一种新型混沌系统及其DSP实现

孔华生+王光义

摘 要：混沌系统被广泛应用于军事保密通信和信息安全领域，该文在Liu混沌系统基础上设计了一个新型混沌系统，并重点对新型混沌系统的基本动力学特性进行了分析，包括系统的分岔图、相图、Lyapunov指数图分析。在保留了Liu混沌系统的优点基础上，增加了参数个数，扩大了参数范围，最后利用DSP实现了该新型混沌系统，并对Liu混沌系统生成的数字序列和改进后的序列进行NIST测试，对比测试结果表明改进后的数字序列性能更优。

关键词：动力学分析;李雅普诺夫指数;数字信号处理;数字序列性能测试

中图分类号：TN401     文献标识码：A            文章编号：2095-1302（2014）12-00-03

0  引  言

混沌和混沌系统是近代非线性科学领域最重要的发现之一。混沌由于其对初值敏感性、类随机性、长期不可预测性等特性被大量应用于军事保密通信和信息安全加密领域，与传统的AES加密和DES加密方法比较，混沌加密具有更高的保密性和安全性。新型混沌系统的研究和应用成为当今学术界的研究热点，Liu混沌系统[1，2]是一个含有平方项的混沌系统，由于其参数个数少及参数范围小影响了混沌序列的随机性和安全性。虽然迄今学术界大量的文献研究新型混沌的构造[3，4]，或者提出改进的混沌系统，但大多数只是研究混沌系统的基本动力学特性，很少文献资料基于应用背景研究如何添加混沌系统的参数个数和扩展混沌系统的参数范围等。本文基于如何添加混沌参数个数并扩展参数范围在Liu混沌系统的基础上进行改进获得一组三维混沌方程，新型混沌方程引入了一个平方项并且添加了三个混沌参数。分析了该系统的基本动力学特性，包括对称性、耗散性和稳定性，并对系统进行了Matlab仿真，给出了仿真结果。 最后利用DSP处理器实现了该混沌系统，并将改进系统的数字序列和Liu混沌系统的数字序列进行了NIST测试，对比测试结果显示改进后的序列更适合应用于加密系统中。

1  新型混沌系统的提出

Liu混沌系统[1]方程如式（1）所示：

（1）

式中（x，y，z）∈R3，当b=25，k=1，c=2.5，h=4，a∈（3.5， 12.5）之间变化，初值取（0.1，0.1，0.1）时，系统处于混沌状态。

为了增加参数，扩展参数范围，获得更好的混沌伪伪随机序列，在Liu系统的基础上做了改进，添加了一个平方项和三个混沌参数，改进后的方程如下：

（2）

式中（x，y，z）∈R3，当a=10，b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值为（0.1，0.1，0.1）时，系统有混沌解，所以系统处于混沌状态。混沌吸引子图及其在相平面的投影如图1～图4所示。

图1  混沌吸引子图                   图2  x-y平面吸引子图

图3  y-z平面吸引子图                   图4  x-z平面吸引子图

2  Lyapunov指数和分岔图

系统参数对混沌系统状态有非常大的影响，系统平衡点的稳定性随着系统参数的改变而变化。Lyapunov指数是衡量系统动力学特性[5-6]的重要指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道见收敛或发散的平均指数率。分岔图能够直观反应系统参数和系统变量的变化规律，因此系统的动力学特性可以通过Lyapunov指数和分插图分析。当固定b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值为（0.1，0.1，0.1）时，Lyapunov指数随系统参数a变化的指数图谱和变量x随参数a变化的分岔图分别如图5、图6所示。

对于三维自治系统，当有一个Lyapunov指数为零，其他为负时系统是周期的;当两个Lyapunov指数为零，其他为负时系统是拟周期的;当有一个Lyapunov指数为正时系统是混沌状态的;当有两个Lyapunov指数为正时系统是超混沌状态的。

图5  参数a李雅普诺夫指数图

由图5可发现，在a∈（8， 10）时，系统的Lyapunov指数有一个为负，一个有时为正有时为零，一个有时为负有时为零，所以该系统在区间（8，10）之间不断的在混沌、周期和拟周期之间切换;在a∈（10， 21）时，系统的Lyapunov指数有两个为负，一个为正，并且存在两个周期窗口。由观察发现Lyapunov指数图和分岔图的变化相对应，所以该系统在区间（10， 21）之间是出于混沌状态的。

