例析数学模型的建构与演绎

蒲大勇

模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增加的核心概念之一.模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.模型思想不仅包括建构基本的数学模型，更重要地是把已有的数学模型进行推广，演绎出更多的数学模型，达到会一个到会一类、以一当十之功效，从而提升学生的数学建模能力，培养学生的创新意识.下面，以人教版《义务教育教科书·数学》八年级（上）134“最短路径问题”为例，结合近两年全国各地中考试题谈谈数学模型的建构与演绎，不妥之处敬请指正.

1数学模型的建构

数学模型的建构是对复杂现象进行分析，用数学语言来描述其中的关系或规律，抽象出恰当的数学关系，并将其实际问题转化成为一个数学问题，同时运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解，对现实问题作出解释的过程.数学模型的建构要经过“具体情境——抽象数学问题——分析数量关系或变化规律——建立模型（方程、不等式、函数等）”等一系列过程.

问题如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？

图1图2解题分析在河边饮马的地点有多处，把这些地点与A、B两点连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程.问题的关键是怎样找出使两条线段的长度之和为最短的那个点.在图2中，过点B作河边l的垂线，垂足为点D，延长BD到点B′.点B′是点B对于河边l的对称点.连接AB′，交河边l于点C，那么点C就是题目中所求的饮马地点.

模型建构：这是中国古代数学问题——牧童饮马问题，其方法是在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，对其中一个点作轴对称变换，把同侧点转化为异侧点，利用“两点之间线段最短”求最值，这可归结为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”的问题的数学模型.

关键点分析本质结构——利用轴对称思想，将同侧的两点转化为异侧的两点.

数学原理——解决线段的和最短的问题，需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题.

思维障碍——模型建构的依据（轴对称的性质）；线段最短的理论根据，即在定直线上另找一点，通过证明说明方法的合理性.

评析上述案例中“牧童饮马问题”，在建构“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”数学模型过程中，按照“具体情境——抽象数学问题——分析数量关系或变化规律——建立模型”的历程，从现实的饮马情境中抽象出“已知直线同侧的两点，求已知直线上一点与这两点的距离和最短”这个数学问题，然后通过观察、逻辑思考等数学活动，结合轴对称有关知识，将“两条线段的和”转化为与之相等的“一条线段”，利用添加辅助线建立了“最短距离”这个数学模型.在这个过程中，学生要突破“怎样才算最短”“模型建构的依据”“为什么最短”等思维障碍，并在充分直观感知、分拆重组和操作的基础上通过观察、归纳、类比产生模型特征的猜想，然后对产生的模型进行合乎逻辑的理性思考与检验，对模型进行修改，最终建立模型.

2数学模型的演绎

数学模型的演绎是个体在内源或外源需求的驱动下产生模型建构的需要和目标体系，并在目标体系的引导下产生从上到下和从下到上的注意加工，产生合理的注意选择，在此基础上搜索经验中的已有数学模型，并在内在目标评价和环境启发中对已有的模型进行反复分拆、重组和变换，直到形成符合目标体系的新的模型，并用适当的方法对新的模型进行数学解析，形成新的知识经验.数学模型的演绎要经过“源驱动——已有数学模型——条件变换——建立新模型”等历程.数学模型的演绎在对已有数学模型进行反复地分拆、交叉、重组和变换过程中，丰富和有条理的图形图式化的数学模型的存储，有助于个体对这些模型进行直观的分拆、交叉、重组和变换，有助于新的数学模型的建构.

例1（2014年资阳）如图3，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为.

解题分析要求△BEQ周长的最小值，由于EB是定值（为1），其实质求EQ+BQ的值为最小值，关键把Q点的位置确定，点Q在AC上有无数点，同时，EQ，BQ不能直接求，可考虑利用对称性作辅助线把EQ，BQ转化为一条线段，从而确定点Q的位置.如图4，正方形ABCD中，点B和点D关于直线AC对称，所以DE的长即为EQ+BQ的最小值，利用勾股定理就可以算出其值为5，进而求得△BEQ周长的最小值为6.

模型演绎分析此题的背景图为正方形，模型原型是“牧童饮马问题”，把正方形的一条对角线（即对称轴AC）作为定直线，动点Q在对角线AC上，两个定点E、B都在对角线AC的同侧，且在轴对称图形（正方形）上，利用其对称性把“两条线段之和”转化为“一条线段”.

例2（2013年苏州）如图5，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（12，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）.

解题分析要使PA+PC为最小值，把PA、PC转化在同一条线段求最小值，如图6，在平面直角坐标系中以OB为对称轴，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，先求出AM，AD，再求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出312.

模型演绎分析此题与坐标平面相结合，呈现方式由“牧童饮马问题”的纯几何方式变为数形结合方式，以Rt△OAB的斜边OB为定直线，动点P在定直线OB上，两个定点A、C在定直线OB的同侧且在直角坐标系的横轴上，在直角坐标系中利用对称性把“两条线段之和”转化为“一条线段”.

例3（2013年鄂州）如图7，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）.endprint

解题分析要使AM+MN+NB的长度和最短，MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，如图8，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小.过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB.

模型演绎分析此题以平行线为背景图，这里的定直线和定点“一变二”，定直线为直线a、b，动点M、N分别在定直线a、b上，两个定点A、B在定直线a、b的两侧，解答的突破口在于以定直线a（或定直线b）为基础，确定一动点N（或动点M），构建“牧童饮马问题”模型，再利用对称性、平行四边形性质把“两条线段之和”转化为“一条线段”.

