勾股定理的经典证法

杨秀琴

勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统，也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，所以反复被人论证.

【“总统”证法的由来】1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时的美国俄亥俄州共和党议员，后来成为第二十任总统的伽菲尔德.他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在热烈地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨. 好奇心驱使下，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形，于是伽菲尔德便问他们在干什么，那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀.”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味.

于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题.他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 下面介绍的是伽菲尔德对勾股定理的证法.

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁. 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明. 5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统. 后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话.

【毕达哥拉斯证法】

毕达哥拉斯是古希腊数学家、哲学家，他的方法为：下图中左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成.右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b的直角三角形拼成的. 这两个正方形的面积相等.

以上给大家介绍了几种勾股定理的经典证法，可以让大家更深入地理解勾股定理的结构. 从不同角度对勾股定理进行了证明，启迪大家对同一个问题要从不同的角度来思考和看待. 学好勾股定理对以后探究很多数学问题和实际问题都有很大的帮助.

（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）