勾股定理，数与形的完美结合

潘红

勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系——如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.定理的本身实现了“形”的特点与“数”的特点的结合.

数学家华罗庚认为，“数缺形时少直观，形少数时难入微”. 在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数形结合的思想方法，则可使思路更开阔，方法更简便快捷.

例题 苏科版教材八上第78页图3-1.

【解析】书上利用方格，运用“割”和 “补”两种方法计算以AB为一边的正方形面积，发现：以AB为一边的正方形面积等于以BC为一边的正方形面积与以AC为一边的正方形面积的和.并让学生自己在方格纸上操作设计任何一个直角三角形，进一步发现，以直角三角形的各边为一边的正方形之间都有这样的数量关系. 把图中3个正方形的面积表达成边的平方，即得AC2+BC2=AB2.

从勾股定理的验证过程中，学生体验了从小方格的数量到正方形的面积、从正方形的面积到正方形的边长、从正方形的边长到三角形的形状的转换过程，进行了形到数、数到形的联想，感悟到数与形的内在联系.

如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以进行推广.

变式一：如图1，以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S1，S2，S3之间有何关系？

【解析】等边三角形的面积S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关：

S1=·BC·

BC=BC2，

同理S2=AC2，S3=AB2.

所以S1+S2=（BC2+AC2）=AB2=S3.

即S1+S2=S3.

变式二：如图2，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？

【解析】S1=πBC2，S2=πAC2，S3=πAB2.

所以S1+S2=π（BC2+AC2）=πAB2=S3.

即S1+S2=S3.

通过这两题根据勾股定理得到的结论，我们可以猜测若以直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以直角三角形的两条直角边为边长的正多边形面积之和等于以斜边为边长的正多边形的面积.再次通过勾股定理感受到数与形的完美结合.

变式三：如果将变式二的图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图3，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积.”

【解析】图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3，且由上面的结论S1+S2=S3，∴S阴影=S△ABC （此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）.

例题拓展 如图4，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是（ ）.

A. 13 B. 26

C. 47 D. 94

【解析】由勾股定理可知SM=SA+SB，SN=SC+SD，所以SE=SM+SN=32+52+22+32=47.故应选C.

变式 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图5所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=_______.

【解析】此题不可能分别求出S1，S2，S3、S4，但我们可以分别求出S1+S2，S3+S4. 例如S3+S4可用以下方法求得：

易知Rt△ABC≌Rt△CDE，

∴AB=CD，BC=DE. 又CD2+DE2=CE2，

而CD2=AB2=S3，DE2=S4，CE2=3，

∴S3+S4=3，同理S1+S2=1，

∴S1+S2+S3+S4=1+3=4.

我们从课本上的例题出发，重点探究了一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探究题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，但不难看出这些看似复杂的图形中蕴含着独特的数量关系.勾股定理还有很多种证明方法，同学们可以在课后去挖掘一下里面的奥秘.

（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）