函数性质与基本函数

王健

知识要点：函数的性质

●单调性的判断方法

①定义法：在定义域内先后进行取值、作差、变形、判正负.注意作差时须将差值f（x1）-f（x2）分解因式到可以判断正负为止.

②导数法：对函数进行求导，根据导数的正负来判断函数的单调性 （必修不作要求）.

③图象法、复合函数法.其中复合函数法判断单调性遵循“同增异减”的原则.

●奇偶性的判断步骤

①先看定义域是否关于原点对称;

②其次化简判断函数值是否恒为零（既是奇函数又是偶函数）;

③最后依据“同偶奇反”的原则，由定义判断出函数f（x）与f（-x）的关系.

含有指数的函数的判断过程需注意将f（x）与f（-x）用相同的形式来表示，如f（x）中含有ax，那么也要将f（-x）中的a-x化为来表示. 含有对数的函数可以通过观察对数的真数部分相等还是互为倒数最终判断出f（x）与f（-x）的关系，如lnx与ln互为相反数.

●求周期的方法

①定义法：对定义域内任意的x，存在非零常数T，使得f（x+T）=f（x）恒成立，则T即为函数y=f（x）的一个周期.如f（x+a）=-的周期T=2a.

②公式法：y=asin（ωx+φ），y=acos（ωx+φ）的最小正周期T=;y=tan（ωx+φ）的最小正周期T=.三角函数周期一般用公式法求.

③归纳法或图象法：通过已知条件进行归纳或直接观察图象得出周期.

【提醒】

（1） 注意函数单调性的隐性描述与应用：

①符号乘积描述：任意a，b∈D，a≠b，（a-b）[f（a）-f（b）]的正负恒定.

②几何描述：任意一点处的切线斜率的正负恒定（必修不作要求）.

③导数描述：单调函数的导数正负恒定（必修不作要求）.

常见的与单调性有关的问题：比较函数值大小、解不等式、求函数值域、求参数的范围等.注意所求单调区间不可超出定义域的范围.

（2） 函数奇偶性的重要结论：

①若奇函数f（x）在原点有定义，则必有f（0）=0.

②奇函数在关于原点对称的单调区间部分有相同的单调性，偶函数则有相反的单调性.

（3） 周期性常应用于三角函数、函数求值、数列求和等问题中.要能准确区分出f（x+a）=f（x+b）反映的是函数周期特征，f（a-x）=f（b+x）反映的是函数对称特征.一个周期函数周期的整数倍还是这个函数的周期，若无特别说明，一般在求周期问题中所求的是最小正周期.

（4） 一般地，若一个函数有两个对称特征（对称轴和对称中心），则其一定为周期函数.其中对称中心与其相邻的对称轴的距离是周期的，相邻的两条对称轴或两对称中心的距离是周期的.

【自查题组】

（1） 定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），有（x2-x1）·[f（x2）-f（x1）]>0.则当n∈N*时，有 .

（A） f（-n）

（C） f（n+1）

（2） 下列函数中，既是偶函数又在区间（-∞，0）上单调递增的是 .

（A） f（x）=     （B） f（x）=x2+1 （C） f（x）=x3 （D） f（x）=2-x

（3） f（x）=为R上的奇函数，则实数a= .

（4） 函数f（x）=log（x2-4）的单调递增区间是 .

（5） 奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，则f（1）=1，则f（8）+f（9）= .

知识要点：指数、指数幂与对数运算

●指数、指数幂运算公式

① n次方根：当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=a.

② 运算性质：aras=ar+s，=ar-s，（ar）s=ars，（ab）r=arbr （a>0）.

③ 指数幂运算：a=（a>0），a-n=（n>0）.

●对数的运算公式

①指对互化：ab=N？圳logaN=b（a>0且a≠1）.

②和差公式：logaM+logaN=logaMN，logaM-logaN=loga.

③化简公式：loga MbN=loga b，aloga b=b（b>0）.

④换底公式：loga b=（c>0且c≠1），MlogaN=Nloga M.

【提醒】

①指数、指数幂与对数运算是解相应的方程、不等式和比较大小等典型常考问题的基础，解题时注意利用公式统一函数、方程、不等式或代数式的形式，如：化成同底的指数或对数形式.

