基于C-W方程的近程导引制导与控制方法

刘 胜，钱 勇，施伟璜，赵庆广

（上海卫星工程研究所，上海 200240）

0 引言

空间交会是实现航天器各种在轨服务、空间碎片处理等的关键技术。航天器交会的动力学定义是追踪航天器通过一系列轨道机动，与目标航天器在空间预定位置和时间相会。航天器空间交会一般分为远程导引、近程导引和逼近伴飞三个阶段。本文主要研究基于跟瞄系统进行自主轨道交会的近程导引段。

根据相对运动动力学方法推导的C-W方程能较准确地描述航天器的近距离相对运动，在自由运动或控制力和摄动力为常值时有解析解，因此可用于空间交会的近程导引段［1］。该交会方式也可称为C-W交会。基于C-W方程模型的近程导引控制律目前有双脉冲和多脉冲两种。文献［2］给出了空间交会对接中双脉冲制导的算法，并给出了优化方案，分析了不同初始条件下的燃料消耗；文献［3］描述了多脉冲制导的一般算法，通过解析获得了多脉冲变轨的最小范数解，对双脉冲的不可达点进行了讨论，分析了双脉冲和多脉冲的燃料消耗；文献［4］用线性化C-W方程和极大值原理研究了两个飞行器燃料消耗最少的计算方法，并对三脉冲进行了优化；文献［4］利用直接优化技术，用分段多项式表示整个轨道的状态和控制向量，将整个交会轨道分为若干个推力段和无推力段，分别进行不同的约束，将最优控制转化为非线性规划。

本文对基于C-W方程的近程导引制导与控制方法进行了研究。

1 航天器轨道动力学

1.1 绝对运动

航天器在轨运行时受到的外力主要有地球的中心引力、推力和轨道摄动力。假设推力器不工作，考虑J2摄动、大气阻力摄动和太阳光压摄动的绝对运动动力学模型为

式中：R为地心距；Re为赤道半径；CD为大气阻力系数，取CD＝2.2；SD／m为面质比，追踪航天器面积SD＝9.5m2，质量m＝1 500kg，目标航天器SD＝1.9m2，m＝900kg；ρ为轨道大气密度；vaX，vaY，vaZ为大气相对地心的运动速度三轴分量；aSX，aSY，aSZ为光压加速度；μ为地球引力常数；X，Y，Z为航天器三轴惯性位置。

1.2 相对运动

定义追踪航天器轨道坐标系o-xyz：原点o为目标航天器质心，oz轴指向地心；ox轴在轨道平面内指向飞行方向；oy轴按右手法则指向轨道面法线反向。航天器赤道惯性坐标系O-XYZ与o-xyz系的关系如图1所示。

若追踪航天器运行于近圆轨道，两相邻航天器在追踪航天器轨道坐标系中的相对运动可用C-W

图1 相对轨道坐标系Fig.1 Relative coordinate system

方程描述为

式中：ω为追踪星航天器平均轨道角速度；ax，ay，az为加速度三轴分量；x，y，z为两航天器相对位置。

设各轴加速度为0，即航天器处于自由运动状态，可得式（2）解析解的矩阵式为

2 控制律设计

2.1 双脉冲制导

双脉冲轨道自主交会的原理是：计算第一次交会脉冲，使追踪航天器在给定的时间内到达指定位置，施加第二次脉冲，使追踪航天器相对目标航天器按预定的方式伴飞。

若时刻t0＝0追踪航天器的初始相对位置r（t0）＝［x0y0z0］T和时刻tf的目标位置r（tf）＝［xfyfzf］T已知，则在这两个时刻的相对速度为

式中：G11＝－B－1A，G12＝B－1，G21＝C－DB－1A，G22＝DB－1；上标“－”、“＋”分别表示速度脉冲作用前和后。

以上即为经典的C-W双脉冲制导方法。式（5）求得的第一次控制脉冲使航天器从初始位置r（t0）转移到目标位置r（tf），它影响制导的位置精度；式（6）求得的第二次脉冲用以消除终端时刻的速度误差，它影响制导的速度精度。

双脉冲控制总的速度增量

式中：|Δv1|＋|Δv2|为特征速度，可反映双脉冲燃料消耗状况。

在双脉冲制导律下，式（5）两次速度增量有解取决于式（4）有解，即B（t）逆矩阵存在。但矩阵B（t）会有奇异：

a）当ωctf＝nπ（n＝0，1，2，…），即tf为半个轨道周期的整数倍时；

b）当 cos（ωctf）＝ （64－9（ωtf）2）／（64＋9（ωtf）2），且2nπ＜ωtf＜（2n＋1）π，n＝0，1，2，…时。

当轨道转移时间tf等于这些奇异值时，无论施加多大的速度脉冲都不能使追踪航天器到达终端状态r（tf）。这样的点称为不可达点，其邻近区域为高耗能区域。

2.2 等时间间隔多脉冲制导

C-W方程有解析解的矩阵形式为

式中：τ＝t－t0。令

式中：F（τ）为6×6维的矩阵，其作用是将状态从S0转移到S（t）。

多脉冲控制就是在多个时刻分别施加脉冲控制，从而使追踪器在最终时刻到达期望位置。设在时刻ti施加控制脉冲Δvi（i＝1，2，3，…，n）（3×1维向量），则在时刻tf达到的状态

其中S0，S（tf）可预先测量或设计。令

则式（13）可改写为

式中：Φ为6×3m维矩阵，存在广义逆Φ＋；v为3m×1维向量。逆解式（14），可得多脉冲控制律为

式中：ζ为任意给定的3m×1维向量；I为单位阵。当ζ＝0时，可得最小范数解，即所有脉冲分量的平方和最小。虽然最小范数解与最省燃料解存在一定差异，但最小范数解在推导过程中可直接采用解析的方法获得。

