碳纳米管的场发射特性的数值模拟

任海振 葛向红 杨林峰

(中原工学院 物理系，河南 郑州 450007)

0 引言

自从1991年Iijima等在英国《自然》杂志发表了关于多壁碳纳米管的研究之后，碳纳米就吸引了世界上很多研究小组的兴趣，研究内容涵盖了从基础理论到科技应用前景的广大领域[1]。由于碳纳米管具有低维度使得他们拥有很多独特的物理属性，这使得他们具有广泛的应用前景。在实验室中，人们已经使用碳纳米管制作出很多的原型纳米器件。因此，理解这些新奇物理属性以及他们对于纳米器件的影响是必要的。

人们在实验中已经证实了碳纳米管非常适合于场发射方面的应用，这和它们的一些独特的物理性质有关，如小尺度，高纵横比，高温稳定性，良好的导电性以及结构强度等。人们已经利用碳纳米管优越的场发射属性做出了一些原型器件，这些器件包括X射线管[2]，扫描X射线源[3]，平面显示器等[4-6]。使用碳纳米管的器件之所以具有优秀的发射特性，是由于碳纳米管具有很低的功函数和在其表面形成的高局域电场，通过隧道效应电子可以比较容易穿过势垒而逸出表面，形成场发射电子。

目前，人们已经可以在衬底上以指定的高度、半径、间距等生长碳纳米管。但是人们还没有完全理解电子发射的精确过程。关于电子发射过程更深一步理解的研究主要集中在实验和数值模拟上[7,8]。长期以来人们认为当临近的发射体的间距大于他们高度的两倍时，场屏蔽效应是可以忽略不计的[9]。本文中我们通过对一个理想的无限长一维碳纳米管阵列进行了二维的数值模拟，并探讨了碳纳米管的几何结构对于其场发射性能的影响。

1 模型与方法

在本文中我们通过使用有限元方法(FEM)对拉普拉斯方程求解来实现对碳纳米管的二维数值模拟，使用这种方法使得我们可以得到碳纳米管表面任意一点的电势和电场。图1给出了一维碳纳米管阵列的示意图。在我们的计算模型中，碳纳米管被处理为良导体。排成一列的碳纳米管具有统一的高度h和半径r，其尖端被处理成球形，碳纳米管被放置在接地的阴极上，阳极和阴极的距离为D。碳纳米管之间的距离是均匀的，间距用d表示。

在计算中我们取碳纳米管的高度为1μm，半径为2nm；这些参数和前人的工作相同[10]，以便于进行比较。理论分析表明电场在碳纳米管的尖端附近比较集中，这种电场增强效应和碳纳米管的尖端几何结构有关，通常用场增强因子β来定量表示。碳纳米管的半径越小，场增强因子越大；反之亦然。

2 计算结果与分析

我们使用了一个简单的二维模型计算了一个包含3个碳纳米管的阵列，碳纳米管之间的距离为0.5μm，均匀分布在一条直线上。图2中给出了计算得到相应的的电场分布。图中的实线表示等势线，背景中的表面图代表电场强度的大小。阳极距离碳纳米管发射极较远，因此它对电场分布的影响较小，并且可以认为对各个碳纳米管发射极效果相同。我们的计算结果显示，居于中心的碳纳米管附近的电场要比外边两个碳纳米管的电场弱，这点可以用静电场的屏蔽效应解释。在图2中我们可以清楚的看到电场的屏蔽效应是很明显的。Nilsson等人通过二维数值模拟研究了碳纳米管的点场屏蔽效应，得出的结论是当碳纳米管之间的距离是其高度的两倍时，总的电场屏蔽效应最小，碳纳米管的场发射表现最优[10]。Smith等人做的三维模拟结果认为二维模拟低估了电场屏蔽效应，最优的间距应该是高度的3倍[11]。