图6  x随a变化的分插图

固定参数a=11，c=8，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取为（0.1，0.1，0.1）时，Lyapunov指数随系统参数b变化的指数图谱如图7所示，变量x随参数b变化的分岔图如图8所示，系统参数b在区间（8.4，22.4）变化时，系统不断在混沌状态和拟周期状态之间变化，当b>22.4时，系统是处于混沌状态的。固定参数a=11，b=25，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取为（0.1，0.1，0.1）时，Lyapunov指数随系统参数c变化的指数图谱如图9所示，变量x随参数c变化的分岔图如图10所示，图5、图7和图9中另一条指数图一直是负数，未在图中显示，系统参数c在区间（0，2.3）和（9，11）区间变化时，系统在混沌状态和拟周期状态间变化，当系统参数c∈（2.3，9）时，系统处于混沌状态。

图7  参数b李雅普诺夫指数图

图8  x随b变化的分插图

图9  参数c李雅普诺夫指数图

2  混沌系统数字化实现

要使连续混沌系统能够在数字信号处理器中实现，首先要对连续混沌系统进行离散化。本文采用差商逼近法对连续混沌系统离散化处理，差商逼近法是采用适当的差商逼近导数使连续系统离散化的方法[3]，由定义公式：

（3）

可得：

（4）

式中τ为离散时间间隔，所以将改进后的三维连续混沌方程（2）离散化后表示为：

（5）

图10  x随c变化的分插图

当离散系统中的τ足够小时，连续混沌系统和其离散后的混沌系统序列具有相同的动力学特性。在本论文中取τ=0.008，将式（5）作为循环体进行迭代求解生成混沌实值序列，至此便完成了连续混沌系统的离散化处理。

由于DSP数字信号处理器具有处理速度快、可编程性强，抗干扰性高和易于实现浮点运算等优点，所以本文选用DSP数字信号处理器对混沌系统离散化处理，抽取混沌实值序列每个浮点型数据小数点后第五位，并将其与0x01相与，得到连续混沌系统离散后的二值序列，序列波形图输入示波器得到输出入图11所示。将DSP生成的二值序列经过数模转换得到混沌吸引子相图分别如图12～图14所示。由图可知，DSP生成的混沌信号在相同的系统参数和初值下和Matlab仿真结果相吻合，实现了混沌系统的数字化。

图11  混沌数字序列

图12  x-y平面混沌吸引子

图13  y-z平面混沌吸引子

图14  x-z平面混沌吸引子

4  混沌数字序列性能分析

随机序列性能测试程序包（Statistical Test Suite）是由美国国家技术与标准局开发推出的对随机序列性能测试的软件包，是目前所有随机序列测试工具中最权威的一种。该工具从不同角度检验被测序列在统计特性上相对于理想随机序列的偏离程度。本文采用STS 2.1.1测试软件包对改进系统的数字序列和Liu混沌系统的数字序列进行测试，测试结果如表1所示。

NIST伪随机序列发生器的随机性测试标准共包含15项核心测试，序列测试通过率（PROPORTION）是反应序列测试通过的百分比，是衡量序列性能的重要指标，对比测试结果可知改进后的混沌系统的序列每一项测试通过率都高于Liu混沌系统的序列，表明改进后的序列通过序列测试的百分比更高，性能更优。序列的均匀分布率测试（P-VALUE）中频率测试是测试序列中0和1出现的概率是否和随机序列0和1出现的概率相等，若测试是随机的则0和1是等概率出现的，对比测试结果改进后的序列的0和1出现的概率更随机，分块频率测试（Block Frequency）是测试M-bits块中1出现的概率是否近似等于1/2，由测试结果发现改进后的序列测试值更接近1/2。综上所述改进后的序列随机性[7]更优，更适合应用于加密领域。

5  结  语

本文在Liu系统的基础上提出了一个新型混沌系统方程，利用Matlab分析了系统参数对混沌系统状态的影响，得出了在特定系统参数范围内系统是处于混沌状态的，并且分析了系统的分插图和Lyapunov指数图。然后用DSP利用实现了混沌系统的数字化，其与连续混沌的Matlab仿真结果一致。最后分析了混沌系统产生的数字序列对其进行NIST测试，测试结果表明序列性能良好，改进后的混沌序列更适合应用于混沌加密系统。

参考文献

[1] Liu W B ，Chen G R. A New Chaotic System and It s Generation [J]. Int. of Bifurcation and Chaos，2003，13（1）： 261-267.

