基于金星借力的黄道面外日冕探测器轨道设计

李涧青，高长生，郑建华，荆武兴

（1.哈尔滨工业大学 航天学院，黑龙江 哈尔滨 150001；2.中国科学院 空间科学与应用研究中心，北京 100080）

0 引言

观测日冕，通常是将日冕仪放在火箭、轨道天文台、天空实验室上进行大气外观测。随着空间探索事业的发展，科学家更希望得到黄道面外的观测数据。直接向黄道面外直接发射日冕探测器需消耗更多的燃料。借用行星引力提高轨道倾角，可节省燃料。1990年发射的Ulysses探测器，通过木星引力辅助变轨后，形成了太阳极轨探测器，但其巡航时间长，目标轨道距太阳远，轨道周期长，导致日冕观测效果不佳［1－3］。为改善该弊端，可选用内行星作为借力体。与木星相比，一次借用内行星引力无法达到大倾角，必须设计多次借力方案。欧空局计划2013年发射Solar Orbiter探测器［4－6］。通过控制探测器进入金星影响球方位，使借力后轨道周期是金星轨道周期的2／3，达到多次借力目的。有文献给出了Ulysses，Solar Orbiter探测器的轨道参数，但并未给出设计该类探测器轨道应遵循的规律。此外，对某深空探测器轨道设计，文献［7-8］采用圆锥曲线拼接法获得了部分地心逃逸轨道参数；文献［9］通过空间几何示意图分析了逃逸轨道参数间的关系，但并未见有文献给出升交点赤径和近地点幅角的解析解。

本文对多次借金星引力设计大倾角日冕探测器轨道进行了研究。

1 数值搜索算法迭代初值求取

考虑太阳、地球、目标星（金星）、木星四体引力建立轨道动力学模型。对该模型中的轨道计算，常归为对两点边值问题的求解。两点边值问题的搜索算法有多种［10－11］。本文采用状态转移矩阵迭代方法求解精确轨道。合适的迭代初值是保证该算法收敛的关键。

1.1 逃逸双曲线超速

基于影响球观点的圆锥曲线拼接法设计行星际轨道。先计算日心转移轨道初始速度v1，再计算探测器的地心逃逸双曲线轨道超速，最后给出全部地心逃逸参数。由行星星历得出发射时刻te地球的位置re，到达时刻tp目标行星的位置rp。根据兰伯特定理，v1唯一确定［12］。本文采用p迭代法求解v1，有

式中：f，，g，为四个关于普式变量z的标量函数；dθ为两位置矢量夹角；p为轨道半通径；a为轨道半长轴；dE为偏近点角差；μ为太阳引力常数；t为飞行时间［13］。规定了p的试探初值后可求出f，g,，进而求出dE，可得飞行时间。然后t和给定飞行时间对dt＝tp－te相减，利用试探值p反复迭代，直至｜t－dt｜小于规定值时，停止迭代，就可求出

由矢量相减原理，探测器的地心逃逸双曲线超速

1.2 升交点赤径和近地点幅角

地心逃逸轨道初始六参数为轨道半长轴a、偏心率e、倾角i、升交点赤经Ω、近地点幅角ω和真近点角fe。其中：a，e可直接由v∞和初始地心距rm给出。规定fe＝0°。

从地球出发，可有无数条双曲线轨道使飞行器以预定v∞通过地球影响球边界。所有轨道均在一个旋转曲面上，每条轨道都是曲面的母线，曲面轴线方向即为v∞方向。即在作用范围边界上，以垂直于旋转曲面轴线方向切出一个圆，该圆上任一点，飞行器都可以同样的v∞离开地球影响球。这样就有无数组双曲线i和对应的Ω。

可根据发射场要求首先规定i，再确定Ω，ω。由式（6）已知v∞在地心惯性坐标系中的坐标为［xyz］T，设一新坐标系o-urutun：our轴沿v∞方向；oun轴沿期望的双曲线所在轨道的动量距方向；out轴由右手定则决定。由坐标转换可得

