分类讨论思想在高中数学解题中的应用

罗涛

摘  要：分类讨论思想是数学思想方法中重要的方法之一，并且贯穿于整个高中数学，也是每年高考的必考内容，在高考中占有很重要的比例，也是每年高考的热点。本文依次阐述了对分类讨论思想的理解、分类讨论的标准以及分类讨论的原则，并通过重点举例说明分类讨论思想在集合、函数、解不等式、数列、排列组合与概率、圆锥曲线、实际问题中的应用.旨在于让高中学生明确分类讨论思想在哪方面有着相关的应用，对于提高解题效率，增强学习效果，锻炼学生逻辑思维能力有着很重要作用。

关键词：分类讨论思想;分类原则;概率交汇;圆锥曲线

中图分类号：G622                   文献标识码：B               文章编号：1002-7661（2014）22-390-01

我国关于数学思想方法的提法最早出现是在上世纪70 年代，数学思想方法的重要性基本上是由低级到高级过程的逐步加以体现，我国早期关于数学思想方法的研究还是相对较少，绝大部分的研究是从二十一世纪才开始的，虽然这几年涌现了一些新的研究成果，研究的层次也在不断深入，然而，数学思想方法的实践和探索还处在一个崭新的阶段;对分类思想方法的研究相对比较薄弱，还没有形成较为成熟的研究模式或理论体系，分类讨论思想作为数学思想中的一种重要的思想方法，在高考中占有重要的比例。从近几年高考学生的答题情况来看，有关分类讨论的题得分率很低，学生出错往往是因为不知道何时、为何分类，在分类过程中存在重复与遗漏现象，通过研究分析相关文献资料，我发现关于数学分类讨论的思想方法的相关论文大多数都是结合例子的形式出现，因此，本文将在前人研究的基础上，进一步从分类讨论思想在集合、解不等式、函数、数列、排列组合与概率、圆锥曲线、实际问题方面浅谈自己对分类讨论思想的理解和在解题中的应用。由于分类讨论是具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，有关分类讨论的题目具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易，有中，也有难，题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域，因此探讨分类讨论思想在高中数学解题中的应用是具有实际意义的.

一、分类讨论思想概述

1、简述分类讨论思想

在解题时，我们常常遇到这样的一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题可能包含了多种情况，这就必须在条件所给的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这就是分类讨论的思想方法.分类思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，这里集中体现的是由大划小，由整体划为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合-分-合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想。

2、分类讨论的标准

分类也叫划分，是根据对象的相同和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法，数学中的分类，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的差异点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。

一般地，在集合A上讨论某一数学问题时，可根据某个标准P，把A划分为子类，这时，在上实施对问题的讨论等价于在A上实施对问题的讨论，把P就叫做分类讨论的标准。

例如，对方程及来说，判断方程实根的情况其分类讨论的标准是还是还是，这时我们可以简单的说按分类。

又如，讨论函数的单调性，其分类讨论标准是还是，可以理解为按分类。

又如的值，其分类讨论标准可确定为是奇数还是偶数，并可简单的认为按分类。

3、分类讨论的原则

（1）同一性原则

分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据.可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集I，是I的子集并以此分类，且，则称这种分类（）符合同一性原则。

（2）互斥性原则

分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项.即对于研究对象I，是I的子集，且作为分类的标准，若，则称这种分类符合互斥性原则.

（3）相称性原则

分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等.

（4）层次性原则

分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次;多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止.

二、分类讨论思想在高中数学解题中的应用

1、分类讨论思想在集合中的应用

在集合运算中常常会遇到结合元素与集合，集合与集合之间的关系来分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常需要我们进行分类讨论才能求解，在高考中多以选择题的形式出现，因此要注意细心分类，避免出现遗漏，才能得出正确的结果.

例 已知集合M=集合，集合

N=，若，那么的值为（  ）.

A.1    B.-1   C.1   D.0、1或-1

解：由已知条件，则有N=或N两种情况.

N=时，方程无解，此时=0.

当N时，此时，则有，即

N=

若，则;若，则.

综上所述，故选择答案D.

例2 设，其中，如果，求实数的取值范围.

解：，因为.

（1） .

（2）.

即.此时方程化为.

即.所以满足条件.

（3）由韦达定理知

，得 .

综上所述，实数的取值范围为.

2、分类讨论思想在函数中的应用

在函数中涉及的分类讨论思想问题，主要有指数函数、对数函数的需要按照底数和分别进行讨论，二次函数的最值问题、分段函数的求值以及最值问题等有时候都需要用分类讨论的思想才能够求解，下面举例说明.

例 .

（1）求的定义域、值域.

（2）证明在定义域上是减函数.

