函数关系可得ΔX亦为零均值的高斯分布，计算ΔX（ΔX）T的期望值可得ΔX的协方差。则有

式（33）利用了矩阵（HTH）－1为对称矩阵的特性。一般情况下，假定观测角误差Δδ，Δα是分布相同且相互独立的，其方差等于（σang）2，则

当可见两颗预警星时，n＝2。将式（34）代入式（33），可得

ΔX的3个分量分别对应的是估计弹道导弹在ECI坐标系中的三方向的位置误差，其协方差阵可展开为

定义弹道导弹位置估计的精度因子

（HTH）－1分量写作

由于定位解算的结果将作为下一步卡尔曼滤波观测量，定位误差方差矩阵可由式（35）给出，提取方差阵covΔX的迹就是几何定位解算的误差估计均值，并作为卡尔曼滤波的观测噪声方差阵引入滤波器，有

5 仿真实验

设模拟的ICBM自由飞行段弹道历元秒0时刻的轨道根数为：半长轴5 462 756.648m，偏心率0.45，倾角124.108°，升交点赤经9.96°，近地点幅角265.995°，平近点角98.431°；低轨预警卫星按24颗星三轨道面部署，轨道高度1 600km，倾角102°，预警卫星的轨道位置三方向误差由均值0、均方根50m的高斯白噪声；δ，α的测量误差由均值0、均方根0.01°的高斯白噪声；卡尔曼滤波的滤波采样周期10s，预警卫星多星最小二乘几何定位的位置矢量作为滤波观测量和滤波初值的位置分量，由前30s三次定位解算位置分量的Gibbs差分得到初值的速度分量。仿真结果如图3～8所示。

图3 ICBM自由飞行段可见STSS预警卫星数Fig.3 Number of visible STSS satellites on ICBM passive phase

图4 未选星时双星几何解算定位误差Fig.4 Position solving error using two stars observation without selection

图5 噪声方差最小原则选星后双星定位误差Fig.5 Position solving error using two stars observation with selection of least covariance noise

图6 噪声方差最小原则选星后双星定轨EKF滤波的位置误差Fig.6 Position filtering error using two stars observation with selection of least covariance noise

图7 噪声方差最小原则选星后双星定轨EKF滤波的速度误差Fig.7 Velocity Filtering error using two stars observation with selection of least covariance noise

图8 观测噪声方差最小原则选星后双星定轨EKF滤波位置与速度误差均方根Fig.8 Root mean square of the position and velocity dealing with EKF on the least covariance noise principle selection using two stars observations

6 结束语

本文对STSS低轨道预警卫星双星定轨的选星算法进行了研究。结果发现：按24颗星部署的STSS星座可满足对洲际弹道导弹弹道重构的最小数量可见星要求；用EKF滤波解算的ICBM弹道重构的位置精度优于100m（3σ），速度精度优于0.15m／s（3σ）；在可见预警卫星多于2颗的条件下，用最小二乘解算可提高初步的弹道定位的精度，但将增加系统占用，削弱对整个预警系统对多威胁目标的跟踪预警能力；基于观测噪声估计方差最小的原则选星后，可在保证双星定轨精度的条件下，最小限度占用监视预警卫星资源。

［1］ 王 洋，曲长文，蒋 波.低轨星座对自由段空间目标跟踪算法研究［J］.电子测量技术，2009，32（5）：157-160.

［2］ 秦永元，张洪钺，汪叔华.卡尔曼滤波与组合导航原理［M］.西安：西北工业大学，1998.

［3］ BATTIN R H.An introduction to the mathematics methods of astrodynamics［M］.Washinton D C.AIAA，1999.