②解对数函数问题应注意真数与底数的限制条件：真数大于零，底数大于零且不等于1.

③含参代数式开偶次方要注意讨论其正负才能去掉绝对值，如=a.

【自查题组】

（6） 设a=log32，b=ln2，c=5-，则a，b，c的大小关系为 .

（7） 方程+=3x-1的实数解为 .

（8） 不等式log2（2x-1）·log2（2x+1-2）<2的解集是 .

（9） 化简：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，则的值为 .

知识要点：分段函数和含有绝对值的函数

●分段函数的特征

分段函数是一个函数，但在不同范围内对应不同的表达式.其定义域是各段函数的定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函数最值中的最大值，最小值是各段函数最值中的最小值.

●分段函数图象画法

研究分段函数的重要方法是从它的图象入手，画分段函数的图象应先根据各段函数的表达式画出该段的函数图象，然后将各段函数图象通过定义域结合在一起，构成所求的完整图象.

●分段函数的常见问题

①求值问题：解此类问题的关键是判断自变量的值属于分段函数定义的哪一段，再代入相应的表达式计算.关于周期函数的题目，代值所得结果会出现循环（如【自查题组】第12题），这时需要反复确认自变量的值所属分段函数定义域的范围，结合相应解析式来计算结果.

②解析式问题：比如知道f（x）在某一分段区间的函数解析式求对称区间的函数解析式，这种情况通常需要结合函数的奇偶性，先将-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函数的奇偶性探究f（x）与f（-x）的关系，最后写出所求函数表达式.

●含绝对值的函数的处理策略

①换元法：如函数y=x2+2x-1可化为y=x2+2x-1后令t=x换元为二次函数y=t2+2t-1（t≥0）.

②图象变换法：y=f（x）的图象可由先保留y=f（x）原来在x轴上方的图象、把x轴下方部分沿x轴向上翻折后得到;y=f（x）的图象可由先保留y=f（x）在y轴右方的图象、去除y轴左方的图象、然后将y轴右方的图象关于y轴向左翻折后得到.

③化为分段函数：通过分类讨论绝对值内代数式的正负去绝对值，转化为分段函数.

【提醒】

（1） 分段函数是一个函数，不能把它误认为是几个函数.解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有参数的分段函数问题，利用图象法研究时要注意参数对函数图象范围的影响，关注各段图象的交点坐标与参数的联系，注意关键点的计算.

（3） 求有关分段函数性质的问题时，应关注端点取值、每段函数图象是相连的还是断开的、能否取到特殊点（如奇函数能否取原点）等.

【自查题组】

（11） 设函数g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函数f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，则f（2014）的值为 .

（13） 已知函数f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为

.

（15） 设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【复合函数单调性遵循同增异减的原则判断】

（5） 1 【根据f（x）=-f（-x）与f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），则log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，则有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意对数式中真数大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如图1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）图象如图2所示，若满足题意，则平行于x轴的直线与图象有三个不同的交点，且交点横坐标分别为a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0时，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0时，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根据均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由题意可知6a-7≥a+1恒成立，当a≥0时不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 综上所述，a≤-】

（9） 化简：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，则的值为 .

知识要点：分段函数和含有绝对值的函数

●分段函数的特征

分段函数是一个函数，但在不同范围内对应不同的表达式.其定义域是各段函数的定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函数最值中的最大值，最小值是各段函数最值中的最小值.

●分段函数图象画法

研究分段函数的重要方法是从它的图象入手，画分段函数的图象应先根据各段函数的表达式画出该段的函数图象，然后将各段函数图象通过定义域结合在一起，构成所求的完整图象.

●分段函数的常见问题

①求值问题：解此类问题的关键是判断自变量的值属于分段函数定义的哪一段，再代入相应的表达式计算.关于周期函数的题目，代值所得结果会出现循环（如【自查题组】第12题），这时需要反复确认自变量的值所属分段函数定义域的范围，结合相应解析式来计算结果.

②解析式问题：比如知道f（x）在某一分段区间的函数解析式求对称区间的函数解析式，这种情况通常需要结合函数的奇偶性，先将-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函数的奇偶性探究f（x）与f（-x）的关系，最后写出所求函数表达式.

