MCMC方法在多孔介质流体预测中的应用

李旭　程国建　殷娟娟

摘要：孔隙度和渗透率作为油气储层的重要参数，对石油产量的预测有至关重要的作用。在多孔介质流体流动过程中，孔隙度和渗透率的概率密度分布函数结构复杂，难以用经典分布予以描述，该文介绍了应用马尔可夫链蒙特卡罗方法（Markov chain Monte Carlo method）对孔隙度和渗透率进行贝叶斯估计，然后在其后验概率分布中采样，得到部分已知流量数据并计算流量的似然分布，最终得到生产曲线并用该方法成功预测了生产曲线的走势。同时在文章的最后，基于现存方法中存在的问题，提出了相关的改进方向。

关键词：马尔可夫链；蒙特卡罗方法；MCMC方法；多孔介质流体预测；孔隙度；渗透率

中图分类号：TE319 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）32-7769-03

Abstract： Permeability and porosity， which significantly describing of subsurface properties， are essential factors for the predicting gas production. But given the fact that in porous media flow process， the probability density functions for permeability and porosity are usually too complex for direct sampling， using classical statistical ways to describe the process is troublesome. This article introduced a relative Markov chain Monte Carlo method to solve this kind of problems. In this article， we demonstrated the process consisting Bayes estimation of permeability and porosity， sampling from their posterior distribution， finding the likelihood of the flows and prediction for the production given limited training data. Also， at the end of this article also listed the problems existing in current methods and provided several potential ways for improving.

Key words： Markov Chain； Monte Carlo method； Flow Prediction in Porous media

流体在多孔介质中的流动是一类复杂流动，并在石油开发、能源安全以及地下水污染治理等许多领域均有涉及。在这些领域中，很多问题需要根据已有经验和已测数据构建地下流体模型，并对地下流体的某些属性或发展趋势做出预测，例如水油比、CO2浓度、放射性粒子浓度或者生产曲线等。在石油储层的勘探开发过程中，地下流量的预测尤为重要，不仅关乎生产效益更对生产决策起到至关重要的作用。

在地质流体力学中，以孔隙度和渗透率作为参数的流量概率密度分布，往往呈现出较为复杂的函数结构，很难用常用的经典分布（如标准正态分布，均匀分布等）予以描述。因此，需要从孔隙度、渗透率及油井产量所构成的复杂参数/分布结构中获得必要的模拟样本。该文将马尔可夫链蒙特卡罗方法（Markov chain Monte Carlo method）应用于多孔介质流体预测中，介绍了MCMC方法的由来及其基本概念，阐述并依据实例展示了MCMC及其相关算法在石油产量预测中的运用，同时也对如何进一步提高预测成效提出了一定设想。如通过相关物理地质分析可得到以孔隙率和渗透率等作为参数的油井产量的概率密度函数π（x），其函数形式由于地质构造公式的制约将会相当复杂，导致无法直接获取产量的样本，通过上述算法，我们可以任意选取初始值开始取样，一段时间后（初始化阶段结束后），取样值将会依概率收敛于目标密度函数，此时可将初始化阶段结束后得到的样本作为一组从原概率密度分布得到的近似样本。在实际运用中，由于孔隙率渗透率等地质参数是未知的，需要对其进行贝叶斯估计，其过程中同样将运用MCMC方法。

2 MCMC方法应用实例

在V. Ginting等人的研究中，应用MCMC方法对石油储层产量曲线进行了预测[4]。在本案例中，首先通过部分已知的流量数据来进行渗透率和孔隙度的贝叶斯估计，并由已知的相关分布综合资料来创建地下行为模拟。再使用这些数据运行流体模拟软件得出产量曲线。具体做法如下：

石油储层的产量曲线预测包含两个步骤：描述和预测。一般我们无法获得具体的渗透率和孔隙度的资料，但是在MCMC方法的支持下我们可以通过贝叶斯估计得到。首先依据常用假设对基于渗透率和孔隙率的分布函数进行预处理，通过运用Karhunen—Loeve（简称KL）展开降低参数维度，得到包含渗透率和孔隙率的参数向量ψ，为了得到ψ的贝叶斯估计，需要从关于渗透率和孔隙率的后验概率分布中采样，即从P（ψ|Fm）中采样，这里的Fm代表了部分已知流量数据。

