论集合知识点及常考题型
2014-12-15茶丽萍
茶丽萍
摘 要：集合知识点是高中数学知识的基础内容，涵盖的范围比较广，所涉及的知识点也很多，对于刚进入高中阶段学习数学知识的同学而言，这部分内容学习的重要性不言而喻。集合由于能够与不等式以及函数的知识点紧密联系在一起，因而纵观近几年的高考试题可以发现，扎实掌握集合这部分的知识点对于提高学生的数学知识水平，最终取得理想的数学成绩是非常重要的。因此，在实际教学过程中，老师以及学生都应当充分重视集合知识点的讲解和学习，透彻分析常考题型，把握答题的方向和方法。
关键词：高中数学；集合知识点；常考题型
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）21-210-02
集合知识点是初中数学和高中数学知识衔接的一个过渡，也是学习更加抽象复杂的高中数学知识的基础和开端。为了帮助学生更好的掌握有关集合的内容，老师要根据集合的相关知识点，认真分析近几年的高考试题出题方向和特点，在教学过程中加强对常考题型的训练和总结。在知识点的梳理中融合常考题型训练，在常考题型训练中加深对集合知识点的理解。本文中，笔者将结合实际教学经验，在分析高考考纲中有关集合的考点要求基础上，选取部分经典的常考题型进行集合知识点的梳理和分类。
一、集合知识点及考纲要求解析
为了更好的把握集合知识点的出题方向以及帮助学生找到正确的学习方法，提高做题的准确率和效率，我们首先要对集合知识点的考纲要求进行深入的解析。具体主要表现为以下几方面：
1、知识点点总结归纳
集合这部分内容设计的主要的知识点主要包括以下几点：
（1）集合的定义：指定的某些对象的全体称为集合.集合具有三个特性：确定性、互异性和无序性.
（2）集合常用的表示法：列举法和描述法.此外，集合常用的表示法还有区间表示法和Venn图法.
（3）常用数集的专用符号：
非负整数集（自然数集）N，正整数集N+或N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R
（4）元素与集合、集合与集合的关系
①元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，可记为a∈A，如果a不是集合A中的元素可记为a?A.
②集合与集合的关系：若A是B的子集，记为：A?B，若A是B的真子集，记为：AB，空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.
③集合相等表示为：A=B，两个相等的集合元素相同.
（5）按元素个数集合可分为：有限集、无限集和空集.
（6）集合运算
①A和B的交集：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，记为：A∩B={x|x∈A且x∈B}.
②A和B的并集：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，记为：A∪B={x|x∈A或x∈B}.
③设集合U为全集，集合A是它的一个子集，则U的子集A的补集记为CUA={x|x U且x A}
（7）集合常用的运算性质及重要结论
①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A；
②A∩B?A，A∩B?B，A?A∪B，B?A∪B，A∩B?A∪B；
③A∩（ UA）=?，A∪（ UA）=U；
④U（A∩B）=（ UA）∪（ UB）， U（A∪B）=（ UA）∩（ UB）；
⑤A∩B=A?A?B，A∪B=A?B?A；
⑥A?B，B?C?A?C；
⑦n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集.
2、考点要求解析
在高考时通常会考查对集合基本概念、基本运算的认识和理解，如：通过集合的表示方法能明确集合类型（数集或点集），特别是对集合中的元素的属性要分清。高考试题通常是在给出集合后，考查集合与集合间的关系，特别注意用子集的方式限定集合关系，多与函数、方程、不等式有关，解决问题时常用数形结合、等价转换、分类讨论等数学思想与方法，一般以客观题形式出现，难度控制在中等以下，分值为4～5分。
二、集合知识点及常考题型
本文对于集合的知识点以及与之对应的常考题型进行了总结分类，具体主要表现为以下几方面：
1、元素与集合的关系
在前文的知识点4中对元素与集合的关系这一知识点进行了说明，关于这一知识点的常考题型主要是客观题的选择题或者填空题。
例1（1）设集合A={x||x-2|≤2，x∈R}，B={y|y=-x2，-1≤x<2}，则CR（A∩B）等于（ ）
（A）R. （B）?.
（C）{0}. （D）{x|x∈R，x≠0}.
（2）M={x|x=3n，n∈Z}，N={x|x=3n+1，n∈Z}，P={x|x=3n-1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，设d=a-b+c，则（ ）
（A）d∈M. （B）d∈N.
（C）d∈P. （D）以上都不对.
【指点迷津】（1）集合A，B的元素符号不同.
（2）观察到能被3整除的数构成集合M，被3除余1的数构成集合N，被3除余2的数构成集合P.所以要观察d被3除的余数.
【解析】（1）A={x|0≤x≤4}，B={y|-4≤y≤0}，
∴A∩B={0}，
∴CR（A∩B）={x|x∈R，x≠0}.
（2）设a=3n，b=3m+1，c=3s-1，m，n，s∈Z，
∴d=3n-（3m+1）+（3s-1）=3（n-m+s）-2=3（n-m+s-1）+1.
∵（n-m+s-1）∈Z，∴d∈N.
【答案】（1）D（2）B
【点评】在讨论元素与集合关系时，要注意集合中元素是否满足集合的确定条件.
2、韦恩图的应用
韦恩图在集合的题目中有很多应用，而且也体现了数形结合思想。
具体举例：例2：（2010年·湖北黄冈中学二模）已知集合M={x|y= }，N={x||x+1|≤2}，且M、N都是全集I的子集，则下图韦恩图中年阴影部分表示的集合为（）
（A）{x|- ≤x≤1} （B）{x|-3≤x≤1}
（C）{x|-3≤x≤- } （D）{x|1 【解析】 M=[- ， ]，N-[-3，1]。图中阴影表示N （IM）={x|-3≤x< - }。 【答案】 C 3、多个知识点的综合运用。集合这部分的常考题型中还有一类需要综合运用多个知识点，考察的不仅是学生对集合知识点的熟练程度，在解题过程中还需要应用一些思想方法。 具体举例：例3已知A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}，其中a∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围. 【指点迷津】把集合A、B的交并关系转化为包含关系.解题时应注意集合元素的互异性及子集为空集的讨论. 【解析】化简得A={0，-4}，∵集合B的元素都是集合A的元素，∴B?A. （1）当B=?时，Δ=4（a+1）2-4（a2-1）<0，解得a<-1；（2）当B为单元素集，即B={0}或{-4}时，Δ=4（a+1）2-4（a2-1）=0，解得a=-1，此时B={0}，满足BA；（3）当B={0，-4}时， 解得a=1 综上所述，实数a的取值范围是a=1或a≤-1 【点评】本题考查了集合元素的互异性，用到了分类讨论、转化的数学思想.解题时要注意空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 本题在解题过程中，也可以把方程的根x1=0，x2=-4代入解决.但用此种方法时，要注意考查判别式的值。 参考文献： [1] 付 勉.数组常见题型例析[J].电脑知识与技术（认证考试），2004，（3）：16-18. [2] 周正华.集合知识点及常考题型分析[J].中学生数理化（高一版），2014，（7）：4-6.