图1 一维碳纳米管阵列的示意图，碳纳米管的高度为h，半径为r，碳纳米管放置在接地的阴极上，阳极和阴极的距离为D

图2 计算得到的电场分布，实线表示电场等势线，表面图则表示电场强度的大小

为了得到电场屏蔽效应和碳纳米管间距的关系，我们使用有限元方法结合周期性边界条件对一维碳纳米管阵列进行了数值模拟。在我们的计算中，碳纳米管间距的变化范围为0.1μm到6μm，相应于d/h取值范围为0.1到6，碳纳米管高度固定为1μm。我们把计算得到的碳纳米管阵列的电场分布中碳纳米管尖端表面正上方一点的电场记为局域电场强度EL。我们还计算了在相同条件下，可以得到单个碳纳米管尖端表面正上方的电场强度EI。电场屏蔽的百分比就定义为η=（EI-EL）/EI。在图3中我们画出了屏蔽百分比随d/h的变化关系。从图中可以看到屏蔽效应随d/h的增加而减小。在d/h等于2时，电场屏蔽百分比为4.3%。当d/h增加到3时，电场屏蔽百分比减小到1.1%，这意味着阵列中的碳纳米管的场发射效率已达到了其最优表现的99%。当d/h进一步增加到4的时候，屏蔽百分比减小到0.2%。因此，当碳纳米管阵列的间距大于碳纳米管高度的3倍时，我们认为电场屏蔽效应可以忽略不计。

图3 电场屏蔽百分比随d/h的变化关系

为了得到最大的场发射电流密度，我们必须考虑电场屏蔽效应的影响。减小碳纳米管的间距从而可以增加单位面积上的发射极的个数，这是增大场发射电流密度的简单有效方法。但是减小碳纳米管的间距会引起屏蔽效应的增强，从而降低场发射电流密度。因此，需要找到一个最优的间距，使得场发射电流密度最大。Fowler和Nordheim首先推导出了场致电子发射的定量方程：

对于一维无限长碳纳米管，我们计算了场发射电流密度随d/h的变化关系，计算结果如图4所示。从图中我们可以看到，随着碳纳米管间距的变大电流密度急速增加。碳纳米管间距变大也就是其排列由紧密变为稀疏。当碳纳米管的间距接近其高度的三倍时，场发射电流密度达到最大值。间距超过高度的三倍时，电流密度开始缓慢下降。这种变化趋势可以作如下解释，当碳纳米管间距较大时，碳纳米管排列稀疏，单位长度上的发射极比较少，因而电流密度不大；而当碳纳米管间距比较小时，碳纳米管排列紧密，单位长度上发射极多，但是发射极受到临近碳纳米管的电场屏蔽效应的影响大，因而场发射电流密度也小。根据上面对屏蔽百分比的计算我们知道，在碳纳米管间距大于高度的三倍时，可以认为屏蔽效应忽略不计。因此，我们可以看到在图4中，当d/h＞3时，场发射电流密度随d/h近似线性减小。因此，在一个一维的碳纳米管阵列构成的场发射器件中，最有效的排列就是碳纳米管的间距为其高度的3倍，此时场发射电流密度最大，临近的碳纳米管的屏蔽效应产生的电场强度降低仅为1.1%。

图4 计算得到的碳纳米管的场发射电流密度随d/h的变化关系

3 结论

我们对一维碳纳米管阵列进行了数值模拟，并研究了不同间距下电场屏蔽的影响。我们发现当碳纳米管之间的距离大于其高度的3倍时，电场屏蔽效应就可以忽略不计。我们的计算结果表明当碳纳米管的间距等于其高度的3倍时，碳纳米管阵列的场发射电流密度最大，器件的表现最优。

［1］Sumio I 1991 Nature35456[J].

［2］Sugie H,Tanemura M,Filip V,Iwat K,Takahashi K and Okuyama F 2001 Appl.Phys.Lett.782578[J].

［3］Zhang J,Yang G,Cheng Y,Gao B,Qiu Q,Lee Y Z,Lu J P and Zhou O 2005 Appl.Phys.Lett.86184104[J].

［4］Semet V,Binh V,Vincent P,Guillot D,Teo K,Chhowalla M,Amaratunga G,Milne W,Legagneux P,andPribat D 2002 Appl.Phys.Lett.81343[J].

［5］Minoux E,Groening O,Teo K,Dalal S,Gangloff L,Schnell J,Hudanski L,Bu I,Vincent P,Legagneux P,Amaratunga G,and Milne W 2005 Nano Lett.52135[J].

［6］CrociM,ArfaouiI,StöckliT,Chatelain A and Bonard J-M 2004 Microelectron.J.35329[J].

［7］de Heer W A,Chatelain A and Ugarte D 1995 Science2701179[J].

［8］Smith R,Cox D and Silva S 2005 Appl.Phys.Lett.87103112[J].

［9］Bonard J-M,Salvetat J-P,Stöckli T,Forró L and Ch^atelain A 1999 Appl.Phys.A:Mater.Sci.Process.69245[J].

［10］Nilsson L,Groening O,Emmenegger C,Kuettel O,Schaller E,Schlapbach L,Kind H,Bonard J-M and KernK 2000 Appl.Phys.Lett.762071[J].

［11］Smith R and Siliva S 2009 Appl.Phys.Lett.94133104[J].