基于广义Hamilton系统的机械人双目视觉伺服控制器*

邹立颖 ，朱 磊 ，苗凤娟 ，杨 波

（1.齐齐哈尔大学 通信与电子工程学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006；2.山西大学 数学科学学院，山西 太原 030000）

近年来，机器人视觉伺服控制成为机器人领域内研究的热点之一[1-2]。视觉伺服是利用视觉传感器获得目标物体的图像信息作为反馈信号，对机器人进行闭环控制[3]。目前视觉伺服控制所面临的主要问题是全局渐近稳定性、物体深度信息的获取、干扰抑制、系统镇定、控制精度等问题。

广义Hamilton系统的Hamilton函数是系统的总能量，在一定条件下可构成系统的李亚普诺夫函数。因此，关于广义Hamilton系统理论的研究得到了研究人员的广泛关注[4-5]。参考文献[5]开发了一种新的数学工具，构建了机器人系统广义Hamilton框架，为广义Hamilton系统在机器人控制领域的发展奠定了基础。参考文献[6]研究了基于图像的直接视觉伺服控制器的设计与仿真。参考文献[7]基于机器人动力学特性和位置的视觉反馈信息，建立了一类视觉反馈控制系统。但参考文献[7]中由于考虑了机器人动力学特性，李亚普诺夫函数的设计过于复杂，导致系统稳定性分析较困难。而广义Hamilton系统可以克服参考文献[7]的不足。因此，本文基于广义Hamilton系统理论，研究了视觉伺服控制器设计问题。

本文基于参考文献[6]提出的双目视觉模型，考虑机器人动力学特性，在参考文献[5]的基础上构建了广义哈密尔顿视觉伺服系统（GHVFS）。针对GHVFS，提出了基于广义Hamilton框架下的视觉伺服控制器设计方法。该方法采用的视觉模型无需获取深度信息，也不需要物体的模型，简化了控制器结构。选用Hamilton函数为李亚普诺夫函数,使系统稳定性分析变得简单。对于GHVFS下的L2增益干扰抑制问题，提出了具有L2增益性能视觉伺服控制器，给出了闭环系统稳定性证明。最后给出的仿真实验验证了该方法的可行性和有效性。

1 视觉模型

[6]提出的双目视觉模型如下[6]：

mi=[x y c]T为目标物体的第i个特征点，vC=[TXTYTZ]T为摄像机线速度，ωC=[ωXωYωZ]T为摄像机角速度，摄像机运动速度VC=[vTcwTc]T，图像特征点速度m˙i与 VC满足：

其中，Ji(mi)∈R3×6表示特征点mi的图像雅克比矩阵。

机械手关节速度与终端速度的关系：

其中，J(q)为机械手雅克比矩阵，q∈Rn为关节位置向量。

具有n个特征点的物体图像速度与关节速度关系为：

其中m=[mT1mT2…mTn]T为物体图像特征向量，J(m)=[JT1(m1) JT1(m2)…JTn(mn)]T为物体的图像雅克比矩阵，(m，q)=J(m)J(q)为物体复合雅克比矩阵。

2 机器人动力学模型

机械人动力学模型为：

其中τ∈Rn为关节输入力矩向量，M(q)为正定对称的惯性矩阵，C(q，q˙)为非线性离心力项，G(q)为重力矩向量。

3 双目视觉伺服系统的广义Hamilton框架

为建立双目视觉伺服系统下的广义Hamilton框架，给出如下命题：

命题1[5]：

系统（5）变为：

命题2[5]：

系统（6）对下列关系对任意的p∈Rn和 q∈Rn成立：

其中 En(i，j)∈Rn×n为交换矩阵，(j-1)n+i]。

取系统Hamilton函数为：

其中q∈Rn是关节位置向量，p=M(q)˙是系统的广义动量，m*为期望图像特征向量，m为图像特征向量，φ1和φ2为相应维数的系数矩阵，β是与G(q)的不确定部分相关联的未知向量，是 β的估计。

