勾股定理在生活中的应用

迟明

勾股定理也称毕达哥拉斯定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美地体现了“数形统一”的数学思想，将初中几何与代数很好地联系起来. 而且在现实世界中有着广泛的应用，可以解决许多日常生活中的应用问题. 下面我们具体来看看勾股定理在生活中是如何应用的.

首先，来看看古代人是怎样应用勾股定理的.

例1 数学家程大位，在所著的《算法统宗》里有一道秋千问题：

平地秋千未起，踏板一尺立地，送行两步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？

他的意思是：当秋千静止时，秋千的踏板离地的距离为1尺，将秋千的踏板往前推两步（这里的每一步为5尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为5尺，当时秋千的绳索是直线状态，现问这个秋千的绳索有多长？

【分析】首先根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解.

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题.

例3 如图3，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm.

【分析】要求最短细线的长，得先确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n（3+1+3+1），同样可以用勾股定理求解.

解：如图4，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB==10，即所用细线最短为10 cm.

若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n（3+1+3+1），即8n，由勾股定理，得=，即所用细线最短为 cm，或2 cm.

说明：对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长.

最后，勾股定理在交通问题中的应用.

例4 在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时，并在离该公路100米处设置了一个监测点A. 在如图5所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段.

（1） 求点B和点C的坐标；

（2） 若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？

【分析】（1） 要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC即得.

（2） 为了求解，可设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶了2x米，于是利用勾股定理可求出两车距离关于x的表达式进而求得.

解：（1） 在Rt△AOB中，因为∠BAO=60°，所以∠ABO=30°，所以OA=AB，而OA=100，所以AB=200，由勾股定理，得OB===100. Rt△AOC中，∠CAO=45°，所以OC=OA=100.

所以B（-100，0），C（100，0）.

（2） 设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶了2x米，且两车的距离为y==，显然，当x=60时，y有最小值是=20米，即两车相距的最近距离为20米.

说明：本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到（x-60）2的最小值是0.

其实，“生活中处处有数学”，只要我们平时留心身边的实际问题，就会有所发现，再借助学过的知识建立数学模型，便可顺利解决.

（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）