例谈小学数学教学中合情推理能力的培养

郝高峰

摘 要：《数学课程标准》指出，推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中，那么作为几乎无处不在的合情推理理应在小学数学教学中得到足够的重视。本文以《点阵中的规律》教学为例，论述在教学中，教师应创造条件，引导和鼓励学生经常“猜一猜”、“比一比”、“证一证”，逐步培养学生的合情推理能力，促进学生思维的提升。

关键词：合情推理；思维能力；小学数学

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）21-151-01

推理是数学的基本思维方式，包括合情推理和演绎推理。在以往的教学中，我们比较重视演绎推理的教学，忽视了合情推理的培养。而小学生更多是在丰富多彩的数学活动中经历观察、实验、猜想、验证等合情推理过程。因此，在小学数学教学中要重视培养学生的合情推理能力。

一、鼓励学生“猜一猜”

我在教学《点阵中的规律》时，猜想可谓是贯穿了整节课的始末。如在研究正方形点阵时，请学生猜猜第10个，甚至第100个点阵的样子及排列规律；研究完了正方形点阵，请学生猜一猜还可能有什么形状的点阵并自己设计、研究；学生设计出三角形点阵、长方形点阵、十字形点阵后鼓励学生猜猜第n个是什么样子，用算式如何表示；教师出示了五边形点阵后，引导学生猜猜还可能有六边形、七边形等点阵；课尾，将点阵从平面引向了空间，告诉孩子“毕达哥拉斯学派”的数学家们还研究了“三棱锥数”，请学生猜一猜数学家们还可能研究什么样的“形数”呢。整节课，孩子遨游于猜想的海洋，思维活跃，几近“山重水复”，屡历“柳暗花明”。先后了解了正方形、三角形、长方形、十字形、五边形、中心五边形、五角星、三棱锥数等“形数”。我一次次折服于孩子大胆的猜想，难怪大教育家波利亚疾呼：“让我们教猜想吧！”

二、联系异同“比一比”

合情推理被誉为“科学发现的金钥匙”，它有不完全归纳推理和类比推理两种主要形式。而不管是“从个别到一般”的归纳推理，还是从“特殊到特殊”的类比推理都是在观察、比较、分析、联想的基础上进行的。在小学数学教学中，我们要牢记俄国心理学家巴浦洛夫的告诫——“要研究事实，对比事实，积聚事实”，经常引导学生对所学知识进行比较，辨别异同，认识本质，发展学生的合情推理能力。探究正方形点阵的排列规律时，学生可能会出现以下思路：

1、从上往下。第1个点阵有1×1=1个点、第2个有2×2=4个点、第3个有3×3=9个点……第n个点阵共有n×n（即n2）个点；2、斜着观察。第1个点阵有1个点、第2个有1+2+1=4个点、第3个有1+2+3+2+1=9个点……第n个点阵共有1+2+3+…+n+…+3+2+1个点；3、转着观察。第1个点阵有1个点、第2个有1+3=4个点、第3个有1+3+5=9个点……第n个点阵共有1+3+5+…+（2n-1）个点。

教学中，不但要引导学生通过“比一比”归纳或类推出第n个正方形点阵有多少个点，更要引导学生比较这三种思路之间的异同，类推出一般的找规律的方法（有序思考、数形结合等），还可以引导学生发现：n×n=1+2+3+…+n+…+3+2+1=1+3+5+…+（2n-1）=n2。把学生的思维引向一个新的高度，培养了学生的合情推理能力，发展了学生的思维。

三、引导学生“证一证”

合情推理是一种似真推理，主要用来探索思路，发现结论。而“实践是检验真理的唯一标准”。因此，当我们通过合情推理得到一个猜想以后，应鼓励学生在他们已有的知识和经验的基础之上进行推理验证，经历一个“猜想——验证”，甚至“再猜想——再验证”的过程。比如学生在研究自己“创造”的十字形点阵时，通过观察发现相邻两个点阵的点数总相差4，有同学猜测第n个点阵共有4n+1个点，也有人猜测应有4n-3个点。如果教师迅速宣布结果，我们就将失去一次大好的思维训练契机。教学时，我适时追问了一句：“你能想办法验证你的猜想吗？”短暂的思考之后，孩子们就第n个点阵的点数到底是4n+1还是4n-3展开了激烈的争论：

生1：我认为应该是4n+1，大家看，如果不看中间的点，这里每一圈都有4个点（孩子见说着不清楚，直接走上了讲台，借助实物投影展示），总点数应该是4的倍数多1，不就是4n+1吗？

生2：不对，不对！（她显然有些着急了）如果你说的是正确的，那么第5个点阵就有5×4+1=21个点。大家看（她走上黑板画了起来）——只有17个点！

师：是这样吗，孩子们？（能看出生1也认可）看来，要验证一个猜想的正确，可能需要严格的证明或大量的事实，而要说明一个猜想错误，只要一个反例就够了。是这样吗？

生3：这里的n表示第几个点阵，如果没有第一个点阵，那么4n+1就对了！（我顺手盖住了第一个点阵，孩子们表示认同）

生4：我画了几个点阵，证明4n-3是正确的。（他展示了自己的成果）

生5：我是这样想的，第n个点阵每条边上都可以看作n个点，4条就有4n个。但中间一个点被多算了3次，所以共有4n-3个点。

生6：我是受生1的启发。每圈有4个点，但是第n个点阵应该有n-1圈，再加上中间一个点，一共有4（ n-1）+1个点，化简也是4n-3。

我不禁要为孩子们精彩的“验证”鼓掌叫好！谁说“证明与推理”只能是“大学生”的专利！《数学课程标准（2011版）》在对义务教育阶段的数学学习总目标进行具体阐述时指出，要引导学生“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力，清晰地表达自己的想法。”

“演绎推理用于证明，合情推理用于发明。”在小学数学教学中，由于小学生的思维特点决定了可能少有非常严密的逻辑证明，更多地是根据已有的事实，经过观察、猜想、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的合情推理。但这不能成为我们忽视孩子推理能力培养的理由。我们应该“既教证明，又教猜想”——哪怕些许的渗透。我想：长期不懈的潜移默化，一定会让合情推理和演绎推理这对思维的双翅比翼齐飞！

参考文献：

[1] G·波利亚.李心灿.王日爽.李志尧译.数学与猜想（第一卷）北京：科学出版社.

[2] 吉智深.我们对推理和证明的理解有偏差.中小学数学（小学版）2012：05.endprint