对式(8)求导得：

由 p=M(q)q˙得 ：

假设G(q)的不确定部分线性地依赖于未知向量β∈Rl，即存在矩阵 φ(q)∈Rn×l使得 G(q)=G0(q)+φ(q)β，G0(q)∈Rn表示G(q)的标称部分。

为构建广义Hamilton框架，设计反馈律：

其中u∈Rn为新的控制输入，KD=KTD∈Rn×n。

将(7)、(14)代入(13)中得：

自适应估计律为：

式(9)、(15)、(16)构成了 GHVFS 系统的机器人动力学特性部分。

在机械手末端端速度中引入一个新的控制输入：

其中，u1∈Rn是新的控制输入，J+(m)是 J(m)的广义逆矩阵。

将（17）代入（4）中，再由（10）、（12）式得 GHVFS 系统的视觉伺服部分：

其中KP=KTP∈Rm×m。

由式(9)、（15）、（16）、（18）得到 GHVFS 系统：

4 L2控制器设计

考虑不确定性，双目视觉伺服系统的广义哈密尔顿实现为：

其 中 ，g2(X)=[0 In0 0]T∈R(2n+l+m)×b，h(X)是 权 重 矩 阵 ，X∈R2n+l+m，u∈RS，ω∈L2为等值干扰信号，y∈RP是输出，z∈Rq是罚信号。

定义：考虑系统(21)及 γ 供给率 s(ω，z)=(1/2)(γ2||ω||2-||z||2)，||ω||、||z||均指向量的欧几里得范数， 对于 γ>0，若存在控制律u及半正定的光滑存储函数H，使得耗散不等式H˙≤(γ2||ω||2-||z||2)对于任意的干扰 ω 成立，则称该系统是γ耗散的[8]。

由于系统的γ耗散性与L2性能之间关系是等价的[9]。L2性能准则设计问题可以叙述如下：对于给定系统(21)，设计控制器 u，使得闭环系统对任意正数 γ，满足如下性能准则：

(1)当ω=0时，闭环系统在平衡点m*处是渐近稳定的。

(2)存在半正定存储函数 H(X)，对于任意干扰 ω，使得耗散不等式成立。

(3)闭环系统在图像平面期望特征点m*是可检测的。

满足准则（1）、（3）的控制律为：

证明：

又由 Φ(X)≥0，所以 Q(X)=▽HTΦ(X)▽H≥0。根据定义 1及 γ耗散性与 L2性能等价性可得，控制律（23）是系统（21）的一个L2干扰抑制控制器。

定理 2：假设 ω=0，由式(14)、式(23)、式(21)构成的闭环系统在目标平衡点Xe=[q 0β(m*)T]是渐近稳定的。

证明：由 H(X)的构成可知，H(X)正定并且在平衡点Xe取得严格极小。

当 ω=0 时，由式（22）及（24）得：

因此，闭环系统稳定且收敛于包含在下列集合内的最大不变集上。

当∀t≥0时，由于z=hgT1▽H=0，h(X)列满秩，y=gT2▽H=0，可得≡0，≡0。即p(t)=M(q)q˙=M(q)≡0，由≡0知 φ(m-m*)=0，又由φ正定，所以 m=m*，即▽H(X(t))=▽HX(t))=0，∀X∈S。 因此，S 中仅包含一个点Xe，由LaSalle不变原理得闭环系统渐近稳定。