分析：函数定义域即是个不等式的解集，而这个解集和的单调性都依赖于的单调性，所以顺理成章的要对和这两种情况进行分类讨论.

解：（1）由，得，当时，得，

当时，得.

又因为，故，于是当时.

当时，.

综上所述，当时，函数的定义域、值域都是;

当时， 函数的定义域、值域都是.

（2）当时，任设，则，于是，

从而，即

当时，任设，则，

于是，从而，即

综上所述，无论还是，在其定义域内都是减函数.

例4 已知关于的函数的图像与轴总有交点，求 的取值范围.

解：（1）当，即时，函数为一次函数，图像与轴有一个交点;（2）当时，此时函数为二次函数，，解得，，所以，当且时，函数图像与轴有交点.综上（1）（2）所述，当时，图像与轴总有交点.

3、分类讨论思想在解不等式中的应用

（1）涉及运算要求的分类讨论

我们在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的，如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的值是否为负;解无理不等式时，去掉根号要考虑两边是否都大于等等.

例5 解不等式.

解：原不等式等价于

，或;

解得， 或 .

所以原不等式解集为：.

（2）含参数不等式的分类讨论

在解含参数的不等式时，主要要搞清楚哪个是变量和哪个是参数，然后观察参数，对参数进行分类讨论，最后综合得出结果，下面举例说明.

例6  解关于的不等式.

分析  原不等式是关于的一元二次不等式，可化为

.

由于与无法确定，此不等式无法解下去，因此对进行讨论，讨论的着眼点应该在与的大小上.

解： ⑴ 当时，，不等式的解集为

;

⑵ 当时，，不等式解集为

;

⑶ 当时，，不等式解集为

;

⑷ 当或时，，不等式解集为

.

（3）含绝对值不等式的分类讨论

在解绝对值不等式的时，要充分利用绝对值的含义，关键在于如何去掉绝对值的符号，这就需要进行分类讨论，去掉绝对值时取正还是取负，这也就是分类讨论思想在含绝对值不等式中的分类讨论.

例7 解不等式.

分析：解这个不等式的关键在于确定的符号，由于的不同取值，可能为正，可能为负数，也可能为零，所以这个时候要分类讨论，常运用零点分类讨论.

解：令，得;令，得;

所以在实数集内应以为分类标准，分成三个区间来讨论：

（1）当时，原不等式可化为，解得;

（2）当时，原不等式可化为，解得（舍去）;

（3）当时，原不等式可化为，解得;

综上所述，原不等式的解集合为.

4、分类讨论思想在数列中的应用

我们在解答数列问题时常常会出现一些不确定的因素，主要有三个问题的分类讨论，即对公差d、公比q、项数n的讨论是非常重要而且是显而常见的.但是又是容易被忽视从而导致解答过程不全面，因此我们必须对其对象进行分类讨论，才能得出合理的、正确的、完整的解答，比如等比数列的公比q是否为1;数列的项的个数为偶数还是奇数等等，下面以公差d和公比q举例进行说明.

例8 已知等差数列首项，它的前n项和为，求的值.

分析：由题意知是等差数列，，但是不知道公差d，所以关键就是找出d，并对d进行分类讨论.

解：在等差数列中，设公差为d.

当时，，.

==1

当时，

所以=

综上所述

例9 设等比数列的公比为q，前n项和

（1）求q的取值范围;

（2）设记的前项和为，试比较和的大小.

解：（1）因为是等差数列，由可得

首先对分类，分为和讨论;

当时，，

当时，

上式等价于不等式组：①

或                         ②

解①式得解②得，对要分为奇数和偶数研究，由于可为奇数、可为偶数，得在把上述的分类讨论结果进行整合，整合时要注意等比数列的公比

综上所诉，的取值范围是

（2）由得

于是

下面的讨论中，要结合已知条件和（1）的结果进行分类.

即注意于是

5、分类讨论思想在排列组合与概率中的应用

排列组合是高中学习概率的基础，是高中数学中一段独特而重要的内容，在高考中占有重要的比例，也是每年高考的必考内容，在高考中排列组合主要是以选择题的形式出现，但是多数情况下是把概率和排列组合的知识融合起来在一起考，所以也有一定的难度，以下结合例子说明.

（1）在排列组合中的应用

例10 设集合I={1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子集A和B，

要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法

共有（  ）.

A.50种      B.49种       C.48种      D.47种

解：由题意得这是个计数问题，关键在于对题目条件的思考，（1）是A、B是非空子集;（2）是B中最小的数大于A中最大的数，怎样实现这两个条件呢！最好的方法就是应用分类讨论，从条件（2）中的“B中最小数入手”，显然有四种情形：

①B中最小数为2，此时A仅有1种选法，即A={1}，而B可以有8种选法，即3，4，5三个元素可以在B中，也可以不在B中.