式中：u为v∞与双曲线轨道升交点节线间夹角。式（7）仅有Ω，u两个未知量，可唯一确定。设双曲线轴线与v∞间夹角为β，由cosβ＝1／e可求出β。最后得ω＝u＋β＋180°。

由上述分析可知：地心逃逸轨道参数的a，e，i，fe均易确定。本文由简单几何原理，结合坐标变换，补充了Ω，ω求解方法，获得了完整的地心逃逸轨道六参数。由天体力学可知，该六参数必然在基于四体引力动力学模型的轨道初值附近。本文的仿真以这些参数为状态转移矩阵搜索算法的迭代初值，从而提高了该算法的计算效率。

2 金星多次借力提高轨道倾角设计

需指出的是：C3e最省是设计行星际轨道极重要的指标。在火箭发动机比冲I＝300s，探测器总质量500kg条件下，从300km圆停泊轨道变轨所需燃料质量和C3e的关系如图1所示。为减少燃料消耗，应严格控制C3e，即逃逸速度小是设计行星际轨道中的重要指标。

2.1 日心过渡轨道类型选取

图1 燃料需要与C3e关系Fig.1 Relation betweenC3eand mass of fuel

探测器借金星引力飞行如图2所示。图中：vp为金星轨道速度；v-，v＋分别为探测器飞入、飞出金星影响球时的日心轨道速度；b为两矢量间的夹角；α为飞入、飞出金星影响球时两逃逸速度夹角，其大小与逃逸速度大小和探测器的近金星点距有关，已有解析公式可循。本文的目标是保证v-，v＋两矢量构成的平面垂直于黄道面的条件下，使b较大，即使借力后探测器的轨道倾角增大。

图2 借力飞行Fig.2 Gravity-assist

因日心过渡轨道的选取和借力后提高倾角的效果无解析公式，需用数学仿真研究其规律。本文根据简单的二体模型计算出探测器飞入、飞出金星的相对速度v∞p对应的速度变化量Δv，用获得的初值在真实动力学模型进行打靶搜索得到5种较典型的日心过渡轨道，在黄道面内的分布如图3所示（图中未考虑其与金星和地球的相位关系，实际飞行中不可能从同一点飞出）。其主要性能参数见表1。表中：KT为探测器日心过渡轨道与金星轨道周期之比；e1为探测器日心过渡轨道的轨道偏心率；Δi为金星借力后倾角变化量。

图3 飞向金星的不同轨道Fig.3 Different orbit to the Venus

由表1可得结论：无论采用何种轨道，1次金星借力提高倾角最多约10°；采用霍曼轨道方案的C3e最小，节省能量，但对提高轨道倾角效果不大；C3e越大，Δi并不是越大，这就要求设计金星多次借力轨道；C3e越大，e也越大，这非常重要，因为本文设计多次借力时发现每次借力后探测器日心轨道偏心率均有降低，当偏心率接近零时，再次借力后轨道不会继续提高；轨道A、B、C的KT均接近于1，通过合理调节其进入金星的方位，使借力后探测器日心轨道周期等于金星轨道周期，可实现再一次借力，但轨道C的C3e过大，消耗的燃料过多，故不作考虑。本文选择轨道A、B考察分析多次借力应遵循的规律。

考虑轨道A方案，继续设计金星借力后与其轨道周期相等的探测器日心过渡轨道，其与地球、金星的空间相位关系如图4所示。仿真表明第一次借力后其e1很小（0.035），接近金星轨道的偏心率。若继续设计第二次金星借力轨道，设金星轨道速度为vp，第二次借力前探测器的日心轨道速度为，因两轨道周期相同，轨道接近圆形轨道，故vp，近似相等，且两矢量构成的平面几乎垂直于黄道面。由图2可知，飞入金星双曲线超速v－p∞大小可近似为vp∞＝2×vp×sin（9.62／2）＝5.86km／s。是以vp终点为原点，以vp∞为半径在空间形成的圆球弧上的一点。由图2可知：当vp＋∞垂直于第二次借力后的日心轨道速度v2＋，且两者构成的平面垂直于黄道面时，形成新的倾角i2最大 为asin （vp∞／vp）＝9.64°。此处：i2为第二次金星借力后倾角，与借力前i1相比几乎没有增加。说明当e很小时，再一次借力对提高倾角效果不明显。

