基于迭代映射法的Buck变换器混沌分析

赵海涛++张大伟

摘要：通过离散时间映射来研究DC-DC开关变换器的非线性现象，是较为便利的一种方法，一般它们都能得到映射的隐式表达。本文将通过推导Buck变换器的离散迭代映射方程，并通过Matlab仿真，来分析Buck变换器中的混沌现象。

关键词：Buck变换器 迭代 分叉 混沌

中图分类号：TM4 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2014）08-0112-02

目前在分析变换器的非线性现象时，都采用了基于离散时间模型概念的非线性离散时间映射[1]，即将变换器的状态从一个采样时刻映射到下一个采样时刻，这种方法在应用计算机数值计算及减少运算量方面都有很多优越性，而且能成功分析变换器的稳定工作态，分岔等现象。根据变换器不同采样时刻的选择，离散时间映射一般可分为四种，即频闪映射、同步切换映射、异步切换映射、成对切换映射[2]。本文将采用频闪映射方法，来推导Buck变换器的离散迭代映射模型。

1 电路结构和基本公式

如图1.1所示，在电压模式控制方式下，输出电压与参考电压的误差将经过放大器放大而得到一个控制电压信号：

然后将这个控制电压信号与锯齿波信号进行比较，锯齿波信号Vramp定义为。

比较器的输出就是用来控制开关的脉宽调制信号k，即：

当k=1时，开关S合上，当k=0时，开关S断开，如图1.1（b）所示。这样，对应上述两种主电路拓扑的微分方程可描述为：

其中x代表状态变量，即，A和B是系统矩阵：

2 离散迭代非线性映射模型

基于状态方程的模型的建立虽然不需要对电路系统进行简化和近似，所建立的方程是电路系统的精确模型，但是在这种模型下，难以分析系统的动力学行为如周期轨道的稳定性等，且计算量巨大。所以本文采用频闪采样法来求取变换器系统对应的离散迭代映射方程，不妨记第n个周期时刻为tn=nT，xn=x（nT），Vcon=Vcon（nT），其他离散参量以此类推，同时认为输入量Vin和参考量Vref在一个开关周期内近似不变，分别为Vin和Vref。对状态s=1和s=0进行逐步迭代，记：

变换器的运行波形如图1.1（b）所示，在一个周期中（如0-T，且开关导通时刻为Ts）变换器将经历2种相位：

（1）0-Ts期间， 开关S处于“截止（off）相位”，该相位结束时，变换器状态变量xm为：

（2）Ts-T期间， 开关S处于“导通（on）相位”，该相位结束时，变换器状态变量xn+1为：

综合（2.2），（2.3）两式可得离散迭代映射：

3 仿真结果和分析

通过Matlab对离散迭代映射模型进行仿真，可以得到和状态方程分析法相一致的结果，如图3.1所示。

从图3.1，可以看到，在输入电压低于24.6V时，变换器为单周期工作状态，之后由单周期状态进入倍周期状态，在31.15V时进入4周期状态，最终在32.35 V处发生激变，进入混沌状态。

4 结语

精确状态方程分析可以得出变换器系统的所有动力学行为，但它仅仅是一种针对精确模型的数值计算，且需要极其巨大的计算量。而迭代映射法可用来分析系统的稳定性，特别在分析首次分岔时，得到的结果更准确，是对状态方程分析法的一种很好的补充。

参考文献

[1]G.C.Verghese，M.E.Elbuluk，J.G.Kassakian.A general approach to sampled-data modeling for power electronic circuits[J].IEEE Trans.Power Electronics，1986，1（2）：76-89.

[2]Mario di Bernardo，F.Vasca. Discrete-time maps for the analysis of bifurcations and chaos in DC/DC converters[J].IEEE Trans.CAS，2000，47（2）：130-142.

