基于相对距离尺度TOPSIS法的机床结构优选设计研究

陈永亮 韩 瑶 庞锦平 刘 谱 潘高星

1.天津大学，天津，300072 2.天津第二机床有限公司，天津，300409

0 引言

机床的大件结构是数控机床的重要部件，其结构性能极大程度地影响加工精度。机床的大件结构的拓扑结构、筋板厚度、高度、出砂孔尺寸等又直接影响大件结构的动静热态特性。通过有限元分析方法得到方案各个性能评价指标值，在结构方案的确定过程中，往往采用综合评价的方法对多种方案进行评价，因此评价方法的选择至关重要。文献［1］基于结构配置与性能改进的综合定量评价方法，得出某大型内齿轮铣齿机的床身最优改进方案；文献［2］根据可适应原则建立结构性能指标的综合评价函数，并通过内齿轮铣齿机床立柱元结构的参数优化验证了其有效性。文献［3］通过对床身进行APDL参数化建模和模态分析，经简单的数据比较得出最优参数方案。文献［4］通过横梁结构优化有效减小了主要热源的生热速率和热传导系数。文献［5］以层次分析法确定对象各属性权重，然后用基于欧几里德距离（简称欧氏距离）的TOPSIS方法对各商家竞争力进行排序，根据各方案相对理想解的接近程度初步评估选择较佳方案。文献［6］采用灰关联分析和基于欧氏距离的TOPSIS方法进行各游戏厂商的经营绩效评估，并通过三种方法的评价对比，总结其各自方法的优缺点。文献［7］通过采用目标规划的优化模型和高等数学的方法计算各评价指标的权重，弱化了传统TOPSIS方法确定权重的主观程度。文献［8］利用灰色系统理论，整合不同的评价理论，提出了灰关联评价方法，并将该方法应用于具体事例，从基于不同基础功能和可适应功能的设计方案中优选出最佳方案。

本文根据可适应设计原则，通过有限元分析得到各个方案的评价指标值，采用不同距离尺度的TOPSIS方法对机床横梁结构进行优选，并对不同距离尺度评价结果进行比较和分析。

1 机床结构的可适应设计

机床结构修改的一般过程如图1所示。首先根据功能要求创新或者根据经验进行初步总体方案设计；然后在此基础上进行功能分解，将机床结构划分为子模块，再通过参数驱动获得各个设计方案，对各个方案进行有限元分析，从而对产品性能进行综合评价对比以确定最优方案。

图1 机床结构可适应设计过程

对于机床横梁结构，评价其性能的指标有质量、固有频率、静刚度和热特性等多项。因此，建立一个能全面反映机床性能的评价模型，通过对机床结构的不同性能方案进行综合度量来评价各个方案的性能优劣尤其重要。

2 评价指标和权重的确定

假设S＝｛S0，S1，…，Sm｝是横梁结构的m种变型，对每个评价目标进行质量测量、动态分析、静力分析及热分析，得出其质量m、三向静力变形（dx，dy，dz）、三向热变形（δx，δy，δz），以及约束模态的前三阶固有频率（f1，f2，f3）和自由模态的前三阶固有频率（f′1，f′2，f′3）等n个评价指标，进而可得综合评价因素集中的5个一级指标，其表达式为

式中，X1为质量指标；X2为静变形指标；X3为热变形指标；X4为约束模态固有频率指标；X5为自由模态固有频率指标。

每个一级指标所包含的若干个二级指标可表示为

于是，总因素指标集共有n＝13个评价指标，规定J1＝ ｛X1，X2，X3｝为 成 本 型 指 标 集，J1＝｛X4，X5｝为收益型指标集。收益型指标越大，对评估结果越有利；成本型指标越小，对评估结果越有利。反之，则对评估结果不利。

对于本文采取的评价方法，首先确定各指标的权重系数。一级评价指标对应的各指标权重系数可表示为

二级评价指标对应的各指标权重系数可表示为

将权重系数W 合成可得

且∑W ＝1。

3 TOPSIS评价方法的数学模型

逼近理想解的排序方法（technique for order preference by similarity to ideal solution，TOPSIS）是 Hwang等［9］于1981年首次提出的，它借助多属性问题的理想解和负理想解给方案集中各方案排序。