表1 不同的日心过渡轨道性能参数Tab.1 Parameters of different orbits

图4 探测器和金星轨道分布Fig.4 Orbit distribution between probe and Venus

由上述分析可得结论：因一次金星借力提高倾角最多约10°，故为达到黄纬20°以上的轨道倾角，必须采用连续两次以上的金星借力方案；在保证金星借力后飞行1周再次与金星相遇的条件下，与借力前相比，探测器的日心过渡轨道偏心率将减小，且如其值接近于零，下一次金星借力后轨道倾角不会继续提高，因此首次进入金星影响球前探测器日心轨道偏心率较大是多次借力提高倾角的关键。

2.2 典型轨道多次借力提高倾角效果

综合上述分析可知：应设计一种发射能量C3e较低、飞入金星前的日心过渡轨道偏心率较大的轨道，以保证多次借力不断提高倾角的效果。本文选用轨道B方案设计多次金星借力轨道。沿金星轨道面方向看去，探测器的三次借力如图5所示。由图可知：每经一次借力，轨道倾角均有增加，具体过程见表2。

图5 探测器和金星轨道分布Fig.5 Orbit distribution between probe and Venus

表2 轨道B方案主要性能参数Tab.2 Parameters of orbit B

由表2可知：采用与金星轨道周期之比为1∶1多次借力轨道，3次借力后倾角可达到19.76°。与直接发射倾角20°的日冕探测器相比，轨道B方案可达到相同效果，但燃料节省3t。另由图可知：每次借力后e1均在逐渐降低，第三次借力后e1＝0.012 1，该数值非常小，接近金星轨道的偏心率。若再进行第四次金星借力，可得vp∞＝2vpsin （19.76／2）＝12.01km／s，i2＝arcsin （vp∞／vp）＝20.07°。可发现倾角不再提高。实际上，是否能实现多次借力提高倾角，第一次进入金星影响球前e的作用至关重要。若e较小，即使增加借力次数，轨道倾角也不会增加。为达到下一次借力，必须保证借力后探测器仍与金星轨道半长轴相等，但这样借力后日心轨道的e都在减小。大量仿真证明了该结论，理论解释如下。不考虑影响球，从宏观角度看，每次与金星相遇时，相当于有一沿着金星速度方向的力F作用于探测器，其作用时间dt约为0.5～1.0d。设金星的速度vp方向恒定，新坐标系o-xyz的原点位于探测器质心，oy轴由日心指向探测器方向，ox轴在借力前探测轨道面内，指向探测器速度方向，oz轴沿该平面的的法线方向。将F在o-xyz系中分解，只有Fx，Fy影响e的变化，有

本文研究中，无论升交式（f＜180°）还是降交式（180°＜f＜360°）交会，Fx均为正，cosE＋cosf均为负；降交式Fy大于零，升交式Fy小于零。故de始终小于零。

3 结束语

本文推导了逃逸轨道的升交点赤径和近地点幅角的解析解，结合其它已知的四参数，可作为状态转移矩阵迭代法计算轨道的迭代初值，保证了该算法的收敛性，为仿真大量轨道带来了极大的便利。采用金星借力提高日冕探测器轨道倾角，应采用多次借力方案。对如何选择飞入金星前的日心过渡轨道方案，以及借力次数停止条件进行了理论证明和仿真分析。因为从地球上直接向金星发射探测器，无法保证地球逃逸能量C3e很小和飞向金星前的日心过渡轨道偏心率e很高的双重目标。后续工作是：设计一种多天体交会轨道，使其具有C3e很小，与一个或多个天体交会后以很大的e飞向金星的特点。可以预料，这种轨道将进一步降低对运载火箭的要求，却能将倾角提高到更高。

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