EMD样本熵在滚动轴承信号复杂性度量中的应用

王 季 ， 楼军伟 ，2， 李贵子， 朱 琳

（1.甘肃省机械产品检测与技术评价重点实验室，甘肃 兰州 730030；2.兰州理工大学机电工程学院，甘肃 兰州 730050）

0 引 言

轴承振动信号具有非线性、非平稳、不同复杂性等特征，直接进行傅里叶变换难以揭示频率分量随时间的变化情况；短时傅里叶变换、小波变换等能够在时间和频率上建立信号的分布，可以有效提取特征频率，然而它们是先验性的，自适应能力差。经验模态分解（empirical mode decomposition，EMD）无须预先设定任何基函数，是一种后验的、自适应的方法，按时间序列将信号多尺度分解为多个内禀模态函数（intrinsic mode function，IMF），每个 IMF 包含了原信号不同尺度上时间序列的局部特征[1-4]。度量信号复杂性的方法有Lempel-Zi复杂度、近似熵、样本熵和频带熵等。Yan 等[5]将近似熵（appropriate entropy，ApEn）用于轴承状态监测并取得较好的效果。Pincus[6]提出样本熵（sanple entropy，SampEn），是近似熵的改进算法，其优越性在于可以较好地依赖时间序列长度，不存在比较自身数据段的问题；参数改变时结果一致性较好；能更精确度量非线性信号在时间序列上的复杂性等。这个方法广泛应用于信号处理[5-9]。

本文采用EMD结合样本熵的方法，分析它们的算法和样本熵合适数据长度的选取。对不同故障程度的滚动轴承信号应用样本熵和EMD样本熵的效果进行比较，发现后者度量信号复杂性效果较好，其变化趋势与信号随故障变化的趋势一致。该方法可用于滚动轴承运行状态监测和预判。

1 EMD算法流程

由N E Huang等[10]提出的经验模态分解基于如下假设：任何复杂信号都是由一些不同的、相互独立的内禀模态函数组成；信号不论是线性、非线性、非平稳的,都具有相同数量的极值点和过零点，或最多相差一个；上下包络线关于时间轴局部对称，任何两个模态之间相互独立。按此假设对输入的信号x（t）进行分解，也称为“筛选过程”。图1为EMD分解流程图。

图1 EMD分解流程图

1）整个循环中，上下包络线Ei、Ej是用 3次样条曲线连接信号x（t）的所有局部极大值点和所有局部极小值点得到。第一次求上下包络线平均值记为m1（t），令：

如果h1（t）是第一个分量 IMF1，则循环停止。

2）若不是，则按流程图所示返回以h1（t）为原始信号继续求上下包络线以及平均值m2（t），令：

判断h2（t）是否为IMF分量，如此循环n次，直到：

式中hn（t）满足 IMF 分量要求。

3）将hn（t）分离出来，记c1（t）=hn（t）为信号x（t）的第一个IMF分量，得到：

4）判断r1（t）是否单调，若不是，再按流程图所示重复以上步骤n次，直到得到信号x（t）所有IMF分量为止。

即：

5）原始信号x（t）组成为

式中rn（t）为残余函数，代表信号平均趋势。

EMD从信号时间序列出发，把信号中特征模态从最小到最大逐步分离出来，使波形轮廓更加对称，整个过程中无需预先设定任何基函数，是一种多尺度、自适应的方法，适合于分解非线性、非平稳滚动轴承信号。

2 样本熵

2.1 样本熵算法

1991年Pincus提出了近似熵，但是近似熵存在自身数据匹配等问题。于是Richman[9]在近似熵的基础上提出了不需要比较自身数据的样本熵。算法步骤如下：

对EMD分解后的其中一个分量c1（t），设其具有N个数据点。预先定义相似容限r，通常取r=0.1～0.25SD（x），SD 表示x（N）的标准差，模式维数m=2。

1）重构m维向量：

其中i=1，2，…，N-m。

2）计算c（i）与c（j）元素间的距离dij，dij为对应元素差值绝对值的最大值：

其中k=0，1，…，N-m。

4）求 Bim（r）的平均值：

5）根据维数 m，重复 1）～4）得到 Bim+1（r）和 Bm+1（r）

6）最后计算当 N 为有限值时 SampEn（m，r）

可见样本熵是用一个非负数来表示一个时间序列的复杂性，越复杂的时间序列样本熵越大，越规则的时间序列样本熵越小。

2.2 数据长度选取

当维数 m=2，r=0.25SD（c）时，如何选取数据长度N，图2给出了验证。

图2 数据长度对样本熵结果稳定性影响

当数据长度小于500时，样本熵计算结果波动比较大，当数据长度大于1000以后，样本熵计算结果趋于稳定。结合实际测取的轴承信号，本文选取数据长度为2500，使计算速度、精度和稳定性都有保证。