然而正如上文中提到的，实现这一方法的关键点是得到关于渗透率和孔隙率的合理的贝叶斯估计。这除了要求对MCMC及其相关算法的熟练掌握外，最重要的是对先验概率分布的合理假设。在研究中，为了得到合理的先验概率分布，提出了用Karhunen—Loeve展开降维，然而在进行模拟运算时，为了简化模型，还是基于渗透率和孔隙率相互独立的基本假设，这也就为未来的相关研究留下了很大的提升空间。endprint

3 关于MCMC方法的改进设想

在以上关于MCMC方法的应用实例中，为了简化模型，假设渗透率和孔隙度是不相关的，但是实际上并非如此。相关文献[5-6]表明，低渗透率低孔隙度岩石的孔隙度和渗透率之间并非相互独立。所以为了得到更精确更符合实际的预测结果，在MCMC方法中，可以在渗透率和孔隙度之间加入他们之间的关系参数，通过对这类相关系数或协方差等参数的数字估计，整个模型的精度和预测效果有望大幅度提高。除了运用Karhunen—Loeve展开的降维方法以外，还有多种统计方法可以应用于此类研究，如考虑将因子分析、主成分分析等多元统计方法，或是lasso等针对高维参数的估计方法加入研究，相关的估计与预测分析将会有进一步的发展。

4 结束语

MCMC方法已广泛应用于金融、地质、环境保护、电力系统等领域的研究[7-10]，应用MCMC方法研究期货市场流动、地震参数、水污染溯源、大型电力系统可靠性评估等方面的工作日趋活跃，MCMC方法作为统计学的一种重要方法，将继续在其他各学科中得到应用与发展。

本文具体介绍了MCMC方法的基本概念及相关算法，并依据国外相关研究实例介绍了其在多孔介质中流体预测中的运用。详细阐述了通过MCMC方法获得多孔介质流体模型中渗透率和孔隙度的贝叶斯估计的基本步骤，进而依据其估计建立出完整的地下属性描述并进行流量预测的具体过程。同时在文章的结尾部分，根据现有方法的不足，提出了相关的改进设想，有望基于相关分析提高预测成果。

参考文献：

[1] Classical Text in Translation：A. A. Markov， An Example of Statistical Investigation of the Text Eugene Onegin Concerning the Connection of Samples in Chains， trans. David Link. Science in Context 19.4 （2006）： 591-600.

[2] 陈平，徐若曦.Metropolis-Hasting自适应算法及其应用[J].系统工程理论与实践，2008（1）：100-108.

[3] Rosenthal，Jeffrey （March 2004）. "W.K. Hastings， Statistician and Developer of the Metropolis-Hastings Algorithm". Retrieved 2009-06-02.

[4] V.Ginting， Multiple Markov Chains Monte Carlo Approach for Flow Forecasting in Porous[J]. Procedia Computer Science， 2012 （9）：707-716.

[5] 邵维志，解经宇，等.低孔隙度低渗透率岩石孔隙度与渗透率关系研究[J].测井技术，2013（4）： 149-153.

[6] 李留仁，袁士义.分形多孔介质渗透率与孔隙度理论关系模型[J].西安石油大学学报：自然科学版，2010（5）：49-51.

[7] 卢斌，华仁海.基于MCMC方法的中国期货市场流动性研究[J].管理科学学报，2004（9）：98-106.

[8] 张广智，王丹阳.利用MCMC方法估算地震参数[J].石油地球物理勘探，2011，46（4）：605-609.

[9] 杨海东，肖宜.突发性水污染事件溯源方法[J].水科学进展，2014，25（1）：122-129.

[10] 石文辉，别朝红.大型电力系统可靠性评估中的马尔可夫链蒙特卡洛方法[J].中国电机工程学报，2008，28（4）：9-15.endprint

3 关于MCMC方法的改进设想

在以上关于MCMC方法的应用实例中，为了简化模型，假设渗透率和孔隙度是不相关的，但是实际上并非如此。相关文献[5-6]表明，低渗透率低孔隙度岩石的孔隙度和渗透率之间并非相互独立。所以为了得到更精确更符合实际的预测结果，在MCMC方法中，可以在渗透率和孔隙度之间加入他们之间的关系参数，通过对这类相关系数或协方差等参数的数字估计，整个模型的精度和预测效果有望大幅度提高。除了运用Karhunen—Loeve展开的降维方法以外，还有多种统计方法可以应用于此类研究，如考虑将因子分析、主成分分析等多元统计方法，或是lasso等针对高维参数的估计方法加入研究，相关的估计与预测分析将会有进一步的发展。

