方程发展史

宋子君

古代中国是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出在算术、代数、和几何各方面都十分发达. 现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史.

（一） 属于算术方面的材料

大约在3 000年以前，中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中. 乘除的运算规则在后来的《孙子算经》（公元3世纪）内有了详细的记载. 中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，已利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示个位数、百位数、万位数等，用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显地表现出来. 《孙子算经》用十六字来表明它，“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当”.

和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早. 乘法表中国古代叫“九九”，估计在2 500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以“九九”来代表数学. 现在我们还能看到汉代遗留下来的木简（公元前1世纪）上面写有九九的乘法口诀.

现有的史料指出，中国古代数学书《九章算术》（公元1世纪前后）的分数运算法则是世界上分数运算方面最早的文献，《九章算术》的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样.

古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，《孙子算经》（公元3世纪）和《夏侯阳算经》（公元6、7世纪）在论述分数之前都开始讲度量衡，《夏侯阳算经》卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等. ”这种以十的方幂来表示位率无疑的也是中国最早发现的.

在我国，小数很早就开始使用. 元朝（公元13世纪）时，刘瑾在《律吕成书》中提出了世界上最早的小数表示法，他把小数部分降低一格来表示. 如13.56作13 56. 公元3世纪《孙子算经》的物不知数题发展到宋朝秦九韶（公元1247年）的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在19世纪才进行研究.

宋朝杨辉所著的书中（公元1274年）有一个1-300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说，297=3×11×9，（“11=10+1”叫加一，“9=10-1”叫损一）. 杨辉还用“连身加”这名词来说明201-300以内的质数.

（二） 属于代数方面的材料

从《九章算术》卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了领先的地位.

《九章算术》方程章首先解释正负是确切不移的，正像我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容.

我们古代记载的方程在公元前1世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种. 一元二次方程是借用几何图形而得到证明. 不定方程的出现在两千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年. 具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元7世纪的唐代王孝通《缉古算经》已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答（可惜原解法失传了），不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金.

11世纪的贾宪已发明了和霍纳（1786～1837）方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记13世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献.

在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不提中国天元术的简洁明了. 四元术是天元术发展的必然产物.

级数是古老的东西，两千多年前的《周髀算经》和《九章算术》都谈到算术级数和几何级数. 14世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的一些发现，欧洲在18、19世纪的著作内才有记录. 11世纪时，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法.

历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的.

内插法的计算，中国可上溯到6世纪的刘焯，并且7世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算.

14世纪以前，属于代数方面的许多问题的研究，中国是先进国家之一.

18、19世纪由李锐（1773～1817），汪莱（1768～1813）到李善兰（1811～1882），他们在这一方面的研究也都发表了很多的名著.

11世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根.

11世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》.

11世纪中叶，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现. 后人所称的“杨辉三角”即指此法.

12世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，是东方算术和计算方面的重要著作.

1202年，意大利的斐波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方.

1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”. 书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年.

1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作.

1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和.

1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法.

1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表（中国王恂、郭守敬等）.

14世纪中叶前，中国开始应用珠算盘.

1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”.

人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，早在公元前2000年左右，居住在底格里斯河和幼发拉底河的古巴比伦人已经能解一些一元二次方程. 而在中国，《九章算术》“勾股”章中就有一题：“今有户，高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”之后的丢番图（古代希腊数学家）、欧几里得（古代希腊数学家）、赵爽、张遂、杨辉对一元二次方程的贡献更大.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）