等时间间隔多脉冲原理为：假设有m次脉冲，推力器开始工作时刻为t0，总的机动时间为tf，则第i次脉冲施加的时刻为

对等时间间隔的多脉冲控制，在确定脉冲次数m后，可直接根据式（15）获得最小范数解。等时间间隔多脉冲制导方法算法简单，运算量较小。

2.3 闭环多脉冲制导

式（15）为常用的多脉冲控制律，该控制律属开环控制。为消除J2摄动和大气摄动的影响，采用闭环控制以提高控制精度。以等间距时刻施加脉冲，则第i时刻（1≤i≤m－1）施加的脉冲大小的计算方法为：取此时刻的航天器位置、速度作为初始条件，终端位置、速度已知，变轨脉冲数量变为m－i＋1，代入式（15）算得相应的三轴脉冲向量，而当前时刻需施加的脉冲即为该向量的第一个分量。当i满足1≤i≤m－1时，重复上述步骤计算。按施加时间的选择，第m次脉冲的作用是在航天器到达指定位置后，将其速度也改变成期望值。因此第m次脉冲的大小相应地变为

脉冲次数为m的闭环多脉冲制导如图2所示。

图2 闭环多脉冲制导Fig.2 Closed loop multi-pulse

3 算例与仿真

设近程导引段两航天器的半长轴a、偏心率e、升交点赤经Ω、倾角i、幅角ω、真近地点角f见表1。

表1 近程导引初始轨道要素Tab.1 Orbit element of the closing phases

通过计算可得追踪器第二轨道坐标系中理想的相对运动初始条件为

近程导引终端位置和速度（追踪器第二轨道坐标系中）分别为

空间自主交会过程中要求航天器轨道在空间保持一定的相对关系，该空间相对位置、速度关系受跟瞄设备的约束。假设跟瞄设备的测量精度为：距离r≤20m（3σ）；速度r·≤0.1m／s（3σ）；角度 ΔΦ≤0.3°（3σ）（相对x、z向夹角）。

3.1 双脉冲制导

用4组不同计算参数条件（见表2）确定最佳转移时间。算得不同转移时间的燃料消耗如图3所示。由图3可知：对应燃料消耗最小值的转移时间为0.6T～0.9T，大部分位于3／4个轨道周期位置。此处：T为追踪星轨道周期。图3中：T／2位置为不可达点，与理论值相符。

轨道转移时间tf＝0.75T时，双脉冲制导仿真结果见表3。

由表3可知：双脉冲制导有较大误差。主要原因是：轨道模型中包括J2摄动、大气阻力和太阳光压三种摄动力，控制过程中所需的两次速度增量不能瞬时获得；C-W方程描述的线性化轨道与真实轨道存在差异，当航天器的偏心率较大时，这种差异更明显。

表2 计算参数Tab.2 Computation parameters

图3 燃料消耗与转移时间的关系Fig.3 Relative of time and fuel consuming

表3 双脉冲制导仿真结果Tab.3 Emulation result of double-pulse guidance

双脉冲制导仿真结果如图4～7所示。

图4 双脉冲制导x-z平面Fig.4x-zcurve of double-pulse guidance

图5 双脉冲制导y-z平面Fig.5y-zcurve of double-pulse guidance

图6 方位角αFig.6 Azimuth angle

图7 俯仰角βFig.7 Pitching angle

3.2 等时间间隔多脉冲制导

利用等时间间隔的多脉冲控制法，脉冲次数m分别为3，4，6，10，转移时间tf＝0.75T时的燃料消耗和控制精度见表4。

由表4可知：多脉冲燃料消耗少于双脉冲，因开环控制未作修正，脉冲次数增加后误差反有增大趋势。

表4 等时间间隔多脉冲制导仿真结果Tab.4 Emulation result of multi-pulse guidance which being equated

3.3 闭环多脉冲制导

转移时间tf＝0.75T时，闭环多脉冲制导仿真结果见表5。

运用闭环多脉冲控制律虽不能完全消除控制误差，但可将精度提高数十米，且燃料消耗增幅较小，因而闭环多脉冲是一种简单有效的优化控制律。由表5可知：闭环6脉冲控制精度35.6m，与闭环10脉冲相当，在50m以内，但燃料消耗较少。根据航天器轨控时对姿态的影响越小越好的原则，闭环6脉冲制导是近程导引段较优的控制方案。

表5 闭环多脉冲制导仿真结果Tab.5 Simulation result of closed loop multi-pulse guidance

转移时间tf＝0.75T时，闭环6脉冲制导仿真结果如图8～11所示。

图8 闭环6脉冲制导x-z平面Fig.8x-zcurve of closed loop six-pulse

图9 闭环6脉冲制导y-z平面Fig.9y-zcurve of closed loop six-pulse

图10 方位角Fig.10 Azimuth angle

图11 俯仰角Fig.11 Pitching angle

4 结束语

本文在建立航天器轨道自主交会绝对运动与相对运动动力学模型的基础上，设计了近程导引段制导与控制律。研究了基于C-W方程的双脉冲制导方法，提出了双脉冲变轨条件下的不可达点及其附近的高耗能区域概念，导出了基于C-W方程的多脉冲变轨的一般算法，并进而研究了等时间间隔多脉冲制导方法，重点研究了可提高控制精度的闭环多脉冲控制方法，并对具体的近程导引飞行任务进行了仿真计算。仿真结果表明，闭环6脉冲制导可用于近程导引段，且具有一定的工程应用价值。

［1］ CLOHESSY W H，WILTSHIRE R S，Terminal guidance system for satellite rendezvous［J］.Joumal of the Aerospace Sciences，1960，27：653-658，647.

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