巧用数形结合破解数学难题

周伟建

摘  要：纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，往往事半功倍，因此，高中数学教学中必须加强数形结合，提高学生数学素质与解题能力。

关键词：巧用数形;破解数学

中图分类号：G632                   文献标识码：B               文章编号：1002-7661（2014）22-191-01

高中数学四大数学思想：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归。其中数形结合是贯穿于数学发展的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感;另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”和“形”的信息转换、相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。数形结合是连接“数”和“形”的“桥”，它不仅是一种重要的解题方法，更是一种重要的数学思想。

一、研究的目的和意义

数是形的抽象概括，形是数的直观表现，华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法，数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的“桥”，在高中数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心，尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性，同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解。

二、数形结合在提高学生解题能力中的作用

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”，其中数形结合的重点是研究“以形助数”，根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到顺利解决，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围，

三、数形结合的几种类型

1、几何图形与数量关系相结合

几何中的计算与证明问题，常常根据几何图形的特点挖掘蕴涵的数量关系;一些数量关系的比较问题，常常构造出由数量关系反映出的几何图形，根据图形的直观性寻求解决。

2、函数图象与数量关系相结合

数轴使实数与数轴上的点建立起一一对应的关系，平面直角坐标系使有序实数对与平面上的点建立起一一对应的关系，为数形结合创造了充分的条件函数图象在直角坐标系的位置及变化趋势，为研究函数的性质提供了直观、形象的依据，反过来，依据函数的性质又能推断函数图象在直角坐标系屮的位置及变化情况，数形结合成为研究解决函数问题的重要思想方法。

数学学习贯穿着两条主线，即数学知识和数学思想方法，通性通法蕴涵着丰富的数学思想和方法，更贴近学生的认知水平，符合常人的思维习惯，同样也有利于培养学生的数学能力。在初中数学中，常用的数学思想有函数和方程思想、数形结合思想分类讨论论思想、化归转化思想、整体处理思想等，上面教学片断的探究题，教者通过引导学生从数和形的角度来解决问题，很好地发展了学生的方程思想和数形结合思想，同时也渗透了数学分类的思想方法。在平时的教学中，我们应在解决问题的过程中，对这些数学思想加以揭示、运用和提炼，以提高学生的思维水平和解题能力。

四、数学教学中渗透数形结合思想

数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一，新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想，教材中这一思想方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。

新课标的教学内容早已全面实施，按新课标的教学大纲要求与知识点传授的层次性来看，数形结合法教学主要经历三个阶段：第一阶段是数形对应，它是数形结合基础，主要是通过平时概念的教学逐步渗透，让学生通过学习、训练、体会、逐步领悟和握，一方面，实数与数轴上的点的对应，平面上点与有序实数对间的对应，函数与图象的对应，曲线与方程的对应等，以及以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等等都为数形结合创造了条件，提供了理论支撑，另一方面，高中数学概念具有较强的抽象性、概括性，学生在理解时有较大的难度，可以借助形的几何直观性来达到帮助学生理解的目的，例如，将函数与图象结合起来，用几何方法表述函数关系来帮助学生理解函数的抽象。

第二阶段是数形转化，它体现了数与形关系在解决问题过程中，如何作为一种方法而得到运用，数学问题是开展数学思维的前提，解决问题的过程，本质上就是一个思维训练的过程，

第三阶段是数形分工，这是把应用数形结合思想作为解决问题中的一种策略，例如，高三复习中重点开设数形结合思想方法专题，以达到系统巩固的目的。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，往往事半功倍，因此，高中数学教学中必须加强数形结合，提高学生数学素质与解题能力。