3.1 计算规范化矩阵

首先，根据每个评价目标的n个定量指标值建立特征矩阵：

然后，根据特征矩阵计算规范化矩阵，得到规范化表达式：

3.2 构造评价指标权重规范化矩阵

通过计算评价指标权重规格化值vij，建立的评价指标权重规范化矩阵为

式中，vij为第j个目标的第i个评价指标的权重规格化值。

3.3 确定理想解和反理想解

根据权重规格化值vij所确定的理想解A＊和反理想解A－的表达式为

3.4 计算距离尺度

计算距离尺度即计算每个目标到理想解和反理想解的距离，目标到理想解A＊的距离为S＊，到反理想解A—的距离为S—。

S＊为各评价目标与最优目标的接近程度，S＊值越小，评价目标距离理想目标越近，方案越优。

3.5 计算理想解的贴近度

理想解的贴近度表达式为

根据C＊值的大小可判断评价目标的优劣，该值越大，表明评价方案越优。

4 距离尺度的计算

用理想解求解多属性决策问题的概念简单，只要在属性空间定义适当的距离测度就能计算备选方案的理想解。在TOPSIS方法中，距离尺度的计算通常采用明考斯基距离，常用的欧式距离是明考斯基距离的特殊情况。由于明考斯基距离是一种绝对距离，研究表明，它会因固有频率、变形等评价指标的单位不同而难以明显区分不同方案的优劣，因此，本文引入了兰氏距离、基于相似性的差异性距离等相对距离法，以减小数据测量对单位的敏感性。

4.1 欧氏距离

欧氏距离尺度通过n维欧几里德距离尺度进行计算，其目标到理想解A＊的距离为S＊，到反理想解A—的距离为S，其表达式为

式中，v＊j与分别为第j个目标到最优目标及最劣目标的距离。

4.2 兰氏距离

兰氏距离［10］是定义在欧氏空间上的一种度量，兰氏距离与各变量的单位无关。由于兰氏距离对大的异常值不敏感，故适用于高度偏斜的数据。根据兰氏距离的定义［11］，目标到理想解A＊的兰氏距离为，到反理想解A—的兰氏距离为，其表达式为

4.3 相似距离

20世纪90年代，周美立［12］提出了用于计算系统相似度的新理论，其理论针对明考斯基距离尺度域值［0，∞］的局限性，采用以相似性为基础的差异性度量［13-14］计算目标到理想解A＊的差异性距离和到反理想解的差异性距离。其表达式为

5 立式磨床横梁结构优选

5.1 立式磨床横梁结构动静热态特性有限元分析

三种立式磨床横梁基础结构方案如图2所示。图2a为横梁立柱分离式结构，其固定约束加于底部地脚螺钉处及与床身相连接处；图2b为横梁一体式结构，其固定约束加于底部地脚螺钉处；图2c为在图2b基础上将导轨以下部分截掉而成的结构，其底部约束加于底部地脚螺钉处。

图2 横梁初始结构选型

横梁的改进思路为：①拓扑结构改进提高静刚度；②减小重量；③提高固有频率；④减少热变形。改进方案如表1所示。对三种横梁结构进行动静及热态分析；采用ANSYSWorkbench软件对12种横梁结构进行自动网格划分，建立有限元模型；然后定义材料属性，材料特性数据如表2所示。

表1 横梁各修改方案

表2 材料特性数据

在进行约束模态分析时，对每种方案加固定约束；在自由模态分析中不加任何约束。在进行静力分析时，滑块安装面除了受床鞍传来的磨削力外，还受床鞍及主轴部件的重力作用，其受力情况如表3所示。

表3 横梁受力情况

在进行热分析时，由于滚珠丝杠轴承发热，在轴承安装面上加150W的热流量，其余面上的空气对流系数设置为5W／（m2·K）。横梁受力分析结果如表4所示。

表4 横梁受力评价指标

5.2 横梁评价指标权重系数分配

根据综合评价因素集确定的各个评价指标的权重系数如表5所示。

表5 横梁各评价指标权重系数分配

算得 W＝｛0.3，0.04，0.03，0.03，0.04，0.03，0.03，0.12，0.09，0.09，0.08，0.06，0.06｝，然后分别根据前述三种综合评价方法进行计算。

5.3 TOPSIS评价

首先根据表4列出特征矩阵，然后根据特征矩阵计算得出规范化矩阵R（由于矩阵尺寸过大，在此不予列出）。

由式（7）及式（8）计算理想解和反理想解：

根据式（8）及式（9）计算欧几里德距离：

最后由式（7）算出每种方案指标距离理想解的贴近度：

同理，利用式（10）、式（11）和式（7）可得到各方案的基于兰氏距离的贴近度：

利用式（12）、式（13）和式（7）可得到各方案基于相似距离的贴近度：

5.4 TOPSIS评价法中不同距离尺度的比较

本文采用三种方法对12种横梁结构方案进行评价。TOPSIS法强调在距离理想解近的同时要远离负理想解，值越大表示离正理想解越近而离负理想解越远，其最大的优点是简单、直接，缺点主要是结果不具确切含义仅表示一种相对水平。

三种评价方法评价的结果如表6所示，分别用大于0.85，0.80，0.75的区分度值截取三种方案的选择结果，得出的满足条件的子集合为

其子集的交集为

表6 三种距离尺度的TOPSIS评价方法比较

三种方法评价结果的区分度曲线如图3所示。对于TOPSIS法，区分度值表示贴近度值。

图3 三种方法评价结果的区分度曲线

从交集结果及图3中的三条曲线可以看出，对于不同的评价方法，最终方案排序结果总体一致，尤其是兰氏距离法和相似距离法完全一致，均能得到满意结果。但三种方法对各个方案区分的明显程度不同，欧氏距离尺度法最差，兰氏距离尺度和相似距离尺度均较为理想。因此，基于相对距离的兰氏尺度和相似尺度法要优于基于绝对距离的欧氏尺度法。

