中国剩余定理（四）

刘玮

皓天：“你跟我讲讲什么是同余式。”鹏飞和皓天开始讨论同余式。

就好比4和7被3除余数都是1，4和7对3是同余的。如果两个数，比如a和b被m除的余数相同，我们就说a和b对模m同余，记作：

a ≡ b（modm）

通常b

对于孙子定理，“物不知数”：用3除余2，用5除余3，用7除余2。把这个未知数用同余式可写成：

N ≡ 2（mod3）

N ≡ 3（mod5）

N ≡ 2（mod7）

先设法将余数化为1，即得：

N1 ≡ 1（mod3）

N2≡ 1（mod5）

N3 ≡ 1（mod7）

由上式可知，需要找一个数用3除余1且又是5和7的公倍数：

5×7n1 ≡ 1（mod3）

即：

35n1 ≡ 1（mod3）

这里n1 = 2，则N1 = 70。其中的35这个数是计算过程中要照顾另两个条件而衍生出来的数，叫衍数，之后衍数还要被乘以题中的余数2而放大成70。放大衍数的目的是为了找到除3余1的数，所以这个方法被秦九韶称作“大衍求一术”。

秦九韶创造的“大衍求一术”，开创了系统的一般一次同余式组解法的先河。在中世纪，它不仅代表了中国数学的最高成就，即使在当时的世界领域中也是处于最先进的水平，比西方同类解法早500多年。

“物不知数”题流传到国外，意大利数学家斐波那契在其《算盘书》中就引用了该题。到18世纪初，该题又辗转到欧洲，“数学王子”高斯对一次同余式组进行研究，在其著作《算术研究》中给出了它的一般性解法，并将这种解法命名为“高斯定理”。而高斯解法符合“大衍求一术”，之后欧洲人便将“高斯定理”改为“中国剩余定理”。秦九韶的“大衍求一术”在数学史上有着不可动摇的领先地位，甚至在当代的电子计算机设计中也用到了。

“中国人也这么厉害啊！我为此感到无比自豪。”皓天由衷地佩服秦九韶，“说了半天，我早饿了，咱们先吃点东西吧。”

“这旁边就有美食小吃，” 鹏飞向店家招了招手，“请把你们的特色小吃每样都来一份！”

他俩一边聊着“中国剩余定理”，一边欣赏着周围美景。清秀的村庄三面环山一面临水，湖光山色，景色宜人。湖水清澈见底，湖中还有几对鸭子在嬉戏……

“看！那边来了位村姑，她端了那么大的一个重筐。”

村姑是来湖边洗碗的，皓天走过去和她搭讪道：“怎么会要洗这么多碗？你家里来了很多客人吗？”

村姑说：“是啊，两个客人共用一碗饭，三个客人共用一碗汤，五个人共食一碗肉，不知道客人有多少。”

鹏飞：“那你告诉我你要洗多少碗。”

“嘿嘿！我也不清楚呢。” 村姑一边洗碗一边说，“刚才我两个两个地数不多不少正好点完，三个三个地数就多出两个，五个五个地数也多出两个。我家几多客人几多碗？”

“咳！总共不足100个碗还来考我们！”鹏飞来了兴致，“用不定方程！”

皓天也喊道：“‘大衍求一术！”

他们各自快速动手算了起来。鹏飞设x个客人，用了y只碗，则有：

x/2 + x/3 + x/5 = y

化简得：

31x = 30y

皓天将表中数据换上新数后往下算（请在下表里填上），然后向那村姑说道：“你家来了60个客人，用了62个碗，对吗？”

村姑：“你真聪明！告诉我你是怎么算出来的？”

皓天学着程大位的样子喃喃念道：“两个吃货一壶茶，三山给水十只鸭；五颜六色山海味，吃上一月再回家。”

“妙！妙！”村姑连连称赞，“你答对了。”

鹏飞也乐不思蜀了：“好！吃上一月再回家！”