② B中最小数为3，此时A有3种选法，即A={1}，{2}，{1，2}，而B可以有4种选法，即4，5两个元素可以在B中，也可以不在中.

③ B中最小数为4，此时A有7种选法，即A={1，2，3}的非空子集，而B有2种选法，即5可以在B中，也可以不在B中.

④B中最小数为5，此时A有15种选法，即A={1，2，3，4}的非空子集，而B仅有1种选法，即5在B中.

综上所述，不同的选择方法共有种，故答案选B.

（2）在概率与导数交汇题中的应用

例11 已知一组抛物线， 其中为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（    ）.

A.       B.      C.      D. 

解析;这一组抛物线共条，从中任意抽取两条，共有种不同的方法。它们在与直线交点处的切线的斜率若，有两种情形，，从中取出两条，有种取法;若，有三种情形，若

有四种情形，或从中取出两条，有种取法;若，有三种情形，或或从中取出两条，有种取法;若有两种情形，从中取出两条，有种取法，由分类计数原理可知任取两条切线平行的情形共，故所求概率为，因此选择B.

（3）在概率与立体几何交汇题中的应用

例12  由正方体的8个顶点中的2个所确定的所有的直线中任取2条，这2条直线是异面直线的概率是（    ）.

A.          B.         C.         D. 

解析：8个顶点中的2个所确定的直线共种，从中任取2条有条，，而这2条是异面直线可以分三类讨论：（1）每条棱所组成的异面直线有12条，12条棱共条;（2）每条面对角线组成的异面直线有13条，12条面对角线1213条;（3）每条体对角线组成的异面直线有12条，4条体对角线共12×4条。除去重复的共有，所以这2条直线是异面直线的概率，因此，故选择答案B.

（4）在概率与方程交汇题中的应用

例13 设b和c分别是先后投掷骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重复按一个计），求方程有实根的概率.

解析：基本事件总数为，若使方程有实根，则

当当

当当

当

目标事件个数为，因此方程有实根的概率为.

6、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用

在求解圆锥曲线问题时，由于曲线的形状、焦点、位置不同等的特殊性以及为了解题方便，可将问题分为不同种类，然后逐类研究解决，在求解时常需要进行讨论，从而达到解决问题的目的，这就常常需要分类讨论思想来解决，下面结合例题介绍分类讨论思想在解圆锥曲线问题中的应用.

（1）在焦点的位置不确定需要分类讨论

一般情况下，在圆锥曲线中，焦点不同，对应的双曲线也不相同.因此条件中如果没有明确焦点的位置，解题时需要分类讨论求解.

例14 已知双曲线的渐近线方程为，求其离心率.

解：由题意，设曲线方程为

（1）若

所以

（2）若

所以

综上所述，双曲线的离心率为

（2）点的位置不确定需要分类讨论

在圆锥曲线中，因为点的位置不确定，所以要进行分类讨论来求解.还有一种情况是若干个点的顺序也不确定，不同的顺序所得结果不相同，也需要分类讨论来解决.

例 设、是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若、、是一个直角三角形的顶点，且，求的值.

解：由椭圆方程可得所以，由，所以不是直角点.

（1）若P为直角顶点，则  ①

根据椭圆定义知.         ②

由①②得

（2）若为直角点，则，由此可得，所以

则

综上所述，得的值为

（3）抛物线开口方向不确定需要分类讨论

在解决圆锥曲线问题中抛物线问题时，抛物线开口方向不确定时需要进行分类讨论，与此问题类似的问题还有椭圆的长、短轴不确定，双曲线的实轴、虚轴不确定也需要讨论求解.

例16 求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并经过点A（2，一4）的抛物线的标准方程.

解：（1）如果抛物线开口向右，则设抛物线方程为.因为它经过点A（2，一4），所以故所求抛物线方程为.

（2）如果抛物线开口向下，则设抛物线方程为，因为抛物线经过点A（2，一4），所以故所求抛物线方程为

本文先是介绍了分类讨论思想的含义以及分类的标准和原则，进而重点通过以上的例子使我们可以发现分类讨论思想在高中数学解题中的应用是相当多的，它能使许多看似非常复杂的问题简单化，因此在使用分类讨论思想解决数学问题的过程中要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重不漏，每次分类必须保持在同一标准.但要注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，难以用统一的形式或同一种方法进行处理的，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，也即是合-分-合，最终使得整个问题在总体上得到解决.有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深人研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单、明了，但是，由以上的讨论以及例题分析，我们可以看出分类讨论思想不是一个单一的思想，独立的思想，它也往往和数形结合思想、整体思想等等联系在一起，因此，要学好分类讨论思想，就要在日常生活中加强意识，更好的把它与其他思想相结合，做到举一反三、融会贯通的效果。

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