[3]K.Chakrabarty， G. Podder and S.Banerjee.Bifurcation behaviour of the Buck converter[J].IEEE Trans. Power Electron.，1996，11（3）：439-447.endprint

摘要：通过离散时间映射来研究DC-DC开关变换器的非线性现象，是较为便利的一种方法，一般它们都能得到映射的隐式表达。本文将通过推导Buck变换器的离散迭代映射方程，并通过Matlab仿真，来分析Buck变换器中的混沌现象。

关键词：Buck变换器 迭代 分叉 混沌

中图分类号：TM4 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2014）08-0112-02

目前在分析变换器的非线性现象时，都采用了基于离散时间模型概念的非线性离散时间映射[1]，即将变换器的状态从一个采样时刻映射到下一个采样时刻，这种方法在应用计算机数值计算及减少运算量方面都有很多优越性，而且能成功分析变换器的稳定工作态，分岔等现象。根据变换器不同采样时刻的选择，离散时间映射一般可分为四种，即频闪映射、同步切换映射、异步切换映射、成对切换映射[2]。本文将采用频闪映射方法，来推导Buck变换器的离散迭代映射模型。

1 电路结构和基本公式

如图1.1所示，在电压模式控制方式下，输出电压与参考电压的误差将经过放大器放大而得到一个控制电压信号：

然后将这个控制电压信号与锯齿波信号进行比较，锯齿波信号Vramp定义为。

比较器的输出就是用来控制开关的脉宽调制信号k，即：

当k=1时，开关S合上，当k=0时，开关S断开，如图1.1（b）所示。这样，对应上述两种主电路拓扑的微分方程可描述为：

其中x代表状态变量，即，A和B是系统矩阵：

2 离散迭代非线性映射模型

基于状态方程的模型的建立虽然不需要对电路系统进行简化和近似，所建立的方程是电路系统的精确模型，但是在这种模型下，难以分析系统的动力学行为如周期轨道的稳定性等，且计算量巨大。所以本文采用频闪采样法来求取变换器系统对应的离散迭代映射方程，不妨记第n个周期时刻为tn=nT，xn=x（nT），Vcon=Vcon（nT），其他离散参量以此类推，同时认为输入量Vin和参考量Vref在一个开关周期内近似不变，分别为Vin和Vref。对状态s=1和s=0进行逐步迭代，记：

变换器的运行波形如图1.1（b）所示，在一个周期中（如0-T，且开关导通时刻为Ts）变换器将经历2种相位：

（1）0-Ts期间， 开关S处于“截止（off）相位”，该相位结束时，变换器状态变量xm为：

（2）Ts-T期间， 开关S处于“导通（on）相位”，该相位结束时，变换器状态变量xn+1为：

综合（2.2），（2.3）两式可得离散迭代映射：

3 仿真结果和分析

通过Matlab对离散迭代映射模型进行仿真，可以得到和状态方程分析法相一致的结果，如图3.1所示。

从图3.1，可以看到，在输入电压低于24.6V时，变换器为单周期工作状态，之后由单周期状态进入倍周期状态，在31.15V时进入4周期状态，最终在32.35 V处发生激变，进入混沌状态。

4 结语

精确状态方程分析可以得出变换器系统的所有动力学行为，但它仅仅是一种针对精确模型的数值计算，且需要极其巨大的计算量。而迭代映射法可用来分析系统的稳定性，特别在分析首次分岔时，得到的结果更准确，是对状态方程分析法的一种很好的补充。

参考文献

[1]G.C.Verghese，M.E.Elbuluk，J.G.Kassakian.A general approach to sampled-data modeling for power electronic circuits[J].IEEE Trans.Power Electronics，1986，1（2）：76-89.

[2]Mario di Bernardo，F.Vasca. Discrete-time maps for the analysis of bifurcations and chaos in DC/DC converters[J].IEEE Trans.CAS，2000，47（2）：130-142.