4 结束语

MCMC方法已广泛应用于金融、地质、环境保护、电力系统等领域的研究[7-10]，应用MCMC方法研究期货市场流动、地震参数、水污染溯源、大型电力系统可靠性评估等方面的工作日趋活跃，MCMC方法作为统计学的一种重要方法，将继续在其他各学科中得到应用与发展。

本文具体介绍了MCMC方法的基本概念及相关算法，并依据国外相关研究实例介绍了其在多孔介质中流体预测中的运用。详细阐述了通过MCMC方法获得多孔介质流体模型中渗透率和孔隙度的贝叶斯估计的基本步骤，进而依据其估计建立出完整的地下属性描述并进行流量预测的具体过程。同时在文章的结尾部分，根据现有方法的不足，提出了相关的改进设想，有望基于相关分析提高预测成果。

参考文献：

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[7] 卢斌，华仁海.基于MCMC方法的中国期货市场流动性研究[J].管理科学学报，2004（9）：98-106.

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[9] 杨海东，肖宜.突发性水污染事件溯源方法[J].水科学进展，2014，25（1）：122-129.

[10] 石文辉，别朝红.大型电力系统可靠性评估中的马尔可夫链蒙特卡洛方法[J].中国电机工程学报，2008，28（4）：9-15.endprint

3 关于MCMC方法的改进设想

在以上关于MCMC方法的应用实例中，为了简化模型，假设渗透率和孔隙度是不相关的，但是实际上并非如此。相关文献[5-6]表明，低渗透率低孔隙度岩石的孔隙度和渗透率之间并非相互独立。所以为了得到更精确更符合实际的预测结果，在MCMC方法中，可以在渗透率和孔隙度之间加入他们之间的关系参数，通过对这类相关系数或协方差等参数的数字估计，整个模型的精度和预测效果有望大幅度提高。除了运用Karhunen—Loeve展开的降维方法以外，还有多种统计方法可以应用于此类研究，如考虑将因子分析、主成分分析等多元统计方法，或是lasso等针对高维参数的估计方法加入研究，相关的估计与预测分析将会有进一步的发展。

4 结束语

MCMC方法已广泛应用于金融、地质、环境保护、电力系统等领域的研究[7-10]，应用MCMC方法研究期货市场流动、地震参数、水污染溯源、大型电力系统可靠性评估等方面的工作日趋活跃，MCMC方法作为统计学的一种重要方法，将继续在其他各学科中得到应用与发展。

本文具体介绍了MCMC方法的基本概念及相关算法，并依据国外相关研究实例介绍了其在多孔介质中流体预测中的运用。详细阐述了通过MCMC方法获得多孔介质流体模型中渗透率和孔隙度的贝叶斯估计的基本步骤，进而依据其估计建立出完整的地下属性描述并进行流量预测的具体过程。同时在文章的结尾部分，根据现有方法的不足，提出了相关的改进设想，有望基于相关分析提高预测成果。

参考文献：

[1] Classical Text in Translation：A. A. Markov， An Example of Statistical Investigation of the Text Eugene Onegin Concerning the Connection of Samples in Chains， trans. David Link. Science in Context 19.4 （2006）： 591-600.

[2] 陈平，徐若曦.Metropolis-Hasting自适应算法及其应用[J].系统工程理论与实践，2008（1）：100-108.

[3] Rosenthal，Jeffrey （March 2004）. "W.K. Hastings， Statistician and Developer of the Metropolis-Hastings Algorithm". Retrieved 2009-06-02.

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[6] 李留仁，袁士义.分形多孔介质渗透率与孔隙度理论关系模型[J].西安石油大学学报：自然科学版，2010（5）：49-51.

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[9] 杨海东，肖宜.突发性水污染事件溯源方法[J].水科学进展，2014，25（1）：122-129.

[10] 石文辉，别朝红.大型电力系统可靠性评估中的马尔可夫链蒙特卡洛方法[J].中国电机工程学报，2008，28（4）：9-15.endprint