评析从近年全国各地的中考看，在对“牧童饮马问题”模型的演绎过程中，无论把各种轴对称图形（如正方形、菱形、等腰梯形、线段、角等）作为背景图，还是把直角坐标系或者是平行线或是二次函数的抛物线作为背景图，其本质是通过对已有的“牧童饮马问题”进行分拆、交叉、重组和变换，利用对称性将不在同一直线上的两条线段转化在同一直线上.在这个数学思维活动过程中，学生要对脑海中已有模型并结合现实的背景图进行充分地直观感知、分拆重组和变换操作，在此基础上通过观察、归纳、类比产生模型特征和模型之间关系的猜想；然后，学生对产生的模型进行合乎逻辑的理性思考与检验，对模型进行修改，并建立模型与特征、模型与模型之间的联系，最后，推演出新的数学模型.

3教学启示

3.1数学教育要重视数学模型的建构与演绎活动的开展

恩格斯曾说：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远.”数学模型是数学思维的支撑点，也是数学知识的附着点，也是数学应用的突破点[1].数学模型承载数学信息，对数学模型的结构、特征和关系的观察、归纳、类比和逻辑思考构成了数学学习的核心活动.数学教育的核心价值在于发展学生的模型建构和与之相联系的数学思维水平.根据学生的数学思维发展水平，设计适合学生认知水平的数学模型理解、表征、建构和相互联系等数学操作和数学推理活动，是促进学生数学素养长远发展的有效途径[2].所以，在数学教育中，我们要把数学教育与数学模型的建构和演绎有机的结合起来，在各个环节中注意加强数学模型意识的培养，使学生自觉的应用数学知识、方法去观察、分析、解决实际问题，积极主动的建构自己的认知结构，促使学生由知识型向能力型转变.

3.2数学教学活动要正确处理数学模型建构与演绎的关系

数学模型的建构是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律.数学模型的建构过程是遵循先直观后逻辑的顺序进行的，要用逻辑检验、驾驭数学直觉.数学模型的演绎是对已有数学模型进行反复地分拆、交叉、重组和变换的过程.数学模型的演绎过程，来源于现实中的客观事物的数学抽象和已有模型的进一步数学抽象，来源于对已有模型的分拆、重组和变换.数学模型的建构与演绎不是“母子关系”，也不是“包容关系”，而是一种“基础与拓展”的关系，已有的数学模型是演绎新的数学模型的基础（或原有图式），数学模型的演绎是在新的现实背景下对已有数学模型（或原有图式）的拓展，数学模型的不断演绎过程形成了具有一定层次关系的模型链和许多模型链组成的模型系统.当然，也可以把数学模型的演绎看成新的数学模型的建构过程.因此，数学教学活动中正确处理数学模型建构与演绎的关系，有利于促进初中生数学思维能力的发展.

3.3数学模型的建构与演绎教学活动的注意事项

3.31忌“简单套用”，宜数学直觉与逻辑的有机结合

数学模型的建构与演绎是一种“基础与拓展”的关系，在应用已有数学模型演绎新的数学模型过程，切忌“简单套用”，做到数学直觉与逻辑、数学合情推理与逻辑推理相结合.数学直觉主要体现在对模型的直观想象、分拆、重组和变换过程中，这是平行加工过程，而数学逻辑则是体现在对形成的模型进行逻辑检验和建立模型与特征、模型之间关系的活动过程中[3].因此，在教学过程中，要让学生对模型进行充分地直观感知、分拆重组和变换操作，在此基础上通过观察、归纳、类比产生模型特征和模型之间关系的猜想，然后引导学生对产生的模型进行合乎逻辑的理性思考与检验，对模型进行修改，并建立模型与特征、模型与模型之间的联系.

3.32忌“一步到位”，宜循序渐进

数学模型的建构与演绎活动，具有思维发展的高度价值，其思维发展的高度价值是基于活动中需要数学直觉与逻辑并用，数学合情推理与逻辑推理相融合，是高层次的思维活动[4].高思维参与的数学活动需要学生的深度参与和积极思考，这就要求在教学中对数学模型的建构不能“一步到位”，要循序渐进，所设计的模型建构与演绎活动与学生的认知发展水平相匹配.另一方面，数学模型的建构和演绎需要个体具有比较丰富的基础模型作为支撑，这是建构和演绎新模型的基础.数学模型的学习活动根据学生的认知水平从模型建构走向模型演绎；从对模型的经验与直观走向逻辑建构；从以合情推理为主、逻辑推理为辅走向合情推理与逻辑推理的综合运用[5].

3.33忌“模型化”，宜动态生成

科学的、适合初中生认知发展水平的数学模型建构与演绎活动，对培养初中生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力、提高解题速度是十分有益的.但切忌“模型化”，切忌要求学生记“模型”、背“模型”.这是因为数学模型的建构与演绎，与数学模型的有向多元表征紧密联系.一方面，对已有数学模型的有向多元表征是实现高效合理的模型建构的基础，另一方面，对建构的新模型进行有向多元表征是在新模型建构的过程和结果中产生新知识和新观念的基础[6].

参考文献

[1]朱振荣.数学建模在课标课程教学中的实践[J].福建中学数学，2013（09）：20-23.

[2][3][4][5][6]吴增生.数学模型理解与建构的心理机制及其教育启示[J].基础教育论坛，2010（01）：3-7.endprint