[3]K.Chakrabarty， G. Podder and S.Banerjee.Bifurcation behaviour of the Buck converter[J].IEEE Trans. Power Electron.，1996，11（3）：439-447.endprint

摘要：通过离散时间映射来研究DC-DC开关变换器的非线性现象，是较为便利的一种方法，一般它们都能得到映射的隐式表达。本文将通过推导Buck变换器的离散迭代映射方程，并通过Matlab仿真，来分析Buck变换器中的混沌现象。

关键词：Buck变换器 迭代 分叉 混沌

中图分类号：TM4 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2014）08-0112-02

目前在分析变换器的非线性现象时，都采用了基于离散时间模型概念的非线性离散时间映射[1]，即将变换器的状态从一个采样时刻映射到下一个采样时刻，这种方法在应用计算机数值计算及减少运算量方面都有很多优越性，而且能成功分析变换器的稳定工作态，分岔等现象。根据变换器不同采样时刻的选择，离散时间映射一般可分为四种，即频闪映射、同步切换映射、异步切换映射、成对切换映射[2]。本文将采用频闪映射方法，来推导Buck变换器的离散迭代映射模型。

1 电路结构和基本公式

如图1.1所示，在电压模式控制方式下，输出电压与参考电压的误差将经过放大器放大而得到一个控制电压信号：

然后将这个控制电压信号与锯齿波信号进行比较，锯齿波信号Vramp定义为。

比较器的输出就是用来控制开关的脉宽调制信号k，即：

当k=1时，开关S合上，当k=0时，开关S断开，如图1.1（b）所示。这样，对应上述两种主电路拓扑的微分方程可描述为：

其中x代表状态变量，即，A和B是系统矩阵：

2 离散迭代非线性映射模型

基于状态方程的模型的建立虽然不需要对电路系统进行简化和近似，所建立的方程是电路系统的精确模型，但是在这种模型下，难以分析系统的动力学行为如周期轨道的稳定性等，且计算量巨大。所以本文采用频闪采样法来求取变换器系统对应的离散迭代映射方程，不妨记第n个周期时刻为tn=nT，xn=x（nT），Vcon=Vcon（nT），其他离散参量以此类推，同时认为输入量Vin和参考量Vref在一个开关周期内近似不变，分别为Vin和Vref。对状态s=1和s=0进行逐步迭代，记：

变换器的运行波形如图1.1（b）所示，在一个周期中（如0-T，且开关导通时刻为Ts）变换器将经历2种相位：

（1）0-Ts期间， 开关S处于“截止（off）相位”，该相位结束时，变换器状态变量xm为：

（2）Ts-T期间， 开关S处于“导通（on）相位”，该相位结束时，变换器状态变量xn+1为：

综合（2.2），（2.3）两式可得离散迭代映射：

3 仿真结果和分析

通过Matlab对离散迭代映射模型进行仿真，可以得到和状态方程分析法相一致的结果，如图3.1所示。

从图3.1，可以看到，在输入电压低于24.6V时，变换器为单周期工作状态，之后由单周期状态进入倍周期状态，在31.15V时进入4周期状态，最终在32.35 V处发生激变，进入混沌状态。

4 结语

精确状态方程分析可以得出变换器系统的所有动力学行为，但它仅仅是一种针对精确模型的数值计算，且需要极其巨大的计算量。而迭代映射法可用来分析系统的稳定性，特别在分析首次分岔时，得到的结果更准确，是对状态方程分析法的一种很好的补充。

参考文献

[1]G.C.Verghese，M.E.Elbuluk，J.G.Kassakian.A general approach to sampled-data modeling for power electronic circuits[J].IEEE Trans.Power Electronics，1986，1（2）：76-89.

[2]Mario di Bernardo，F.Vasca. Discrete-time maps for the analysis of bifurcations and chaos in DC/DC converters[J].IEEE Trans.CAS，2000，47（2）：130-142.

[3]K.Chakrabarty， G. Podder and S.Banerjee.Bifurcation behaviour of the Buck converter[J].IEEE Trans. Power Electron.，1996，11（3）：439-447.endprint