GOM和时间序列组合模型在地表沉降预测中的应用

唐佑辉，黄 腾，赵兵帅

（河海大学 地球科学与工程学院，江苏 南京210098）

在对序列建模预测预报方面，传统GM（1，1）模型的建立都是基于正向累加数据，越旧的数据占的权重越大，而对沉降监测这种实时系统而言，最新的数据越能反映目前沉降的趋势，对未来监测的预报更有准确性［1］。而时间序列要求数据序列平稳，需对数据进行差分处理，造成对残差信息的浪费，导致精度不理想［2］。由于变形体的变形通常是非平稳序列，通常包括趋势项和随机项，单纯采用灰色模型或时间序列模型进行建模预测，精度不是很好［3］。因此，本文结合改进反向累加灰色模型GOM用以提取趋势项，对剩余平稳残差采用时间序列AR模型建模，达到了很高的预测精度。

1 反向累加灰色模型GOM

1.1 普通灰色GM模型的建立

自从灰色GM（1，1）模型提出后，以其建模数据少、建模简单、短期预报可靠等特点，已经在人口、经济、生态、水文、变形监测等许多领域得到广泛应用［4］。

已知原始非负序列 x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）｝，一次正向累加生成新序列x（1）＝｛x（1）（1），x（1）（2），x（1）（3），…，x（1）（n）｝，其中：

可建立灰色 GM（1，1）模型

1.2 基于反向累加的GOM模型

设x（0）为非负准光滑序列，则x（0）的一次累加生成序列x（1）具有准指数规律，普通灰色模型GM（1，1）正是依此理论基础进行建模预测的。如果一次累加后的曲线不光滑，则二次累加后的序列就比较光滑，假定一个3项的观测序列｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3）｝，一次正向累加后的序列为｛x（0）（1），x（0）（1）＋ x（0）（2），x（0）（1）＋ x（0）（2）＋ x（0）（3）｝，可见一次正向累加序列每一项均含有原始序列中的最“陈旧”的数据x（0）（1）。对一次累加序列而言，x（0）（1）在新序列中占得权可以看做是含有x（0）（1）的项占新序列总元素数的比例，可以看出在一次正向累加序列中x（0）（1）占得权为1，而在一次反向累加序列中x（0）（1）占得权为1／3，最新的数据x（0）（3）占得权为1。事实上，对于沉降这样一个动态过程或动态系统而言，越新的数据越能代表当前的状态和未来的发展趋势，在建模中占的权应越大。但是对基于一次累加生成的GM（1，1）模型而言，越旧的数据在模型中占的权反而越大，这对沉降监测系统而言显然是不合理的。

定义1设原始序列为x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）｝，令

称 x（1）＝ ｛x（1）（1），x（1）（2），x（1）（3），…，x（1）（n）｝为x（0）的一次反向累加序列。

定义2设原始序列为 x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）｝，取

则x（-1）＝（x（-1）（-1），x（-1）（2），…，x（-1）（n））称为x（0）的一次反向累减生成序列。易知，反向累加、累减生成是互逆运算，并且

通过上述两定义可知，x（0）的一次反向累加生成序列通过一次反向累减生成还原为原始序列。依据反向累加数据x（1）即可建立反向累加灰色模型GOM。

1.3 改进传统GOM模型背景值

在解求参数a，u的过程中背景值的选择至关重要，在传统GM和GOM模型中一般取两点间观测值的平均，即用梯形的面积替代曲线下的面积，但这样会产生以直代曲的误差，但当数据经过一次反向累加后曲线较陡峭时，会产生较大误差。而现有对背景值的研究表明从背景值的几何意义出发，应用齐次指数曲线在区间［k-1，k］上的积分即曲线与x轴围成的面积作为背景值，可以更充分、准确地反映出背景值的真实情况［4］。可推导出GOM（1，1）模型改进的背景值计算公式为

可得到改进的GOM模型的白化方程为

则方程（1）的时间响应序列为

模拟值为

2 GOM和时间序列模型的建立及预测步骤

1）对n个观测序列数据x0（t）（t＝1，2，…，n），建立改进反向累加灰色模型GOM（1，1），并求出残差向量序列｛yt｝（t＝1，2，…，n），yt＝x0（t）-（t）；

2）用步骤1）的残差向量序列｛yt｝的绝对值组成一正置序列；

3）对步骤2）组成的正置序列用最小二乘算法计算φi（1，2，…，p）；并进行偏相关函数截尾性检验，初步判断模型的类别。若偏相关函数具有截尾性则为AR模型，继续进行下面的步骤；

5）用F检验准则检验AR（p）是否合适，若不合适，则阶数为p＋1，返回4），或与BIC准则相结合进行综合判断，决定是否增加阶数；

6）用改进反向累加灰色模型GOM和AR（p）模型的组合模型GOM-AR进行预测：

其中等号右侧第1项为改进反向累加灰色模型预测公式，第2项为时间序列模型预测公式。

3 GOM和时间序列模型的实际应用

表1是某地铁隧道一号线纵线地表上的3号沉降监测数据［5］，共观测了55期沉降数据。

表1 地表沉降监测数据

首先用前45期的数据建立改进的反向累加灰色模型GOM（1，1）进行沉降序列趋势项的提取，通过计算可得参数a＝0.072 7，b＝-0.080 6，可得模拟值公式

通过计算可得前45期的残差图，可以看出残差序列基本平稳，明显消除了趋势性，且通过ADF检验残差序列的平稳性，残差图如图1所示。

图1 GOM模型模拟残差图

经计算当p＝2时，偏自相关系数截尾，自相关系数拖尾，因此，对残差序列可建立AR（2）模型，且AR（2）通过了F准则检验，利用最小二乘原理可计算得ψ1＝0.331 6，ψ2＝0.099 3，所以AR（2）模型为

因此，可以建立改进反向累加灰色模型GOM和时间序列AR（2）模型的组合模型为

利用建立的GOM-AR模型对后10期（46～55期）数据进行预测，并与实测值比较，如图2所示，表2同时列出了采用单一改进反向累加灰色模型GOM预测误差。

表2 46～55期数据预测值与实测值

图2 预测值与实测值比较

从图2可以看出无论是单一改进GOM预测模型还是GOM-AR模型预测值均比实测值要小，GOM-AR组合模型预测值要更接近实测值。从图3GOM与GOM-AR组合模型预测残差图可以明显看出采用GOM-AR模型预测的残差值均小于单一GOM模型，GOM-AR模型预测误差约0.1mm，GOM模型预测误差约0.15mm。可以看出两种拟合模型对近期的预报误差较小，随着期数的增加预报误差变大。

图3 GOM与GOM-AR组合模型预测残差

4 结束语

对沉降观测系统而言，采用反向累加模型让最新的数据在模型中所占的权重较大，对于后期的数据预测才更准确，更能反映实际的沉降趋势。采用灰色模型和时间序列的组合模型，不仅能反映沉降系统的趋势性，同时能反映其随机性，符合沉降数据的规律，并且组合模型在数据预测方面的精度优于单一模型，具有一定的实际应用价值。本文还可得出对这种沉降趋势明显的序列，单一的GOM模型预测精度也达到了0.2mm以内，采用灰色模型和时间序列的组合模型对近期的预测精度有一定的提高，随着期数的增加精度提高不是很明显。对沉降趋势不明显的序列，灰色模型和时间序列的组合模型的预测精度还有待进一步研究。

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