综上可知，EMD能对信号按时间序列做多尺度分解，样本熵能度量时间序列的复杂性，可将二者结合起来对信号进行多尺度、深层次分析，即本文采用的EMD样本熵方法。

3 实例应用比较分析

选取的电机轴承型号为6205，电机负载为1.45 kW，转速为1750r/min时采集正常和不同故障下内圈、外圈的振动信号。其中故障程度又分点蚀直径为 0.17，0.30，0.71mm 3 种，深度均为 0.28mm，分别记为故障1，故障2，故障3。

3.1 样本熵

对故障1和2信号按第2部分样本熵算法，取m=2，r=0.25SD（c），N=5 000，直接计算样本熵，得到结果如表1所示。

表1 不同故障时信号样本熵

根据表中数据可知，在不同故障程度下，样本熵内、外圈明显不一样，相差至少在百分位以上，在Matlab中作图曲线间隔较大。但是在故障2下，出现内、外圈熵值差仅千分位的情况，在误差范围内不容易区分。原因是样本熵是单一尺度上的计算，而轴承信号是非线性、非平稳的，样本熵在处理时有局限性，无法进行深层次计算。

3.2 EMD样本熵

图3 正常轴承信号3层EMD分解

图4 故障1内圈信号3层EMD分解

图5 故障1外圈信号3层EMD分解

将所有数据分别按EMD分解流程进行3层分解，由于篇幅有限给出了部分信号IMF分量波形。图4，图5是故障1情况下内圈、外圈信号3层IMF分量。与图3正常轴承比较，故障情况下信号较复杂，并且内圈信号较外圈复杂。

再计算正常、故障1，故障2，故障3下内、外圈信号每一分量的样本熵，结果如表2～表5所示。

1）从表2～表5可见，各分量EMD样本熵故障轴承明显大于正常轴承，特别是内圈EMD样本熵更大，说明信号中产生新模式故障信号。

2）故障情况下，任何一个分量EMD样本熵内圈较外圈大，与内、外圈EMD 3层分解图4、图5波形变化趋势一致。

表2 正常轴承EMD样本熵

表3 故障1时EMD样本熵

图6 故障1时IMF1分量0～1000Hz包络谱

表4 故障2时EMD样本熵

表5 故障3时EMD样本熵

3）在故障情况下，各分量的EMD样本熵均是IMF1>IMF2>IMF3，与EMD分解越后面的层信号相对越简单一致。

4）从EMD样本熵值看故障1时较故障2时的大，较故障3时的小。说明故障初期的EMD样本熵较大，一定程度后样本熵减小，到故障严重时样本熵又变大，符合轴承故障对信号影响的变化趋势。

5）表3～表5中不管是同种故障模式还是不同故障模式下，内、外圈各分量EMD样本熵相差在百分位以上，与表1中差值仅在千分位形成明显对比。这表明EMD多尺度分解弥补了样本熵单尺度分析，效果比样本熵好。

4 包络谱分析

上文提到，EMD样本熵越大信号越复杂，产生新模式的概率越大。为此，选取故障1时内圈的IMF1分量进行包络谱分析，图6为该分量0～1000Hz的包络谱。

通过计算得知电机轴转频29.12Hz，内圈固有频率157.7Hz。包络谱中标记的频率值与计算频率值几乎一致。损伤时出现电机转频29.3Hz及其2倍频，内圈固有频率157.5Hz最高峰值，以及2倍频、3倍频、4 倍频、5 倍频分别为 314.9，472.4，629.9，786Hz。 在157.5Hz两边出现了间隔为29.3Hz的边频带。包络谱得出诊断结果的同时也验证了EMD样本熵越大信号越复杂性，产生故障模式的概率越大。

5 结束语

本文采用EMD样本熵度量滚动轴承信号复杂性，实例比较结果表明：

1）EMD是自适应的，能对时间序列进行多尺度分解的方法，有效地弥补样本熵单一尺度上分析的缺陷，二者结合能有效度量信号复杂性。

2）分别计算了不同故障下的滚动轴承信号样本熵和EMD样本熵，比较结果表明后者度量信号复杂性效果更好，在不同损伤程度时熵值明显不一样。

3）在故障程度逐渐变大的情况下，EMD样本熵先大-后小-再大的变化趋势准确反映了信号随故障变化的趋势，在轴承状态变化预测方面有较大的应用价值。

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