●含绝对值的函数的处理策略

①换元法：如函数y=x2+2x-1可化为y=x2+2x-1后令t=x换元为二次函数y=t2+2t-1（t≥0）.

②图象变换法：y=f（x）的图象可由先保留y=f（x）原来在x轴上方的图象、把x轴下方部分沿x轴向上翻折后得到;y=f（x）的图象可由先保留y=f（x）在y轴右方的图象、去除y轴左方的图象、然后将y轴右方的图象关于y轴向左翻折后得到.

③化为分段函数：通过分类讨论绝对值内代数式的正负去绝对值，转化为分段函数.

【提醒】

（1） 分段函数是一个函数，不能把它误认为是几个函数.解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有参数的分段函数问题，利用图象法研究时要注意参数对函数图象范围的影响，关注各段图象的交点坐标与参数的联系，注意关键点的计算.

（3） 求有关分段函数性质的问题时，应关注端点取值、每段函数图象是相连的还是断开的、能否取到特殊点（如奇函数能否取原点）等.

【自查题组】

（11） 设函数g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函数f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，则f（2014）的值为 .

（13） 已知函数f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为

.

（15） 设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【复合函数单调性遵循同增异减的原则判断】

（5） 1 【根据f（x）=-f（-x）与f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），则log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，则有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意对数式中真数大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如图1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）图象如图2所示，若满足题意，则平行于x轴的直线与图象有三个不同的交点，且交点横坐标分别为a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0时，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0时，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根据均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由题意可知6a-7≥a+1恒成立，当a≥0时不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 综上所述，a≤-】

（9） 化简：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，则的值为 .

知识要点：分段函数和含有绝对值的函数

●分段函数的特征

分段函数是一个函数，但在不同范围内对应不同的表达式.其定义域是各段函数的定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函数最值中的最大值，最小值是各段函数最值中的最小值.

●分段函数图象画法

研究分段函数的重要方法是从它的图象入手，画分段函数的图象应先根据各段函数的表达式画出该段的函数图象，然后将各段函数图象通过定义域结合在一起，构成所求的完整图象.

●分段函数的常见问题

①求值问题：解此类问题的关键是判断自变量的值属于分段函数定义的哪一段，再代入相应的表达式计算.关于周期函数的题目，代值所得结果会出现循环（如【自查题组】第12题），这时需要反复确认自变量的值所属分段函数定义域的范围，结合相应解析式来计算结果.

②解析式问题：比如知道f（x）在某一分段区间的函数解析式求对称区间的函数解析式，这种情况通常需要结合函数的奇偶性，先将-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函数的奇偶性探究f（x）与f（-x）的关系，最后写出所求函数表达式.

●含绝对值的函数的处理策略

①换元法：如函数y=x2+2x-1可化为y=x2+2x-1后令t=x换元为二次函数y=t2+2t-1（t≥0）.

②图象变换法：y=f（x）的图象可由先保留y=f（x）原来在x轴上方的图象、把x轴下方部分沿x轴向上翻折后得到;y=f（x）的图象可由先保留y=f（x）在y轴右方的图象、去除y轴左方的图象、然后将y轴右方的图象关于y轴向左翻折后得到.

③化为分段函数：通过分类讨论绝对值内代数式的正负去绝对值，转化为分段函数.

【提醒】

（1） 分段函数是一个函数，不能把它误认为是几个函数.解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有参数的分段函数问题，利用图象法研究时要注意参数对函数图象范围的影响，关注各段图象的交点坐标与参数的联系，注意关键点的计算.

（3） 求有关分段函数性质的问题时，应关注端点取值、每段函数图象是相连的还是断开的、能否取到特殊点（如奇函数能否取原点）等.

【自查题组】

（11） 设函数g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函数f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，则f（2014）的值为 .

（13） 已知函数f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为

.

（15） 设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【复合函数单调性遵循同增异减的原则判断】

（5） 1 【根据f（x）=-f（-x）与f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），则log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，则有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意对数式中真数大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如图1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）图象如图2所示，若满足题意，则平行于x轴的直线与图象有三个不同的交点，且交点横坐标分别为a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0时，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0时，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根据均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由题意可知6a-7≥a+1恒成立，当a≥0时不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 综上所述，a≤-】