“x=3”究竟是什么？

黄良春

关于“x=3是什么”（等式，方程，方程的解？）的争论，一直在各个阶段的数学教师中以不同的方式持续着.从目前争论的情况看，对“x=3是等式”的结论似乎已达成了共识.但结论“x=3是方程”与“x=3是方程的解”又各有各的道理.“x=3是方程”依据的是“含有未知数的等式，称为方程”这一定义；而对于“x=3是方程的解”的说法，因为就诸如x-3=0这样的方程，“x=3是它们的解”，各种教材、教师示范也都在作类似的表述，没有人给予过任何的怀疑.

不过，无论如何，有一点是肯定的：“方程”与“方程的解”虽有联系，但毕竟是两个不同的概念，x=3不可能既是方程，又是方程的解.之所以作出是方程的判断，那是因为我们把x=3看成了含未知数的等式，而作出是方程的解的判断，是因为x=3让我们知道未知数x的值是3.同样，判断x=3是等式则是因为我们认为字母x与数值3具有相等关系.所以，对同一个问题，不同的视角会产生不同的判断.

笔者认为，要回答“x=3是什么”的问题，不能简单地依据某一定义或某种书面表述或某种习惯行为来进行——而这恰恰是引起争论的诱因，关键是要弄清“=”的作用或意义.

一个概念的内涵往往是丰富的、多重的，但其所要表达的真正涵义一定蕴含于其特定的情境之中，而不在于我们彼此的视角.对“=”的理解同样如此.笔者以为，在目前的实际应用中，“=”主要有以下四个方面的意义表达：

1表示相等的逻辑关系

据数学史料记载，“=”起源于1557年出版的《砺智石》[1]一书.作者——英国数学家、牛津大学教授雷科德在书中有这样一段描述：“为避免多次繁琐重复使用‘等于这个词，在日常工作中，我规定用一对平行线段或几对来表达‘等于，因为没有两件东西能比两根平行线更相等了.”[2]“=”以及同时期出现的其它表示相等关系的符号，它们都是随着代数（方程）的发展而逐步产生的，表达着“相等”（be equal to）的基本含义，意即“=”两边具有相等关系.其基本前提是“=”的两边同时存在.“=”在方程中的应用是相等关系最初、最基本的符号表达.除此之外，数学中其它的相等关系基本上都用“=”表达.

例如，比较5+3与8、14与4×3+2的大小，所得5+3=8、14=4×3+2中的“=”均表示相等关系.

如平方差公式（a2-b2=（a+b）（a-b））等诸多数学公式中的“=”亦表示相（恒）等关系.

对于方程2x-6=0求解过程中的2x=6和x=3，“=”所表示的相等关系的含义并没有因为等式形式的不同而有所改变，它们所具有的“方程”（含有未知数的等式）的基本要件（含有未知数，等式）也没有因形式的简化而有任何的缺失.所以，在方程2x-6=0的解答过程中，x=3并没有改变其方程的属性.

值得注意的是，在相等的关系之下，因为“=”的连接，使得“=”的两边（2x-6，0）与等号共同构成了一个相等关系的整体，缺少了等号两边的任何一方，相等关系就不复存在.

2表示运算的进程

尽管“=”的产生源于等式、方程式表达的简便之需，但随着其应用的广泛，人们对于“=”的认识基本上是从数的运算的学习开始的.比如，①计算：5+3②分解因式：x2-1，其解答表述一般为①5+3=8②由平方差公式，得x2-1=（x+1）（x-1）.在这里，“=”将运算的前后数、式连接起来，表示逻辑运算的进程，“表达着‘……得（得到）……的含义，与推导符号有一定的相似性，指引着相关规则下数学对象运算的递推过程及结果”[3].

再如：（1）计算14÷3

解之，得14÷3=4……2

（2）计算：（x+1）（x-1）

解之，得（x+1）（x-1）=x2-x+x-1=x2-1.

以上两题解答过程中的“=”皆表示运算递推过程及结果，并不表示“=”两边相等的关系.因为“=”的右边是“=”左边运算后的所得，两边数或式并不同时存在.况且，没有意义赋予而独立存在的4……2无法与14÷3建立起相等关系.

3表示一种赋值

在日常数学问题的呈现过程中，“=”除了表示相等的逻辑关系、运算的进程之外，还广泛应用于对未知变量赋值的表示.

如：（1）求整式4y2-（x2+y）+（x2-4y2）的值，其中x=-28，y=18；（2）四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长.两题中五个用“=”连接起来的式子，实则是给未知数赋予了一个确定的值，如果将它们理解成相等的关系，显然没有什么实际意义，且与题意不符.此处的“x=-28”实际意义应理解为“x的值是-28”.

4表示“等于”的替代符号

在人们日常的话语体系中，“等于”一词属常用词汇.商务印书馆2014年1月出版的《现代汉语词典》对“等于”作了如下解释：①某数量跟另一数量相等.如，三加二等于五；②差不多就是，跟……没有区别.如，不识字就等于睁眼瞎子.这里，①所指为数学中的相等关系，其数学符号表示“3+2=5”（三加二的值与五相等）亦为大家所熟悉.此处，以“=”代替“等于”在数学中已极为普遍.②为人们一般的语言表达，所反映出的并非数学问题，但在表述时亦常以“=”代替“等于”.类似“不识字=睁眼瞎子”、“教师成长=经验+反思”、“全面发展=全科发展”，等等，这些只是根据数学表达式简洁、形象、直观的特点，用数学的形式来表达所反映的内容，反映出事物具有某种相同或相关的属性.对此，基本上不会有人把它们理解成数学中的等式或数量关系.

综上，要回答x=3是什么，必须要了解它所在的现实情境.脱离于具体的情境进行判断，无论结果是等式，是方程，是方程的解，还是其它，都是片面的，不科学的.

在此，笔者就x=3与方程2x-6=0的关系提出自己的观点.

如上所述，解方程时，对2x-6=0进行同解变形，最后得出的x=3仍为方程.因为，同解变形没有改变方程两边“相等”的关系，亦即“=”在解方程的过程中“相等”关系的含义没有改变.

但各类教材及相关资料在解答方程之后，都会出现“x=3是方程2x-6=0的解”的表述，由此，引起了“x=3是方程还是方程的解”（“方程的解”的表述，必须就某一特定方程而言才有意义，仅表述为“x=3是方程的解”没有意义）的争论.

首先可以肯定的是，此时（x=3是方程2x-6=0的解）的x=3中的“=”显然不表示计算的进程与结果，也不表示给字母赋值，因为字母x的值不是赋予的，而是通过运算得到的.当然也不能表示为相等关系，即x=3不能视为方程.因为根据“使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解”的概念，方程2x-6=0的解是3，而不是表示相等关系的表达式x=3.因此，这里的x=3应理解为“x等于3”或“x的值是3”等语句的数学化形式.也只有如此，如方程x2=25的解表示成x=±5或x1=5、x2=-5才有意义.

参考文献

[1][2][3]徐文龙.语言视角下的等号教学思考[J].教育教学论坛，2012（3）82-83.endprint