一类椭球等高矩阵分布的二次型

郭春香，王 青

(1.常州机电职业技术学院基础部，江苏 常州 213164;2.常州机电职业技术学院 电气工程系，江苏 常州 213164)

椭球等高分布作为正态分布的推广，它拥有许多类似于多元正态分布的优美性质。文献[1］中给出的向量球对称分布的定义和相关定理，成为研究样本分布的有力工具;文献[2］中给出了向量球对称分布的F分布，文献[3］中给出了与向量球对称分布有关的一类广义卡方分布，这些理论为进一步研究向量球对称分布提供了理论基础。本文在文献[2］和文献[3］的基础上研究了向量球对称分布和一类椭球等高矩阵分布的二次型，应用典型方法求出了二次型及其逆的密度函数，从而丰富了样本理论的研究，为解决复杂样本统计量的分布问题提供了一定的理论基础。

定理1 设矩阵X有密度，则X～VSn×p(φ)当且仅当X的密度形为f(tr(X'X)).

若X ～ VSn×p(φ)且X有密度f，则我们就记X ～ VSn×p(f).

引理1 设X是n×p矩阵，且T∈UT(p)，则:

其中，Dp={T|T∈UT(p)}且有正对角元素，Γp(·)是多元Gamma函数，并且

引理2[4］若Y＞0，它的乔列斯基分解Y=X'X，其中X为n阶上三角阵，且对角元素为正，则:

定理2 设X ～ VSn×p(f)，n≥p，即X有密度f[tr(X'X)］，则W=X'X的密度是:

证明:设h(·)是任意非负Borel函数，则:

由引理1，有:

所以，W=X'X的密度是:

引理 3 设 X=Y－1，Ym×m对称，则:

定理3 设X ～ VSn×p(f)，n≥p，则V=W－1=(X'X)－1的密度是:

证明:由定理2可知，若X ～VSn×p(f)，则W=X'X的密度是:

令 V=W－1=(X'X)－1，则 W=V－1，J(W → V)=|V|－(p+1)，从而，我们有 V=W－1=(X'X)－1的密度是:

证明:由引理1知，对任意非负Borel函数h(·)，有:

从而，有:

定义2 设Y=M+XB，其中X～VSn×p(φ)，B:p×q，M:n×q，则我们说Y遵从椭球等高矩阵分布，记为 Y ～ EVSn×q(M，B，φ)或 Y ～ EVSn×q(M，B，f)。

因此，Y的分布只通过∑ 依赖于B，我们把VSn×q(M，B，φ)记为VSn×q(M，∑，φ)。

引理5[5］若Y=AXB ，其中 Y:n × p，X:n × p，A:n × n，B:p× p，且A，B 可逆，则:

所以，Y的密度是:

引理6[6］若 X，Y均为 n × n阵，|B|≠0，Y=B'XB 且 X'=X ，则:

推论1 设Y ～ EVSn×q(0，∑，f)，其中n≥q，∑ ＞0，则W=Y'Y的密度是:

证明:由定理2知，若X ～VSn×q(f)，则L=X'X的密度是:

因为Y ～EVSn×q(0，∑，f)，故由定义2知Y=XB，其中X ～VSn×q(f)，从而有

所以，W=Y'Y的密度是:

推论2 设Y ～ EVSn×q(0，∑，f)，其中n≥q，∑ ＞ 0，则V=W－1=(Y'Y)－1的密度是:

证明:由推论1知，若Y ～ EVSn×q(0，∑，f)，则W=Y'Y的密度是:

从而我们有V=W－1=(Y'Y)－1的密度是:

并且有

[1]方开泰，张尧庭.广义多元分析[M］.北京:科学出版社，1993.

[2]郭春香.向量球对称分布的F分布[J］.金陵科技学院学报，2010，26(2):10－13.

[3]郭春香，王青.与向量球对称分布有关的一类广义χ2分布[J］.金陵科技学院学报，2012，28(1):5－8.

[4]朱道元，吴诚鸥，秦伟良.多元统计分析及软件SAS[M］.南京:东南大学出版社，1999.

[5]杨琳.逆非中心Wishart分布[D］.南京:东南大学数学系，2009.

[6]徐海燕.一类矩阵椭球等高分布的广义二次型[J］.金陵科技学院学报，2008，24(2):7－9.