[2] Xu Zheng guang， Tian Qing， Tian Li. A class of topologically conjugated chaotic maps of tent map to generate independently and uniformly distributed chaotic key stream[J]. Acta Physica Sinica， 2013， 62（12）： 12 050.

[3] Thomas Curtright， Andrzej Veitia. Logistic map potentials[J].Physics Letters A，2011，375（3）：276-282

[4]Luca A，Ilyas A，Vlad A. Genera-ting random binary sequences using tent map[C].10th International Symposium on Signals， Circuits and Systems， 2011， 1（1）： 255-257.

[5]徐进婕，王光义，王大朋.改进Logistic映射的动力学特性[J].杭州电子科技大学学报，2014，34（4）：10-13.

[6]王光义，袁方.级联混沌及其动力学特性分析[J].物理学报，2013，62（2）：1-10

[7] Donato Cafagna， Giuseppe Grassi. Bifurcation and Chaos in the Fractional Chua and Chen Systems with Very Low Order[C]. Salento：IEEE CONFERENCE PUBLICATIONS，2009：2 846-2 849.

[8]王莹，王光义.混沌PN序列的DSP实现及其性能分析[J]. 杭州电子科技大学学报，2012，32（1）：1-5.

A new chaotic system and its DSP realization

KONG Hua-sheng， WANG Guang-yi

（School of Electronic Information， Hangzhou Dianzi University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： Chaotic system is widely used in fields of military secure communication and information security. A new chaotic system based on Liu chaotic system is designed and the basic dynamics characteristics of this system are analyzed， including bifurcation diagram， phase diagram and Lyapunov exponents diagram. On the basis of retaining the advantages of Liu chaotic system， the new system increases the number of parameters and extends the range of parameters. Finally the system was realized by using DSP. The sequences generated by the new system and Liu chaotic system were tested by NIST. The result shows that the performances of the improved digital sequence are better.

Keywords： dynamics analysis; Lyapunov exponent; DSP; NIST test

[8]王莹，王光义.混沌PN序列的DSP实现及其性能分析[J]. 杭州电子科技大学学报，2012，32（1）：1-5.

A new chaotic system and its DSP realization

KONG Hua-sheng， WANG Guang-yi

（School of Electronic Information， Hangzhou Dianzi University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： Chaotic system is widely used in fields of military secure communication and information security. A new chaotic system based on Liu chaotic system is designed and the basic dynamics characteristics of this system are analyzed， including bifurcation diagram， phase diagram and Lyapunov exponents diagram. On the basis of retaining the advantages of Liu chaotic system， the new system increases the number of parameters and extends the range of parameters. Finally the system was realized by using DSP. The sequences generated by the new system and Liu chaotic system were tested by NIST. The result shows that the performances of the improved digital sequence are better.

Keywords： dynamics analysis; Lyapunov exponent; DSP; NIST test

[8]王莹，王光义.混沌PN序列的DSP实现及其性能分析[J]. 杭州电子科技大学学报，2012，32（1）：1-5.

A new chaotic system and its DSP realization

KONG Hua-sheng， WANG Guang-yi

（School of Electronic Information， Hangzhou Dianzi University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： Chaotic system is widely used in fields of military secure communication and information security. A new chaotic system based on Liu chaotic system is designed and the basic dynamics characteristics of this system are analyzed， including bifurcation diagram， phase diagram and Lyapunov exponents diagram. On the basis of retaining the advantages of Liu chaotic system， the new system increases the number of parameters and extends the range of parameters. Finally the system was realized by using DSP. The sequences generated by the new system and Liu chaotic system were tested by NIST. The result shows that the performances of the improved digital sequence are better.

Keywords： dynamics analysis; Lyapunov exponent; DSP; NIST test