一道函数解答题的探究与分析

罗文整

摘 要：在初中数学教学中，函数类型的综合题，是教师最耗时，最难讲清，能让学生弄懂的题型。由于在教学中时间有限，又要让学生熟悉掌握此类题型的解题思路与方法，在遇到此函数题型时，知道怎么来解，是每位在一线的教师来说，是必须熟知及思考的问题。

关键词：课堂教学；探究；分析；解答

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）18-166-01

如图（1）：已知抛物线的方程C1：y= （x+2）（x-m） （m）与x轴交于点B、C， 与y轴交于点E， 且点B在点C的左侧。

若抛物线C1 过点M（2，2）， 求实数m的值。

在（1）的条件下，求ΔBCE的面积。

在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H， 使BH+EH最小，并求出点H的坐标。

在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F， 使得以点B、C、F为顶点的三角形与ΔBCE 相似？若存在，求m的值；若不存在请说明理由。

分析：此类题型是每年各地中考的必考题型，主要考察学生对函数的综合运用能力。题目一般由3或4个问题要求学生解决，由易到难，一般来说，第（1）、（2）个问题大部分学生易解决，（3）或（4）问题大部分学生是可望不可求了。因为用到的知识点多，解题思路过程曲折。对于我们教师在教学中，此类题型如何探究、分析及讲解，让学生弄懂及掌握解题思路与方法？对于我们每一位数学教师来说，是值得思考的问题？

就多年从事数学教学，可以采用以下方法探究、分析及解答：

首先：要让学生弄懂题目的已知条件告诉了我们什么，结合图形理解，题目已知“抛物线的方程C1：y= （x+2）（x-m） （m） 此解析式形式是两点式，由的大小确定开口方向，由附加条件m知开口向下，所求的m的值必须大于0，才能符合要求。通过观察，此解析式只有一个待定系数m， 若需求出m， 是需知抛物线经过某待定的点的坐标，把该坐标的相关数代人，便可求出。本题中的（1）问抛物线C1：y= （x+2）（x-m） 过点M（2，2）， 可把当x=2时，y=2 代人抛物线解析式y= （x+2）（x-m） ， 即2= （2+2）（2-m）可求出m=4且符合m ，于是第（1）问题就这样可解决了。此抛物线 的解析式为y= （x+2）（x-4）， 因为抛物线的解析式为交点式，便可知抛物线与x轴的交点的横坐标为-2，4，即交点坐标为（-2，0）（4.0）两点，事实上，要求出抛物线与x轴的交点的横坐标，可通过令y=0，抛物线解析式变为- （x+2）（x-4）=0 求得x1 =-2，x2 =4。 所以与x轴的交点坐标为（-2，0）（4，0）结合图形的已知条件，点B在点C的左侧，即B（-2，0）C（4，0）所以BC=〡-2-4〡=6，在本题（2）问题中，要求出 ΔBCE的面积，可通过以BC为底OE为高即SΔBCE =求出，OE通过E的坐标得到，而E通过令x=0代人抛物线的解析式y= （x+2）（x-4） 得y= （0+2）（0-4）=2，故OE=2。所以SΔBCE = （面积单位）这样，问题（2）在（1）条件下也解决了。

对于问题（3）用到物理镜面反射的相关知识，在实际生活应用中通过用来解决最短距离问题，如图（2）：A、B两点在直线L 的同侧，在L上找出点P使AP+BP的值最小。大家知道，通常我们是这样找出点P的，作A（或B）关于直线的 L的对称点A?（B?）连结线段BA?（AB?）与直线L的交点就是所求的点P，这时PA+PB的值最小。掌握此方法后，要解决问题（3）中，在抛物线的对称轴上找一点H使BH+EH最小，结合图形图（3） 知点B与C已关于对称轴对称，现连结EC与对称轴的交点，就是我们要找的点H，要求出点H的坐标，可通过直线EC解析式与对称轴方程组成方程组来求解，设直线EC的解析式为y=kx+b（k），将 E（0，2）C（4，0）的坐标代入y=kx+b 得到解得b=2，k=。所以y=. 将x=1代入y=. 得y=. 所以H（1，）。

对于（4）问题，要求“使得以点B、C、F为顶点的三角形与ΔBCE 相似”，这样的情况有如下几种：①ΔBCF ～ ΔBCE； ②ΔBFC～ΔBCE； ③ΔCBF～ΔBCE； ④ΔCFB～ΔBCE； ⑤ΔFBC ～ΔBCE； ⑥ΔFCB～ΔBCE， 不同情况要求的图形的位置也不一样，如图（4） ，若题目没有限定条件“在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点F，则6种情况都要考虑。根据题目的条件要求，结合图形发现是有两种情况进行分析探究了。

如图（5）当ΔBCF～ΔBCE时则0， 2=BE.

作FD 轴垂直为D， 则BD=DF可设F（x，-x-2）（x） .又因为点F在抛物线C1上 ，∴-x-2= （x+2）（x-m）. 此时BF==2（m+1） 2 2=BE ∴=2·2（m+1） ∴ m=2±2 又 ∴m=2+2.

如图（6） 当ΔΔFBC ～ΔBCE 时 ， 过F作 FHx轴于点H， 则= ∴ 可设F（x，-） （x） 又F在抛物线C1上，∴ - （x+2）（x-m） ∴x=m+2 ∴F（m+2，）。 由此题意知 EC= ∴ 整理 0=16显然不成立，故综合（1）（2）在第四象限内抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与ΔBCE相似，此时m=2+2.

通过此题型的讲解，要求学生必须熟练掌握二次函数解析式的三种不同表达方式的作用，会运用待定系数法求知的系数方法，会根据点坐标求出线段的长，会求经过某两点的直线解析式，会求两直线相交的坐标。当表达两个三角形相似时，对应顶点字母当在对应的位置上，会找出相似三角形对应边之间的关系及相等的角，会分不同情况进行综合探究讨论，来发现问题的结论，总之，解决任何问题必须要有扎实的基础知识，通过不断的训练与学习，来提高解题的技巧与方法，不断总结解题的经验与方法，才能在今后的解答过程中找到行之有效的办法和途径。