5 系统仿真试验

为验证本文所提出的方法，采用图1所示两关节机械手视觉伺服系统进行仿真分析。

图1 带有两个摄像机的2DOF机器人系统

考虑具有不确定性的两关节机械手动力学方程：

取矩形图形顶点为目标的特征点，初始位置图像坐标为m1=[44.755 1；71.737 3；-44.755 1]pixels，m2=[-44.755 1；71.737 3；-134.265 2]pixels，m3=[-44.755 0；-17.772 9；-134.265 2]pixels，m4=[44.755 1；-17.772 9；-44.755 1]pixels。期望位置图像坐标为 m1*=[68.448 9；27.182 1；-68.448 9]pixels，m2*=[-68.448 9；27.182 1；-205.346 8]pixels，m3*=[-68.448 9；-109.715 8；-205.346 8]pixels，m4*=[68.448 9；-109.715 8；-68.448 9]。 q1(0)=0°，q2(0)=90°，(0)=0，(0)=0，ω=[20sin(t)20sin(t)]T，γ=0.252，KD=diag{0.1，0.8}，h(X)=diag{0.05，0.05}。

图2～图7为目标深度在摄像机坐标系中变化时的仿真结果。图2表示图像误差渐近收敛到零，表明特征点在图像平面的位置收敛到期望位置。图3表示了摄像机的运动轨迹。图4为机械手的运动轨迹，机械手的初始状态为 q1=0°，q2=90°。图 5为不确定参数的变化曲线。图6～图7分别为左、右摄像机在像平面的运动轨迹。由仿真结果可以看出，在存在不确定性干扰的前提下，所设计的控制器能够使当前图像特征渐近收敛于期望图像特征，图像误差逐渐趋近于零，即机器人运动到期望位置。

图2 特征点误差范数

图3 摄像机运动轨迹立体图

图4 机械手运动轨迹图

图5 不确定参数β的变化曲线

图6 左摄像机平面目标运动轨迹

图7 右摄像机平面目标运动轨迹

对于手眼机器人，考虑动力学特性构造了视觉伺服系广义哈密尔顿系统，本文提出了一种新的视觉伺服控制器，能够使机械手稳定地收敛到期望位置，解决了视觉伺服控制的干扰抑制问题。本设计将广义Hamilton理论应用到视觉伺服控制器设计中，构造了GHFVS模型，将系统的Hamilton函数用作李亚普诺夫函数，使得稳定性分析和控制器设计简单。此外，所采用的视觉模型中不需要获取深度信息，简化了控制器结构。理论分析和实验均证明了该方法具有全局渐近稳定性、鲁棒性和快速性等控制性能。

参考文献

[1]邹立颖，李惠光．基于新双目模型的变结构视觉伺服控制方法[J]．武汉理工大学学报，2009，31(10)：117－120．

[2]马灿，毛建旭，邵思敏.基于视觉传感器的PCB缺陷检测系统的研究与实现[J]．电子技术应用，2012，38(6)：129－131．

[3]HUTCHINSON S，HAGER G D，CORKE P I．A tutorial on visual servo control[J]．IEEE Trans.Robot.Automat.，1996，12(10)：651－670．

[4]Wang Yuzhen，Feng Gang，Cheng Daizhan．Simultaneous stabilization of a set of nonlinear port-controlled Hamiltonian systems[J]．Automatica，2007(43)：403－415．

[5]Wang Yuzhen，Ge Shuzhi．Augmented Hamiltonian formulation and energy-based control design of uncertain mechanical systems[J]．IEEE Transactions on Control Systems Technology，2008，16(2)：202－213．

[6]Li Huiguang，Jin Mei，Zou Liying．A new binocular stereo visual servoing model[C]．In：Proceedings of 2008 Pacific-Asia Workshop on Computational Intelligence and Industrial Application，PACIIA.WuHan，China：IEEE，2008：461－465．

[7]武波，李惠光．基于图像的直接视觉伺服控制器设计与仿真[J]．系统仿真学报，2007，19(22)：5214－5218．

[8]金梅，李惠光，邹丽颖，等．具有 L2性能的视觉伺服控制器设计[J]．系统仿真学报，2009，21（13）：4101－4105．

[9]梅生伟，申铁龙，刘康志．现代鲁棒控制理论与应用[M]．北京：清华大学出版社，2004．