6 结语

本文通过实验和仿真验证发现，欧氏距离尺度法、兰氏距离尺度法和相似距离尺度法都能区分方案的优劣，但由于数据处理方法和区分度的定义不同，每种方法所选择的最优结果仍有细微差别。三种方法所选的最优方案之间的改进度不大，其值在1%～5%之间。从各种方法对各个方案区分的明显程度看，兰氏距离尺度法和相似距离尺度法都优于欧氏距离尺度法。在实际设计生产中，采用兰氏距离尺度法和相似距离尺度法的TOPSIS法都能快速合理地进行方案优选。

［1］陈永亮，耿文轩，满佳，等.基于结构配置与性能改进综合评价的机床结构适应性设计［J］.中国机械工程，2009，20（9）：1029－1033.Chen Yongliang，Geng Wenxuan，Man Jia，et al.Adaptable Design of Machine Tool Structure Based on Quantification of Structural Configuration and Performance Improvement［J］.China Mechanical Engineering，2009，20（9）：1029－1033.

［2］满佳，张连洪，陈永亮.基于元结构的机床结构可适应优化设计方法［J］.中国机械工程，2010，21（1）：51－66.Man Jia，Zhang Lianhong，Chen Yongliang.An Adaptable Optimization Design Method of Machine Tool Structures Based on Unit Structure［J］.China Mechanical Engineering，2010，21（1）：51－66.

［3］王艳辉，伍建国，缪建成.精密机床床身的模态分析与结构优选［J］.机械设计与制造，2005（3）：76－77.Wang Yanhui，Wu Jianguo，Miao Jiancheng.Modal Analysis and Structure Optimization for Precision Machine Tool Bed［J］.Mechanical Design and Manufacture，2005（3）：76－77.

［4］尹红.基于FEA的高速龙门加工中心横梁部件的热态特性分析与优化［J］.制造技术与机床，2011（9）：65－71.Yin Hong.Thermal Analysis and Optimization of High Speed Machining Center Beam Component Based on FEA［J］.Manufacturing Technology ＆Machine Tool，2011（9）：65－71.

［5］毕威宁.结合AHP与TOPSIS法于供应商绩效评估之研究［J］.科学与工程技术，2005，1（1）：75－83.Bi Weining.The Research of the Evaluation Performance of the Combination of AHP and TOP－SIS Method for the Supplier［J］.The Journal of Science and Engineering Technology，2005，1（1）：75－83.

［6］吴有龙，杨倍箕，林瑞源.应用灰关联分析与TOPSIS方法于游戏厂商财务绩效评估模式［J］.管理科学研究，2009，5（2）：23－24.Wu Youlong，Yang Beiji，Lin Ruiyuan.The Model of Applying Application of Grey Relational Analysis and TOPSIS Method to the Game Makers Financial Performance Assessment［J］.Research on Management Science，2009，5（2）：23－24.

［7］付巧峰.关于TOPSIS法的研究［J］.西安科技大学学报，2008，28（1）：190－193.Fu Qiaofeng.The Research of the TOPSIS［J］.Journal of Xi’an University of Science and Technology，2008，28（1）：190－193.

［8］Li Y，Xue D，Gu P.Prioritizing Design Candidates in Adaptable Design Using the Grey Relational Analysis Approach［C］／／Proceedings of the Third CDEN／RCCI International Design Conference.Toronto，Ontario，Canada，2006：93－101.

［9］Hwang C L，Yoon K.Multiple Attribute Decision Making［M］.Roca Raton，FL，United States of America：CRC press，2011.

［10］Johnson R A，Wichern D W.Applied Multivariate Statistical Analysis［M］.Pearon，United States of America：Pearson Education，2007.

［11］Gan Guojun，Ma Chaoqun，Wu Jianhong.Data clustering［M］.Philadelphia，PA，United States of America：SIAM，Society for Industrial and Applied Mathematics，2007.

［12］Zhou Meili.Principles and Practice of Similarity System Theory［J］.International Journal of General Systems，1994，23（1）：39－48.

［13］Zhou Meili.Analysis Method of Similarity and Differentiablity for Complex Systems［J］.Journal of System Science and Information，2005，3（2）：399－409.

［14］周美立.复杂机械产品系统差异性分析度量方法［J］.农业机械学报，2006，37（7）：129－132，137.Zhou Meili.Analysis and Measure Methods of Diversity for Complexity Mechanical Products Systems［J］.Transaction of the Chinese Society for Agriculture Machinery，2006，37（7）：129－132，137.