画图

朱小慧

运用勾股定理及其逆定理可以解决生活中的许多问题，如圆柱的侧面展开图问题、航海问题、梯子问题、折叠问题、判断垂直的问题，等等，解决问题的关键是根据题意画出正确的图形.在解决实际问题的过程中，主要体现了数形结合的思想.

一、 旗杆问题

例1 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.

【解析】关键是通过读题，将实际问题转化为数学模型，画出正确的图形，借助勾股定理求出相关数据.本题中的“当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面”为审题时的难点，需要实际经验的积累.

以AB表示旗杆，BC表示地面，AC表示拉开刚好尾部触地的绳子.

由题意知AC-AB=1，BC=5，

设AB=x，则AC=x+1，

在直角三角形ABC中，

x2+52=（x+1）2，

解之得x=12.

∴旗杆的高度为12米.

说明：勾股定理本身公式很容易理解，所以考查该知识点时，问题的难点往往会在题意的理解和图形的识别上. 本题的关键就是根据实际经验画出图形，所以学习数学一定要注重实践经验的获得.

二、 梯子问题

例2 如图1，一架长为10 m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m. 如果梯子的顶端下滑1 m，那么它的底端是否也滑动1 m？

【解析】关键是知道实际问题中的不变量：梯子的长度.本题中的“垂直距离”为审题时的难点，需要对应图形中的线段

例4 （2013·东营市）如图4，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m（容器厚度忽略不计）.

【解析】关键是知道壁虎与蚊子在圆柱展开图中的位置. 壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上. 如图5所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是在EF上找一点P，使PA+PB最短. 过A作EF的对称点A′，连接A′B，则A′B与EF的交点就是所求的点P，过B作BM⊥AA′于点M，在Rt△A′MB中，A′M=1.2，BM=，∴A′B=1.3，∵A′B=AP+PB，∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3 m.

说明：此类最短路径问题着重考查实际问题中正确运用勾股定理. 善于观察题目的信息，画出正确的图形是解题的关键.

四、 吸管摆放问题

例5 如图6，一直圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底部半径为6 cm，高为16 cm，一支24 cm长的吸管任意斜放在杯中，则吸管露出杯口外的长度（不考虑吸管的粗细）至少是_______cm.

【解析】吸管摆放的两个特殊位置：一是露出部分最长，一是露出最短.本题问的是“吸管露出杯口外的长度至少是多少”，也就是露出部分最短是多少.结合生活经验画出符合题意的图形.图7中AB为玻璃杯内层底部直径，CB为杯高，AD为吸管.通过画图将问题转化为求图中CD的长.

在Rt△ABC中，

∵AB=12，CB=16，

又∵AB2+BC2=AC2，

∴AC2=400 ，

∴AC=20.

因此CD=24-20=4（cm）.

说明：吸管摆放问题的解题突破口是化立体为平面. 本题是根据题意要求将所给出的复杂的立体图形，转化成我们熟悉的直角三角形图形，再用勾股定理解题.

（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）